Завдання для самостійної роботи №1 з модуля «Випадкові події та випадкові величини»

Варіант №0

1. Монета підкинута два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

Розв’язання. Розглянемо випадки підкидання двох монет: «герб» - «решка», «решка» - «герб», «решка» - «решка», «герб» - «герб». Маємо, що загальне число проведених випробувань: n=4; число випробувань, в яких подія відбулася: т=3. Отже:

.

Відповідь: .

2. Ймовірність того, що при одному вимірюванні деякої фізичної величини буде припущена помилка, яка перевищує задану точність, дорівнює 0,6. Проведені три незалежних вимірювання. Знайти ймовірність того, що лише в одному з них допущена похибка, перевищить задану точність.

Розв’язання. Введемо наступні позначення подій:

- лише в одному з трьох випробувань допущена похибка, що перевищує задану точність;

- помилка допущена в першому вимірюванні;

- помилка допущена в другому вимірюванні;

- помилка допущена в третьому вимірюванні.

Подія А відбудеться, якщо відбудеться одна з подій:

.

Події , та несумісні, а події , та незалежні за умовою, тому за теоремами додавання та множення маємо:

.

Відповідь: .

Варіант №1

1. В групі спортсменів 20 лижників, 6 велосипедистів і 4 бігуни. Ймовірність виконання кваліфікаційної норми така: для лижника - 0,9; для велосипедиста - 0,8, для бігуна - 0,75. Знайти ймовірність того, що спортсмен, вибраний навмання, виконає норму.

2. В першій урні 6 чорних і 5 білих, а в другій - 8 чорних і 3 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №2

1. В першому ящику є 20 деталей, із них 15 стандартних, в другому - 30 деталей, з них 24 стандартних, в третьому - 10 деталей, з них 6 стандартних. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь із навмання взятого ящика стандартна.

2. В першій урні 7 чорних і 5 білих, а в другій - 6 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №3

1. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 40% одержувачів анкет повертає їх назад. Яка ймовірність того, що рівно 8 сімей повернуть анкети, якщо опитують 20 сімей?

2. В першій урні 8 чорних і 3 білих, а в другій - 7 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №4

1. Для участі в студентських змаганнях виділено із І групи 4 студенти, із II - 6; із III - 5 студентів. Ймовірність того, що студент І, II і III групи попаде в збірну відповідно рівні 0,9; 0,7; 0,8. Навмання взятий студент в результаті змагання попав у збірну. До якої із груп найімовірніше належав цей студент ?

2. В першій урні 9 чорних і 6 білих, а в другій - 8 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №5

1. Прилад може працювати у двох режимах: І - нормальний, II - ненормальний. Нормальний режим спостерігається у 80% всіх випадків роботи приладу. Ймовірність виходу приладу із ладу за час t в нормальному режимі дорівнює 0,1, в ненормальному - 0,7. Знайти повну ймовірність виходу із ладу приладу за час t.

2. В першій урні 7 чорних і 4 білих, а в другій - 9 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №6

1. У вузі 70% студентів одержують деякий вид стипендії. Якщо для перевірки випадково відібрано 10 студентів, то яка ймовірність того, що більше ніж 8 студентів мають стипендію?

2. В першій урні 9 чорних і 6 білих, а в другій - 7 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №7

1. Жереб незалежно тягнуть 4 особи, повертаючи його назад. Якщо ймовірність його витягнути - 0,6, то яка ймовірність того, що його витягнуть рівно 3 особи ?

2. В першій урні 5 чорних і 6 білих, а в другій - 4 чорних і 7 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №8

1. Відомо, що 5% чоловіків і 25% всіх жінок - дальтоніки. Навмання обрана особа - дальтонік. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок однакова кількість).

2. В першій урні 4 чорних і 7 білих, а в другій - 8 чорних і 6 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №9

1. Ймовірність попадання в ціль при одному залпі з двох гармат дорівнює 0,42. Знайти ймовірність враження цілі при одному пострілі першою із гармат, якщо відомо, що для другої гармати ця ймовірність складає 0,75.

2. В першій урні 6 чорних і 5 білих, а в другій - 9 чорних і 3 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №10

1. Ймовірності того, що необхідна збиральнику деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно дорівнюють 0,65; 0,75; 0,8; 0,85. Знайти ймовірності того, що деталь міститься не більше, чим в трьох ящиках.

2. В першій урні 3 чорних і 8 білих, а в другій - 10 чорних і 2 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №11

1. Серед 80 лотерейних білетів є 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що 2 випадково вибрані білети виявляться виграшними.

2. В першій урні 7 чорних і 3 білих, а в другій - 4 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №12

1. Пристрій містить два незалежно працюючих елементи. Ймовірність відмови елементів відповідно дорівнюють 0,04 і 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо для цього достатньо, щоби відмовив хоча б один елемент.

