Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

'Называется n о л 'н Ы м, если всяпая фу'Ндаме'Нталъ'Ная nосле­

дователъ'Ностъ элеме'Нтов {fn} nростра'Нства R сходится в R n 'Неnоторому элеме'Нту f этого nростра'Нства.

В настоящем пункте мы рассмотрим важный класс линей­

ных нормированных пространств, введенных Лебегом, и дока­

жем полноту этих пространств.

Пусть вещественное число р удовлетворяет условию р ? 1.

Оnределенuе 4. Будем говоритъ, 'Ч,то фу'Нn'Ция f(x) пр и­

'Надле:жит nлассу (или nростра'Нству) LP(E), ес­

ли фу'Нn'Ция f(x) измерима 'На м'Но:жестве Е, а фу'Нn'Ция lf(x)IP

суммируема 'На этом м'Но:жестве 1).

Легко убедиться, что при любом р ? 1 класс LP(E) являет­

ся линейным нормированным пространством, если в нем ввести

норму с помощью соотношения

Линейность такого пространства очевидна. Легко проверить спра­ ведливость аксиом 10-30 из определения нормированного про­

странства. Аксиома 10 сразу вытекает из условия эквивалент­

ности нулю неотрицательной суммируемой функции (см. конец

п. 4). Аксиома 20 совершенно очевидна. Аксиома 30 при р = 1

очевидна, а при р > 1 вытекает из установленного в дополне­

нии 1 к гл. 10 вып. 1 н е р а в е н с т в а М и н к о в с к о г о 2)

ляется nол'ныl•.

1)При этом мы не будем различать эквивалентных на множестве Е функ­

ций, рассматривая их как один элемент LP(E).

2)В указанном дополнении неравенство Минковского установлено для

случая интеграла Римана. В случае интеграла Лебега достаточно устано­

вить это неравенство лишь для ограниченных функций f(x) и g(x), а для

таких функций доказательство его проводится по той же схеме, что и для

интеграла Римана (достаточно рассмотреть л е б е г о в с к о е раз б и­ е н и е множества Е ).

3) В специальной форме (относящейся к так называемой тригонометриче­

ской системе) эта теорема была доказана в 1907 г. Ф. Риссом инезависимо

от него Фишером. В 1909 г. Вейль заметил, что связь с тригонометрической системой несущественна и дал приводимую нами более общую формулиров­

ку (для р = 2).

Еn = Sup Ilfm - fnllp

т~n

(точная верхняя грань величины Ilfm - fnllp берется по множе­ ству всех т, удовлетворяющих неравенству т ? n). Из усло­ вия фундаментальности последовательности {fn} вытекает, что

Еn --7 О при n --7 00. Отсюда следует, что можно выбрать под­

а из последнего неравенства и из сходимости ряда (8.52) выте­

кает сходимость ряда 3)

(8.53)

1)Достаточно взять nk таким, чтобы выполнялось неравенство Сn" ~ 2- k .

2)В указанном дополнении неравенство Гёльдера установлено для интег­

рала Римана. В случае интеграла Лебега достаточно установить это нера­

венство лишь для ограниченных функций f(x) и g(x), но для таких функ­

ций это доказательство проводится по той же схеме, что и для интеграла

Римана (достаточно рассмотреть л е б е г о в с к о е раз б и е н и е мно­ жества Е).

3) При Р = 1 неравенство Гёльдера применять не нужно, ибо ряд (8.53)

совпадает с (8.52).

Заметим, что функции Бэра можно определить и по другому:

вместо д-окрестности следует брать соответсгвенно правую или левую д-по­

луокрестность точки х).

Очевидно, фУН'J{;'Ция f(x) непрерывна в тОЧ'J{;е хо тогда и толъ'J{;О тогда,

'J{;ozaa f(xo) = т(хо) = М(хо).

Теорема 8.23. Для того чтобы ограниченная на сегменте [О, 1] ФУН'J{;­ 'Ция f(x) была интегрируема ПО Риману на этом сегменте, необходимо и

смотрение две ступенчатые функции 'Рn(Х) и Фn(Х), полагая на каждом

интервале 6.in ) функции 'Рn(х) и Фn(х) соответственно равными inf f(y)

L\.(n) k

И sup f(y), а в точках k/2 n (k = 1, 2, ... , 2n ) обе функции 'Рn(Х) и фn(х)

L\.(n) k

равными нулю. Тогда для каждой точки х # k/2 n , взяв стягивающуюся

к х последовательность интервалов 6.in ), мы получим, что

Таким образом, сходимость (8.54) имеет место по ч т и в с ю Д у на сегмен­ те [О, 1]. Так как ступенчатые функции 'Рn(Х) и фn(х) заведомо измеримы на [О, 1], то из (8.54) и из теоремы 8.13 следует, что и функции Бэра т(х) и М(х) измеримы на [О, 1].

оо

1)в случае, если в произвольно малой окрестности точки х функция f(x)

не ограничена снизу (сверху), мы полагаем нижний (верхний) предел f(x) в этой точке равным -00 (+00).

2) В дальнейшем все интегралы в дополнении 1 понимаются в смысле Ле­

бега.

где Sn И SN - соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие

разбиению {д.in)} (k = 1,2,3, ... ,2n ).

Из (8.55) и (8.56) следует, что

так что (в силу гл. 10 вып. 1) необходимое и достаточное условие инте-

1

грируемости по Риману приводится к равенству ЛМ(х) - т(х)] dx = о.

о

Но последнее равенство в силу условия эквивалентности нулю неотрица­

тельной измеримой и суммируемой функции (см. п. 4 § 4) означает, что

М(х) - т(х) = О почти всюду на [о, 1]. Теорема доказана.

