Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

элементов и обозна'Ч,аемое символом и, g);

2) ук:азанное правило удовлетворяет следующим ак:сиомам: 1о. и, g) = (g, f) - переместительное свойство.

20. (f+g, h) = и, h)+(g, h) -распределительное свойство.

30.(лf, g) = ли, g) для любого вещественного 'Ч,исла л.

40.и, f) > О, если f -# о 1), и, f) = О, если f = О.

Классическим примером бесконечномерного евклидова про-

Ф у н к Ц и й.

При этом мы договоримся всюду в данной главе понимать

под кусочно-непрерывной на сегменте [а, Ь] функцией f(x) та­ кую функцию, которая непрерывна всюду на сегменте [а, Ь], за исключением, быть может, конечного числа точек xi (i = 1, 2, ...

. .. , n), в которых она имеет разрыв первого рода, причем в

каждой точке разрыва xi эта функция удовлетворяет условию

Таким образом, всюду в этой главе мы требуем, чтобы к:усо'Ч,но­

непрерывная функ:'Ция ЛХ) в к:аждой то'Ч,к:е разрыва xi удовлет­

воряла условию (10.1), т. е. была равна полусумме правого и ле­

вого nредельныlx зна'Ч,ений. Отметим, что в каждой точке непре­

рывности функции f(x) условие типа (10.1) автоматически спра­

ведливо.

Скалярное произведение двух любых элементов f (х) и g (х)

пространства всех кусочно-непрерывных на сегменте а ~ х ~ Ь функций определим следующим образом:

а

Существование интеграла (10.2) от произведения двух кусочно­

непрерывных функций не вызывает сомнений. Легко проверить

справедливость для скалярного произведения (10.2) аксиом 10_40.

Справедливость аксиомы 1о очевидна. Справедливость аксиом 20

и 30 вытекает из линейных свойств интеграла.

Остановимся на доказательстве справедливости аксиомы 40.

1) о обозначает нулевой элемент линейного пространства.

§ 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 313

что f(x) == о, т. е. является нулевым элементом изучаемого прос­ транства. Так как f(x) кусочно-непрерывна на сегменте [а, Ь], то

этот сегмент распадается на конечное число частичных сегмен-

тов [Xi-l, Xi], на каждом из которых f(x) непрерывна 1).

Но из равенства (10.3) и из непрерывности Р(х) на сегменте

[Xi-l' Xi] следует, что Лх) == О на [Xi-l' Xi] 2).

Так как последнее равенство относится к каждому частичному

сегменту и в точках разрыва справедливо соотношение (10.1), то f(x) == О на всем сегменте [а, Ь]. Справедливость аксиомы 40

установлена.

Тем самым доказано, что пространство всех кусочно-непре­

рывных на сегменте [а, Ь] функций является евклидовым прост­ ранством со скалярным произведением (10.2).

Установим следующее общее свойство любого евклидова про­

странства.

Теорема 10.1. Во вслком евклидовом пространстве длл лю­ бых двух элементов f и g справедливо следующее неравенство:

называемое н е р а в е н с т в о м К о ш и-В у нл К О в с к о г о. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого вещественного числа ).

().! - g, ).! - g) ? о.

в силу аксиом 1о-4о последнее неравенство можно переписать в

виде

).2и, f) - 2).и, g) + (g, g) ? о.

Необходимым и достаточным условием неотрицательности по­

следнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство

та [Хi-1, Хi] мы полагаем соответственно равными предельным значениям

f(Xi-1 + О) И f(Xi - О).

2) Ибо в § 6 гл. 10 вып. 1 доказано, что если функция непрерывна, неотри­

цательна и не равна тождественно нулю на данном сегменте, то интеграл

от этой функции по данному сегменту больше нуля.

Наша очередная задача - ввести в изучаемом евклидовом

пространстве понятие н о р м ы каждого элемента.

Но прежде всего напомним определение линейного нормиро­

ванного пространства.

Оnределе'Н,uе 2. Линейное пространство R называется

н о р м и р о в а н н Ъ! М, если выnлненъll следующие два требова­

ния:

1)известно правило, посредством которого Ka;JfCaoMY эле­

менту 1 пространства R ставится в соответствие вещест­

венное 'Число, называемое нормой указанного элемента и обоз­

на'Чаемое символом IIЛI ;

2)указшl-tное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

равенством Минковского).

Теоре,м,а 10.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем НОРМУ любого элемента 1 опреде­

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно убедиться, что для нор­

мы, определенной соотношением (10.7), справедливы аксиомы

10-30 из определения 2.

Справедливость аксиомы 10 сразу вытекает из аксиомы 40 для скалярного произведения. Справедливость аксиомы 20 так­ же почти непосредственно вытекает из аксиомы 10 и 30 для ска­

лярного произведения.

Остается убедиться в справедливости аксиомы 30, т. е. нера­

венства (10.6). Будем опираться на неравенство Коши-Буняков­ ского (1 0.4), которое перепишем в виде

IU, g)1 ~ vТГfj. ~.

С помощью последнего неравенства, аксиом 10 - 40 для скаляр­

ного произведения и определения нормы (10.7) получим

111 + g11 = J U + g, 1 + g) = J и, f) + 2и, g) + (g, g) ~

~VU, f) +2vТГfj. ~+ (g, g) =

=v[VТГfj+ ~]2 = VТГfj+ ~= IIЛI + Ilgll .

Теорема доказана.

§ 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 317

Оnределенuе 5. Назовем р я д о м Фур ъ е элемента f

по ортонормированноu системе {1/'k} ряд вида

(х)

(10.12)

k=l

в 1(;отором 'Через ik обозна'Чены постоянные 'Числа, называемые 1(; о э Ф Ф и 'Ц и е н т а м и Фур ъ е элемента f и определяемые

равенствами

k = 1,2, ...

Естественно назвать конечную сумму n

(10.13)

k=l

n-й ч а с т и ч н о й с у м м о й ряда Фурье (10.12). Рассмотрим наряду с n-й частичной суммой (10.13) произ­

вольную линейную комбинацию первых n элементов ортонор­

мированной системы {1/'k}

n

(10.14)

k=l

с какими угодно постоянными числами С1 , С2, ... , Сп'

Выясним, что отличает n-ю частичную сумму ряда Фурье

(10.13) от всех других сумм (10.14).

Договоримся называть, величину 11 f - g 11 о т к л о н е н и е м g от f (по норме данного евклидова пространства).

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема 10.3. Среди всех сумм вида (10.14) наименъшее

от1(;лонение от элемента f по норме данного ев1(;лидова прост­

ранства имеет n-я 'Части'Чная сумма (10.13) ряда Фуръе эле­

мента f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортонормированность сис­

темы {1/'k} и пользуясь аксиомами скалярного произведения, мо­

жем записать

§ 1 ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 319

Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоя­

щий в левой части (10.18), обладает ограниченной последова­

тельностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в

неравенстве (10.19) к пределу при n -7 00 (см. теорему 3.13 из вып. 1), мы получим неравенство (10.18). Теорема доказана.

В качестве примера обратимся к пространству всех кусочно­

непрерывных на сегменте -к ~ х ~ 7r функций И В этом прост­

Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно-непре­

рывной на сегменте -к ~ х ~ 7r функции f(x), имеет вид

Впрочем, в теории тригонометрических рядов Фурье приня­

та несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (10.20), так инеравенства Бесселя (10.21). Именно тригонометрический ряд Фурье (10.20) обычно записывают в виде

k=l