§ 1 СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 281
интеграла в правой части (9.9) стремятся к нулю. Таким об разом, предел правой части (9.9) при у --+уа существует и ра вен I(Ya). Итак, функция I(y) непрерывна в любой точке уа сег мента [с, d], т. е. непрерывна на этом сегменте. Теорема доказана.
Докажем теорему о дифференцируемости интеграла I(y) по
параметру.
Теорема 9.5. Пустъ фу'Н/х;'Цu-я f(x,
у)
u ее nроuзводна-я д!
ду
непрерывны в np-ямоуголънu'Х:е п. Пустъ
далее фун'Х:'Цuu а(у)
u Ь(у) дuфферен'цuруемыl на сегменте [с,
d].
Тогда фун'Х:'Цu-я I (у),
оnределенна-я соотношенuем (9.8), дuфферен'Цuруема на сегмен
те [с, d]
u ее nроuзводна-я I' (у) может бытъ вы'Ч,uслена по фор
муле
Ь(у)
I'(y)
= Jд! dx + b'(y)f(b(y), у) - а'(у)Ла(у), у).
(9.10)
ду
а(у)
Д О К а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем произвольное уа из сег
мента [с, d] и представим I(y) в форме (9.9). Первый интеграл в правой части (9.9) является интегралом, зависящим от пара
метра у, с постоянными пределами интегрирования. Так как по
условию Лх, у) и д! непрерывны в П, то, согласно теореме 9.3,
ду
первое слагаемое представляет собой дифференцируемую функ цию в точке уа и производная указанной функции в этой точке
Ь(уо) af( )
равна J х, уо dx. Докажем, что второе слагаемое в правой а(уо) ду
части (9.9) имеет производную в точке уа. Поскольку это второе
слагаемое обращается в нуль при у = Уа, достаточно убедиться
в существовании следующего предела:
Ь(у)
J
f(x, у) dx
lim _Ь(_уо_)____
(9.11)
у-+уо
у - уо
который по определению и равен искомой производной.
Преобразуем интеграл в числителе формулы (9.11). По фор
муле среднего значения имеем
Ь(у)
J f(x, у) dx = f(x, у)(Ь(у) - Ь(Уа)),
(9.12)
Ь(уо)
причем х заключено между Ь(Уа) и Ь(у). Подставляя выражение интеграла из формулы (9.12) в числитель выражения (9.11) и
282 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9
учитывая, что в силу непрерывности j(x, у) --+j(b(Ya), Уа) при
у --+Уа, а Ь(у) -
Ь(уа) --+Ь'(Уа) при у --+Уа, убедимся, что интере-
у -
уа
сующий нас предел (9.11) существует и равен b'(Ya)f(b(Ya), Уа).
Рассуждая совершенно аналогично, убедимся, что третье сла
гаемое в правой части (9.9) также имеет производную в точке Уа,
равную a'(Ya)j(a(Ya), Уа).
Итак, мы доказали, что функция I(y) дифференцируема в
произвольной точке Уа сегмента [с, d] и ее производная I'(Ya)
может быть вычислена по формуле (9.10). Теорема доказана.
Замечание. Теоремы 9.4 и 9.5 верны и в случае, когда
функция j(x, У) задана лишь в области D и удовлетворяет в
этой области таким же требованиям, как и в прямоугольнике п.
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1.Понятие несобственного интеграла первого рода,
зависящего от параметра. Понятие равномерной сходи
мости несобственного интеграла, зависящего от пара
метра. Символом поо мы будем обозначать полуполосу {а :::;;
:::;; х < (х), с :::;; У :::;; d}.
Пусть в полуполосе поо задана функция f(x, у), интегрируе
мая по х в несобственном смысле на полупрямой а :::;; х < (х) при
любом фиксированном У из сегмента [с, d]. При этих условиях на сегменте [с, d] определена функция
00
I(y) = J f(x, У) dx,
(9.13)
а
называемая несобстве'Н/I-tЫМ интегралом первого рода, завися
щим от параметра У. При этом говорят, что интеграл (9.13) сходится на сегменте [с, d].
в теории несобственных интегралов, зависящих от параметра, важную роль играет понятие равномерной сходимости. Сфор
мулируем это понятие.
Оnреде.ле1-tuе. Несобственныu интеграл (9.13) называется
Теорема 9.7 (nриЗ1-/,аn Веиерштрасса). Пусть Функ; 'Ция f(x, у) определена в nолуnолосе llc)Q и для к;аждого у из сегмента [с, d] интегрируема по х на любом сегменте [а, R].
Пусть далее для всех то'Чек; nолуnолосы П(Х) въшолняется нера
венство
If(x,
y)1 ~ g(x).
