Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт экономики, управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_КР_ОЗО_1сем_2012_гр2621,2721

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

386.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 x1 ; y1 и

M 2 x2 ; y21 имеет вид:	у у1	x x1	.
	у2 у1
		х2 х1

Уравнение прямой в отрезках: х у 1, где a и b – отрезки, которые

аb

отсекает данная прямая на осях Ох и Оу.

Составим сначала уравнение прямой, проходящей через данные точки:

	у ( 3)				x 4	у 3				x 4			1(y 3) 7(x 2) 7х у 17 .
	4 ( 3)				5 4		7				1
Разделим полученное уравнение на 17:																		7х			у	1.
Разделим полученное уравнение на 17:																		17				1.
																		17		17
Ответ: уравнение прямой в отрезках															х					у		1.
Ответ: уравнение прямой в отрезках																						1.
											17								17
																7
10. Найти расстояние от точки М 1;4 до прямой 7х у 17 0 .
Решение.				Расстояние от точки М х0 ; у0																до		прямой Ах Ву С 0
вычисляется по формуле: d									Ах0		Ву0 С						.
									Ах0		Ву0 С


											А2 В 2
Т.о., расстояние от точки М 1;4 до прямой 7х у 17 0 :
d		7 ( 1) 4 17						28				28		.
		7 ( 1) 4 17						28


			72 ( 1)2				50				5 2
Ответ: Расстояние от точки М 1;4 до прямой 7х у 17 0 равно																							28		.
Ответ: Расстояние от точки М 1;4 до прямой 7х у 17 0 равно																									.
																						5		2

11. Построить график функции у = –4∙sin2x + 1 (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций).

Решение. 1) Сначала построим график функции у = sinx.

3		О		3
3				2
2	2		2	2
		-1

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции

у=sin2x.

3		О		3
3				2
2	2		2	2
		-1

3) Растянем график у = sin2x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции у = 4sin2x.

3		О		3
			2
2	2			2

-1

-2

-3

-4

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

4) Зеркально отобразив график от оси Ох, получим у = –4sin2x.

3		О		3
			2
2	2			2

-1

-2

-3

-4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом график функции у = – 4∙sin2x + 1 имеет вид:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

3		О		3
3				3

2	2	-1	2	2
		-1

-2

-3

12. Значение функции известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с.


a		f (a)		b		f (b)	c
2	2,42			2,04		2,88	2,008
Решение. Формула линейного интерполирования:
f (c) f (a)		c a	f , где h b a , f		f (b) f (a) .
f (c) f (a)			f , где h b a , f		f (b) f (a) .
		h

Подставляя в формулу известные значения из таблицы, получим:

f (2,008) 2,42 2,008 2 0,46 2,512 . 0,04

Ответ. f (2,008) 2,512 .

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

13. Найти lim x2 x 1 .

x 1	2x 1

Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке x 1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:

lim

x 1

1 1

x 1

2x 1

2 1 1

Ответ.

14. Найти lim

x 1

Решение. Функция

при

x 1 не определена («неопределенность

x 2

типа

»), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при

всех других значениях х

(х 1)(х2

х 1)

х 2

х 1

x 2

(х 1)(х 1)

х 1

Полученная функция определена и непрерывна в точке x 1, поэтому

lim

х 1

12 1 1

x 1 x2 1

x 1

1 1

Ответ:

3х

15. Найти lim

x 2x5 х2 1

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать

нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком

предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

4 3х

0 0

х4

lim

= lim

х х4

= 0.

x 2x5

х2 1

2 0 0 2

х5

х3

х5

Ответ: 0.

16.Найти lim(х 3 х 2) .

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [ – ]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию х 3 х 2 до разности квадратов:

lim

x 0

(

х 3

х 2)(

х 3

х 2)

х 3

х 2

х 3

х 2

х 3

(х

х 3 х 2

Следовательно, lim

lim

х 3

х 2

х 3

х 2

Ответ: 0.

17.Найти lim sin 3x .

x0 5x

Решение. Так как lim sin х 1 (первый замечательный предел), то

х 0 х

sin 3x 1. 3x

Следовательно, lim	sin 3x	lim	3sin 3x	3	lim	sin 3x		3	.
			3 5x
x 0 5x		x 0		5 x 0 3x			5

Ответ: 5 .

