Математика_КР_ОЗО_1сем_2012_гр2621,2721
.pdf
|
|
|
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software |
|||||||
|
|
|
http://www.foxitsoftware.com |
For evaluation only. |
||||||
Вычислим значения функции в критической точке |
х2 2 и на концах |
|||||||||
интервала и |
выберем |
из |
|
них |
наибольшее |
и |
наименьшее: |
|||
y(2) 16, y(0) 0, y(5) 65. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Т.о., наибольшее значение функции на отрезке 0, |
5 равно 65, |
|||||||||
наименьшее равно –16. |
|
|
х 2 |
4 |
|
|
|
|
||
23. Исследовать функцию y |
и построить ее график. |
|||||||||
х2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
Решение. а) Найдем область определения функции. |
|
|
||||||||
Областью определения этой функции является вся действительная ось, |
||||||||||
за исключением двух точек х1 |
2 и х2 2, в которых имеет место разрыв |
|||||||||
(знаменатель х 2 |
4 0 ). |
|
( ; 2) |
( 2; 2) (2; ) . |
|
|||||
Т.о., область определения: |
|
|||||||||
б) Исследуем функцию на четность-нечетность.
Функция четная, т.к. у( х) |
( х)2 |
4 |
|
х 2 |
4 |
у(х). Четность функ- |
|
( х)2 |
4 |
х2 |
4 |
||||
|
|
|
ции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу. в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х1 2 и
х2 2.
Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.
Предел слева lim |
x 2 4 |
|
, предел справа |
lim |
x 2 4 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 2 0 x 2 4 |
|
|
|
|
|
x 2 0 x 2 4 |
|
|
|||||||||||
Аналогично |
lim |
x2 4 |
, lim |
x2 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 0 x2 4 |
x 2 0 x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, прямые |
х1 2 |
и |
х2 2 |
являются вертикальными |
||||||||||||||||
асимптотами функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функ- |
||||||||||||||||||||
ции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
x2 4 |
|
||
Для этого |
вычислим |
пределы: |
k lim |
lim |
|
0 и |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
x x(x2 4) |
|
|||
b lim[ f (x) kx] lim |
x2 |
4 |
1. Откуда (по формуле |
y kx b ) заключаем, |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
x |
x x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y 0 x 1, т.е. y 1.
д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.
|
Производная заданной функции y |
16х |
|
равна нулю ( y 0) при |
|
(х 2 4) |
2 |
||
|
|
|
||
x 0 |
и не существует при x 2 . Но критической является только точка |
|||
x 0 |
(т.к. значения x 2 не входят в область определения функции). По- |
|||
31
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
скольку при x 0 |
|
|
а при |
x 0 |
|
f (x) 0, |
|||||
ма функции и f max |
(x) |
0 |
4 |
1. |
|
|
4 |
|
|||
|
0 |
|
|
||
На интервалах ( ; 2) |
и |
||||
( 2;0) функция возрастает, на интервалах (0; 2) и (2; ) – убывает.
f (x) 0, то x 0 – точка максиму-
y |
+ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 0 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба. |
|
|
16(3х 2 |
4) |
|
Для этого надо найти вторую производную функции y |
|
|
. |
||
|
(х 2 4) |
3 |
Видно, что уравнение y 0 не имеет действительных корней, и это исклю-
чает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (–2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки y меняются.
На |
интервалах ( ; 2) |
и |
y" |
|
|
|
|
|
(2; ) |
функция выпукла вниз, |
на |
+ |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|||||||
интервале ( 2; 2) – выпукла вверх. |
y |
2 |
2 |
x |
||||
|
|
|||||||
ж) Найдем точки пересечения с осями координат.
f (0) 0 4 1, т.е. точка пересечения с осью ординат 0; 1 . Урав- 0 4
нение f (x) 0, (т.е. |
х 2 |
4 |
0), решений не имеет, следовательно, график |
х2 |
|
||
|
4 |
||
функции не пересекает ось абсцисс.
На основании полученных данных построим график заданной функции.
у
|
1 |
|
-2 |
2 |
х |
|
-1 |
|
32
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
24. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции tg 460 .
Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой: f (x x) f (x) f (x) x .
Положим f (x) tg x . Найдем производную f |
|
(x) (tg x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
cos2 x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда tg(x x) tgx |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
, возьмем x |
|
и x |
|
||||||||||||||||
Учитывая, что tg 46 |
|
tg(45 |
|
1 |
) tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда tg 46 |
|
tg |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 0,0349 1,035. |
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
180 |
|
4 |
|
|
cos |
2 |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: tg 460 1,035 .
33
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
VI. Литература
Основная:
1.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 479с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»). – (Гриф МО РФ для студ. вузов) (Гриф УМЦ «Проф. Учебник» для студ.вузов) (в т. ч. для асп.).
2.Салахутдинов, Р. З. Практические занятия по курсу «Математика». Линейная алгебра, элементы аналитической геометрии, основы теории комплексных чисел: учеб. пособие/ Р. З. Салахутдинов, Е. А. Парышева, З. А. Еникеева. – Казань: «Таглимат», 2006. – 58с. (в т. ч. для асп.).
3.Салахутдинов, Р. З. Практические задания по курсу «Математика». Математический анализ: учеб. пособие для студентов экономического факультета и факультета менеджмента и маркетинга/ Р. З. Салахутдинов, Е. А. Парышева, З. А. Еникеева. – Казань: Издательство ИЭУиП, 2006. – 64с. (в т. ч. для асп.).
Дополнительная:
1.Высшая математика для экономистов: практикум: учеб. пособие / под ред. Н. Ш. Кремера . – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2007 . – 479с. – (Сер. «Золотой фонд российских учебников»)
2.Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учебное пособие / А.Н. Колесников. – М.: Инфра-М, 1999. – 208с. – (Сер. «Высшее образование»).
3.Математика: Ч.1: Учеб. пособ. для экономич. спец. вузов/ Под ред. Р.Ш. Марданова. – К.: Изд-во КФЭИ, 1999. – 532с.
4.Математика : учеб. пособие / под ред. Р. Ш. Марданова . – Казань : Изд-во Казан. гос. ун-та, 2007 . – 320с.
5.Общий курс высшей математики для экономистов: учеб./ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 656с. – (Сер. «Высш. образ.»).
34
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Подписано в печать 23.01.12. Формат 60 90 1/16 Гарнитура Times New Roman Cyr, 10. Усл. печ. л. – 5.6. усл. изд. л. – 6,2
Тираж 300 экз.
Типография «Познание» ИЭУП Лицензия № 172 от 12.09.96 г.
420108, г. Казань, ул. Зайцева, д. 17
35