(9.15)
(х)
Тогда из сходимости интеграла Jg(x) dx выlек;аетт равномер
а
ная сходимость по у на сегменте [с, d] интеграла (9.13).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу критерия Коши сходимости
интеграла от функции g(x)
(см. теорему 3.1) для любого Е > О
можно указать А ? а такое, что при всех R" > R' ?
А выпол-
няется неравенство
R"
J g(x) dx < Е.
R'
Применяя неравенство (9.15),
получим
R"
I
~
R"
I J f( х, у) dx
J g (х) dx < Е
R'
R'
дЛЯ всех у из сегмента [с, d].
Это и означает выполнение критерия Коши равномерной схо
димости интеграла (9.13).
Следствие. Пусть функ;'Ция ср(х, у), определенная в nолу
полосе П(Х)' ограни'Чена в
этоu nолуnолосе и при к;аждом у Е
Е [с, d] интегрируема по х
на любом сегменте [а,
R]. Тогда,
если сходится интеграл
(Х)
J Ih(x)1 dx,
а
то сходится равномерно по у на сегменте [с, d] и интеграл
(Х)
J ср(х, у)h(x) dx.
а
I(y).
284
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
ГЛ.9
Для доказательства достаточно в теореме 9.7 положить
f(x, у) =
<р(х, y)h(x), g(X) = Mlh(x)l, где М = sup Ir.p(x,
y)l·
поо
Заметим, что признак Вейерштрасса является достаточным
признаком равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, гарантирующим и абсолютную схо
димость. Аналогично тому, как это было сделано при доказа
тельстве теоремы 3.4, можно установить следующий достаточ
ный признак равномерной сходимости, применимый и к условно
непрерывна и неотри'И,ательна в полуполосе поо, и пусть для
'Х:аJlCдого у Е [с, d] сходится несобственныu интеграл
00
I(y)
= J f(x, у) dx.
а
Пусть далее фун'Х:'И,ия
I(y) непрерывна на сегменте [с, d].
Тогда интеграл (9.13) сходится равномерно по у на этом сег
менте.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность функ-
ций
а+n
In(y) = J f(x, у) dx,
а
каждая из которых в силу теоремы 9.1 непрерывна на сегменте
[с, d]. Поскольку подынтегральная функция f(x, у) неотрица тельна, то In(y) монотонно не убывая, сходятся на сегменте [с, d] к непрерывной функции Следовательно, по теореме 1.5
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 285
(признак Дини для функциональных последовательностей) по следовательность In(y) сходится к I(y) равномерно на [с, d]. Это
означает, что для любого Е > О найдется номер N такой, что
00
I(y) - IN(Y) = J f(x, у) dx < Е
a+N
сразу для всех у сегмента [с, d]. Из неотрицательности f(x, у) вытекает, что для любого R ? N + а и любого у Е [с, d]
00
о ~ J f(x, у) dx < Е.
R
Это и означает равномерную сходимость интеграла (9.13).
Теорема доказана, 2. Свойства непрерывности, интегрируемости и диф
ференцируемости несобственных интегралов, завися
щих от параметра. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 9.9. Пусть фу'Н'Кци,я f(x, у) 'Неnрерыв'На в полупо лосе поо, а и'Нтеграл (9.13) сходитс,я рав'Номер'Но 'На сегме'Нте [с, d]. Тогда этот и'Нтеграл ,явл,яетс,я 'Неnрерыв'Ной фу'Н'Кцией у 'На сегме'Нте [с, d].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность функ-
ций
а+n
In(y) = J f(x, у) dx,
а
каждая из которых в силу теоремы 9.1 непрерывна на сегмен
те [с, d]. Очевидно, из равномерной сходимости интеграла (9.13) вытекает равномерная сходимость к 1 (у) функциональной по следовательности I n (у). в таком случае непрерывность функ ции I(y) следует из теоремы 1.7.
Теорема 9.10. Пусть фу'Н'Кци,я f(x, у) и ее 'Част'На,я nроиз-
вод'На,я дj HenpepblBHbl в полуполосе поо. Пусть далее дл,я 'Не'Кото
ду
00
рого у из сегме'Нта [с, d] сходитс,я и'Нтеграл 1 (у) = Jf (х, у) dx,
а
00
а и'Нтеграл!дj dx сходитс,ярав'Номер'Но поу 'На сегме'Нте [с, d].
ду
а
При этих услови,ях фу'Н'Кци,я I(y) диффере'Нцируема 'На сегме'Нте
[с, d] и ее nроизвод'На,я I'(y) может быть 'Найде'На по формуле
00
I'(y) = ! д! dx.
(9.16)
ду
а
286
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
ГЛ.9
Иными словами, при условиях теоремы диффере'Н'Цировшние по параметру может nроизводитъся под з'Ншх;ом 'Несобстве'Н
'Ного и'Нтеграла, зависящего от параметра.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность функ-
ций
а+n
In(y) = J f(x, у) dx.