ДОПОЛНЕНИЕ 2

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ

ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ

ПО ЛЕБЕГУ

Теоре,м,а 8.24. Для того ,>тобы огРaJ-!и,>ен,1-ШЯ н,а измеримом мн,о;ж;е­

стве Е фун,nu,ия f(x) являлас'Ь ин,тегрируемо'Й н,а этом мн,о;ж;естве по

Лебегу, н,еобходимо и достато'>н,о, ,>тобы эта фун,nu,ия была измерима н,а мн,о;ж;естве Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство достаточности составляет со­ держание теоремы 8.16, поэтому в доказательстве нуждается лишь необ­

ходимость.

Пусть функция f(x) ограничена и интегрируема по Лебегу на измери­ мом множестве Е. Это означает, что верхний и нижний интегралы Лебега

от этой функции равны друг другу, и, стало быть, существует последова-

тельность разбиений Тn = {Ekn )} множества Е такая, что соответствую­

щие последовательности верхних {Sn} И нижних {Sn} сумм удовлетворяют

условию Sn -Sn < 1/n, причем каждое последующее разбиение ТN = {Ein )} является измельчением предыдущего разбиения Tn - 1 = {Ein - 1 )}. (Для по­

строения такой последовательности разбиений достаточно там, где это необ­

ходимо, брать произведение вводимых разбиений.)

Напомним, что по определению

где Mk n ) и min ) - соответственно точная верхняя и точная нижняя гра­ ни f(x) на множестве Ehn ).

Определим две последовательности функций {1n(х)} и {! (х)}, по-

ложив функцию ln(х) равной M~n) на множестве Ekn ), а фун;;;~ию f (х)

римы на множестве Е (ибо эти функции являются линейными ;~мбинаци­

ями характеристических функций измеримых множеств Ein )).

Кроме того, очевидно, что последовательность {1n(х)} не возраста­ ет, а последовательность {.Ln (х)} не убывает на множестве Е, причем для

276 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ.8

любого номера n в каждой точке множества Е справедливы неравенства

причем в силу теоремы 8.13 функции ](х) и L(x) измеримы на множестве Е.

Из теоремы Б. Леви 8.20 получим, что

Е-

Из последнего равенства и из неотрицательности и измеримости функ­

ции [](х) - L(X)] в силу п. 4 § 4 получим, что ](х) - L(X) = о почти всюду на Е. Следовательно, в силу (8.58) L(x) = f(x) = ](х) почти всюду на Е, и поскольку функции ](х) и L(x) измеримы на множестве Е, то по свойст­

ву 40 из п. 2 § 3 и функция f(x) также измерима на множестве Е. Теорема

доказана.

случае на сегменте [с, d] определена функция от у с помощью соотношения (9.1), но пределы интегрирования а и Ь будут за­

висеть от у. Мы изучим сначала случай, когда пределы интег­

рирования постоянны.

2. Свойства непрерывности, интегрируемости и диф­ ференцируемости интегралов, зависящих от параметра. Следующие теоремы дают ответ на перечисленные вопросы. В

этих теоремах символом П мы будем обозначать прямоугольник

{а ~ х ~ Ь, с ~ у ~ d}.

Теоре,м,а 9.1. Еслu фун'Х:'Цu,я. f (х, у) непрерывна в nр,я.моу­

голы-tu'Х:е П, то фун'Х:'Цu,я. 1(у), оnределенна,я. соотношенuем (9.1), непрерывна на сегменте [с, d].

а

Поскольку по теореме Кантора функция f(x, у) равномерно не­

прерывна в прямоугольнике П, то по данному Е > О можно

вытекает, что при l6.yl < 6 выполняется неравенство 16.11 < Е, которое означает непрерывность функции 1 (у) в каждой точке у сегмента [с, d]. Теорема доказана.

Теоре,м,а 9.2. Еслu фун'Х:'Цu,я. f(x, у) непрерывна в nр,я.мо­

Иными словами, в условиях теоремы интеграл, завuс,я.щuiJ. от n араметра, MO;JfCHO интегрироватъ по параметру под зна­

'Х:ом uнтеграла.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9.1 функция 1(у) непрерывна на сегменте [с, d] и поэтому интегрируема на этом сегменте. Справедливость формулы (9.3) следует из равенства повторных интегралов, фигурирующих в соотношении (9.3) (эти

интегралы равны двойному интегралу JJ f (х, у) dx dy. Теорема

П

доказана.

§ 1 СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 279

3 а м е ч а н и е. В соотношении (9.3) вместо верхнего преде­

ла d интегрирования по у мы можем поставить любое число из

сегмента [с, d].

а

Иными словами, в условиях теоремы u'Нтеграл, завuс-ящuй от nарам,етра, MO;JfCHO дuффере'Н'Цuроватъ по nарам,етру под з'На­

'Х:ом, u'Нтеграла.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующую вспомогатель­

ную функцию:

ду

а

Так как д! непрерывна в прямоугольнике П, то по теореме 9.1

ду

функция g(y) непрерывна на сегменте [с, d] и интеграл от этой функции по сегменту [с, у] может быть найден по формуле ин­

тегрирования под знаком интеграла. Согласно замечанию к тео­

реме 9.2 получим

аа

ношения (9.6) получаем следующее представление для I(y):

с

Как известно, производная интеграла с переменным верхним

пределом от непрерывной функции g(t) существует и равна зна­ чению этой функции в точке у. Поэтому функция I(y) диф-

формуле (9.5) для g(y), мы убедимся в справедливости соотно­ шения (9.4). Теорема доказана.