2. В першій урні 6 чорних і 4 білих, а в другій - 7 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №13

1. Студент складає екзамен, де має дати ствердну або заперечну відповідь. Екзамен складається із 20 запитань. Ймовірність правильної відповіді на кожне запитання дорівнює 0,6, яка ймовірність того, що студент пройде тест (для проходження тесту треба мати не менш 15 правильних відповідей)?

2. В першій урні 8 чорних і 6 білих, а в другій - 7 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №14

1. Студент знає 25 із 30 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає запропоновані йому три питання.

2. В першій урні 9 чорних і 6 білих, а в другій - 7 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №15

1. Ймовірність хоча б одного попадання в ціль при трьох пострілах дорівнює 0,9963. Знайти ймовірність попадання в ціль при одному пострілі.

2. В першій урні 5 чорних і 7 білих, а в другій - 8 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №16

1. Ймовірність браку виробництва складає 20%. Яка ймовірність того, що бракованих деталей буде рівно 350 із 800 ?

2. В першій урні 7 чорних і 6 білих, а в другій - 8 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №17

1. Ймовірності того, що необхідна збиральнику деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно дорівнюють 0,65; 0,75; 0,8; 0,85. Знайти ймовірності того, що деталь міститься не менше, чим в двох ящиках.

2. В першій урні 7 чорних і 6 білих, а в другій - 5 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №18

1. В ящику 15 деталей, серед яких 7 зафарбованих. Збиральник навмання бере 5 деталей. Знайти ймовірність того, що взяті деталі виявляться зафарбованими.

2. В першій урні 8 чорних і 4 білих, а в другій - 6 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №19

1. Прилади одного найменування виготовляються двома заводами. Перший поставляє 2/3 всіх виробів, що поступають на виробництво, другий 1/3. Надійність приладу, виготовленого І заводом, дорівнює 0,91; другим - 0,85. Визначити надійність приладу, що поступив на виробництво.

2. В першій урні 4 чорних і 7 білих, а в другій - 6 чорних і 3 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №20

1. Ймовірність браку виробництва складає 15%. Яка ймовірність того, що бракованих деталей буде рівно 220 із 500 ?

2. В першій урні 9 чорних і 3 білих, а в другій - 6 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №21

1. Монету підкидають 8 разів. Яка ймовірність того, що випаде 6 «гербів»?

2. В першій урні 6 чорних і 4 білих, а в другій - 7 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №22

1. Прилад може збиратися із високоякісних деталей та із звичайних. 40% приладів збираються із високоякісних деталей. Якщо прилад зібраний із високоякісних деталей, його надійність за час t дорівнює 0,95, якщо із звичайних - 0,7. Прилад випробувався на протязі часy t і працював безвідмовно. Знайти ймовірність того, що він зібраний із високоякісних деталей.

2. В першій урні 3 чорних і 8 білих, а в другій - 4 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №23

1. Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки один стандартний.

2. В першій урні 7 чорних і 5 білих, а в другій - 6 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №24

1. В ящику 20 деталей, серед яких 9 зафарбованих. Збиральник навмання бере 6 деталей. Знайти ймовірність того, що взяті деталі виявляться зафарбованими.

2. В першій урні 4 чорних і 7 білих, а в другій - 6 чорних і 5 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №25

1. Фірма, що проводить поштове опитування, встановила, що 35% одержувачів анкет повертає їх назад. Яка ймовірність того, що рівно 14 сімей повернуть анкети, якщо опитують 40 сімей?

2. В першій урні 8 чорних і 6 білих, а в другій - 5 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №26

1. Ймовірність появи деякої події в кожному з 18 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Яка ймовірність появи події принаймні три рази?

2. В першій урні 8 чорних і 4 білих, а в другій - 3 чорних і 3 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №27

1. Серед 120 лотерейних білетів є 9 виграшних. Знайти ймовірність того, що 3 випадково вибрані білети виявляться виграшними.

2. В першій урні 6 чорних і 7 білих, а в другій - 6 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №28

1. В ательє є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний строк відповідно рівні 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірності того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний строк.

2. В першій урні 7 чорних і 4 білих, а в другій - 5 чорних і 6 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №29

1. Студент складає екзамен, де має дати ствердну або заперечну відповідь. Екзамен складається із 10 запитань. Ймовірність правильної відповіді на кожне запитання дорівнює 0,7, яка ймовірність того, що студент пройде тест (для проходження тесту треба мати не менш 7 правильних відповідей)?

2. В першій урні 7 чорних і 6 білих, а в другій - 8 чорних і 3 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?

Варіант №30

1. Встановлено, що під час процесу виробництва ймовірність того, що партія товару буде мати дефекти, дорівнює 0,1. Якщо є 10 партій, то яка ймовірність того, що дефекти будуть мати менше, ніж 2?

2. В першій урні 6 чорних і 5 білих, а в другій - 7 чорних і 4 білих. З першої урни в другу навмання переклали одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята навмання з другої урни кулька виявиться білою?