а
По теореме 9.3 каждая из функций In(y) дифференцируема на сегменте [с, d] и справедливо равенство
а+n
I~(y) = Jд!(х, у) dx.
(9.17)
ду
а
Из условия теоремы вытекает, что последовательность интег
ралов, стоящих в правой части (9.17), сходится равномерно на [с, d]. Следовательно, к той же предельной функции равномер
но сходится последовательность производных I~ (у). Применяя
теорему 1.9, мы получаем равенство (9.16).
Докажем теорему о собстве'Н'Ном и'Нтегрирова'Нии 'Несобст
ве'Н'Ного и'Нтеграла, зависящего от параметра.
Теоре,м,а 9.11. Если выnол'Не'Ны условия теоремы 9.9, то
и'Нтеграл (9.13) мож'Но и'Нтегрироватъ по параметру у 'На сег ме'Нте [с, d], nри'Ч,ем
d
d
00
00
d
JI(y) dy =
J dy
J f(x, у) dx =
J dx J f(x, у) dy.
(9.18)
с
с
а
а
с
Иными словами, в условиях теоремы 'Несобстве'Н'Ныu и'Нтег
рал, зависящиu от n араметра, мож'Но и'Нтегрироватъ по nара
метру под з'Ншх;ом 'Несобстве'Н'Ного и'Нтеграла.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как выполнены условия теоремы
9.9, то функция I(y) непрерывна на сегменте [с, d] и, следова
тельно, интегрируема на этом сегменте. Перейдем к доказатель
ству соотношений (9.18).
Используя свойство равномерной сходимости интеграла (9.13),
мы можем по данному Е> О указать такое А ~ а, что при R ~ А
для всех у из сегмента [с, d] справедливо неравенство
00
f(x, у) dx
< _С_.
(9.19)
J
d-c
R
Считая далее R ~ А и используя возможность перестановки по рядка интегрирования для собственных интегралов, зависящих
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 287
от параметра, обратимся к следующим очевидным равенствам:
JI(y) dy =
J[? f(x, у)dx + Jf(x, у)dx] dy =
с
с а
R
=
ldx [1f(x, у)dY] +1dy [I f(x, у)dX].
Из этих соотношений инеравенства (9.19) вытекает следующее
неравенство, справедливое для всех R ? А:
11 I(y)dy -!dx[1 f(x, y)dY] 1< Е,
00
d
которое означает,
что несобственный интеграл J dx J f(x, у) dy
а
с
d
по переменной х сходится и равен числу J1 (у) dy. Теорема до-
с
казана.
3 а м е ч а н и е.
Очевидно, в соотношении (9.18) вместо верх
него предела d интегрирования по у мы можем поставить любое
число из сегмента [с, d].
С.ледсmвuе. Если фу'Н/х;'Ция f(x, у) 'Неnреръшна и 'Неотри'Ца телъ'На в nолуnолосе ПОО и и'Нтеграл (9.13) является 'Неnрерыв
'Ной фу'Н'Х:'Цией 'На сегме'Нте [с, d], то справедлива формула (9.18).
В самом деле, при сформулированных требованиях выпол нены все условия признака Дини равномерной сходимости ин
теграла (9.13) (см. теорему 9.8). Таким образом, утверждение
следствия справедливо.
Докажем теорему о 'Несобстве'Н'Ном и'Нтегрирова'Нии 'Несобст
ве'Н'Ного и'Нтеграла, зависящего от параметра.
Теорема 9.12. Пустъ фу'Н'Х:'Ция f(x, у) 'Неотри'Цателъ'На и
'Неnрерыв'На при х ? а и у ? с. Пустъ далее и'Нтегралы
00
00
I(y) = J f(x, у) dx
и К(х) = J f(x, у) dy
а
с
'Неnрерыв'Ны соответстве'Н'Но при у ? с их? а. Тогда из схо димости од'Ного из следующих двух 'Несобстве'Н'Ных и'Нтегралов
00
00
00
00
00
00
J I(y) dy =
J dy J f(x, у) dx и
J K(x)dx =
J dx J f(x, y)dy
с
с
а
а
а
с
выlе'х:аетт сходимостъ другого и раве'Нство этих и'Нтегралов.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Допустим, что
сходится интеграл
00
00
J I(y) dy. Нам нужно доказать, что интеграл
J К(х) dx сходится
с
а
288 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9
00
и равен J I(y) dy. Иными словами, нужно доказать, что для лю
с
бого Е > О можно найти такое А ~ а, что при R ~ А выполняется
неравенство
I[ I(y) dy -lК(х)dxl < Е.
(9.20)
Из условий теоремы вытекает, что при любом фиксированном
R ~ а для функции f(x, у) в полуполосе {а :::;; х :::;; R, с :::;; у <
< (Х)} выполнены условия следствия из теоремы 9.11. Поэтому
для любого R ~ а справедливы соотношения
R
R
00
00
R
JК(х) dx =
J dx J f(x, у) dy =
J dy JЛХ, у) dx.
а
а
с
с
а
00
Используя эти равенства и сходимость интеграла J1 (у) dy пре-
с
образуем разность, находящуюся под знаком абсолютной вели-
чины внеравенстве (9.20). Для любого R, превосходящего С,
запишем равенство
00
R
00
00
00
R
J I(y) dy -
JК(х) dx =
J dy J ЛХ, у) dx -
J dy J f(x, у) dx =
с
а
с
а
с
а
00
00
00
00
R
00
= Jdy J ЛХ, у) dx =
Jdy J f(x, у) dx + Jdy J f(x, у) dx.
с
R
R
R
с
R
(9.21)
Перейдем к оценке последних интегралов в соотношении (9.21).
00
> О
Так как по
условию J I(y) dy сходится,
то по данному Е
с
можно указать такое R > С, что выполняются неравенства О :::;;
00
< Е/2 1). Заменяя в этих
:::;; J I(y) dy
неравенствах I(y)
его
R
выражением через интеграл, получим следующие неравенства:
о :::;;
00
00
J dy J f(x, у) dx < Е/2. Отсюда и из неотрицательности
R
а
f(x,
у) заключаем, что при выбранном R > с и любом R ~ а
1) Левое из этих неравенств следует из неотрицательности функции f(x, у)
при х ? а и у ? с.
9.8).
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 289
справедлива оценка
(х)
(х)
о ~ J dy J f(x, у) dx < Е/2.
(9.22)
R
R
Зафиксируем теперь R так, как указано выше, и воспользуемся
произвольностью выбора R. В полуполосе { а ~ х < 00, с ~ у ~ R}
функция f (х, у) удовлетворяет всем условиям признака Дини равномерной сходимости несобственных интегралов (см. теоре му Поэтому по данному Е > О можно выбрать А ? а так,
что для любого R? А и для всех у из сегмента [с, R] выполня-
(х)
ются неравенства О ~ J f (х, у) dx < ----==---,
из которых полу-
R
2(R - с)
чается следующая оценка:
R
(х)
о ~ J dy J f(x, у) dx < Е/2.
(9.23)
с
R
Обращаясь к выражению (9.21) и к оценкам (9.22) и (9.23) по
следних интегралов в этом выражении, мы видим, что для про
извольного Е > О можно выбрать А ? а так, что для любого
R ? А выполняется неравенство (9.20). Доказательство теоре
мы завершено.
3. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. Введем понятие несобственных интегралов вто
рого рода, зависящих от параметра. Пусть функция f(x, у) зада на в полуоткрытом прямоугольнике П = {а ~ х < Ь, с ~ у ~ d}. Допустим, что при любом фиксированном у из сегмента [с, d]
ь
несобственный ингеграл второго рода J f(x, у) dx сходится. При
а
этих условиях на сегменте [с, d] определена функция
Ь
I(y) = J f(x, у) dx,
(9.24)
а
называемая несобственным интегралом второго рода, завися
ЩИМ от параметра у.
в теории таких интегралов важную роль играет понятие рав
номернои сходимости. Сформулируем это понятие.
Оnределенuе. Несобственныu интеграл (9.24) называется
р а в н о м е р н о
с х о д я щ и м с я поп а р а м е т р у у на
сегменте [с, d],
если он сходится для nаждого у из сегмента
[с, d] и для любого Е > О можно уnазатъ таnое <5 > О, зависящее
10 В. А. Ильин и э. Г. Позняк, часть II
290
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
ГЛ.9
толък;о от с, 'Что длл любого СУ из интервала О < СУ < д и длл
всех у из сегмента [с, d] въшолнлетсл неравенство
Iы1af (х, у)dx I < с.
Для несобственных интегралов второго рода без труда форму
лируются и доказываются теоремы о непрерывности, интегри
руемости и дифференцируемости по параметру.
Отметим, что с помощью преобразования переменной х, ука занных в п. 2 § 2 гл. 3, несобственные интегралы второго рода,
зависящие от параметра у, сводятся к зависящим от параметра
несобственным интегралам первого рода.
§ 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов
Операции над несобственными интегралами, зависящими от параметра, обоснованные в предыдущем параграфе, позволяют
вычислять различные несобственные интегралы.
Рассмотрим примеры вычисления и исследования свойств та
ких интегралов.
1О. Докажем, что интеграл
I(cy) = Jе-ахsi;x dx,
(9.25)
о
подынтегральная функция которого в точке х =
О по опреде
(х)
лению равна единице, сходится равномерно относительно СУ на
полупрямой О ~ СУ < 00. Мы получим сначала некоторые оценки.