18. Найти lim sin 4x . x tg5x

Решение. Так как x , а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя. Поэтому произведем замену переменной: x y ,

откуда x y . Тогда при x

y 0, используя то, что lim

tgх

sin 4( у)

sin 4у

4sin 4у

х 0 х

lim

= lim

tg5у

у 0 tg5( у)

у 0 tg5у

у 0

5у

Ответ: 5 .

2x 4 x

19. Найти lim . x 2x 1

Решение. Выделим у дроби целую часть:

	2x 4 x		2x 1 5 x		5 x
lim		lim		lim 1		.

x 2x 1		x	2x 1	x	2x 1

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

1 x

е (или

Чтобы использовать второй замечательный предел lim 1

lim 1 у

е ),

обозначим

Тогда

при x

y 0,

причем

у 0

2х 1

. Т.о.

2у

2x 4

lim

lim 1

у 2 у

2 lim 1 у

2 у lim 1 у

2x 1

x 2x 1

у 0

lim 1 у

1 е

е5

y 0

Ответ:

20. Найти производную функции:

3 5х

а)

у х 2;

б)

у (2х 3)(3х 2) ;

в)

;

г)

у 5 3

х5

;

1 sin x

1 3х

д)

у (х3

2х2

5)6

;

е) y

;

ж)

;

з)

y tg(3x 2

1);

sin 2x

1 sin x

и) у ln

Справочный материал

Правила дифференцирования:

1)c 0 ;

2)x 1;

3)(u v) u v ;

4)(c u) c u ;

5)(u v) u v u v ;

6)(u v w) u v w u v w u v w ;

		u'v uv'
	u
7)			.

	v	v2

Производная сложной функции

Если у есть функция от и: y f (u) , где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u (x) , т.е. если у зависит от х через промежуточный

аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функ-

ции): y f [ (x)].

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

yx yu ux .

Таблица производных:

№Функция у Производная у’

u n

n u n 1 u

2 u

eu u

a u

a u ln a u

ln u

loga u

u ln a

sin u

cosu u

cos u

sin u u

tgu

cos2 u

ctgu

sin2 u

arcsin u

1 u2

arccosu

–

u '

1 u 2

arctgu

1 u2

arcctgu

–

1 u2

Решение. а) у х 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у (х 2) (х) (2) 1 0 1.

б) у (2х 3)(3х 2)

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

у ((2х 3)(3х 2)) (2х 3) (3х 2) (2х 3) (3х 2)

2 (3х 2) (2х 3) 3 12х 5.

Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у 3 5х 1 3х

Используя правило дифференцирования (7), имеем


		3 5х	(3 5х) (1 3х) (3 5х)(1 3х)
у
				(1 3х)2
	1 3х
	5(1 3х) (3 5х)( 3)			14	.

		(1 3х)2		(1 3х)2

г) у 5 3 х5

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).


			5			5		5		5	1	25	2		25 3	х2
	5

у (5 3 х		)	5 х 3	5		х 3	5		х 3				х 3				.
								3				3
														3
д) у (х3 2х2 5)6
Пусть х3	2х2		5 u ,		тогда		y u 6 .			По		формуле (3),				получим

y (u 6 ) 6u 5 u 6(x3 2x2 5)5 (x3 2x2 5)

6(x3 2x 2 5)5 (3x2 4x).

е) y 1 sin x 1 sin x

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

1 sin x

(1 sin x) (1 sin x)

(1 sin x)(1 sin x)

(1 sin x)2

1 sin x

cos x(1 sin x) (1 sin x)( cos x)

2cos x

(1 sin x)2

ж)

sin 2x

Используя формулы (4) и (10), имеем:

cos 2x

y (

)

(sin 2x)

cos 2x

(2x)

sin 2x

2 sin 2x

cos 2x

sin 2x

з)

y tg(3x 2

По формуле (12) имеем:

(tg(3x

1))

(3x

cos2 (3x2 1)

cos2 (3x2

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

									1							1
	и) у ln													1							.
	и) у ln													1					2		.
																		x	2
							x											x
	По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:



									1																	1				1											1		1				2
	у								1									1								1				1											1		1				2
																							1
				1								1											1			x	2									1					x	2			1		x	3		=
				1		1						1				x										x			1							1					x				1		x
																																1											2 1
				x								x2																				1					x2						2 1			x2
				x								x2																			x						x2									x2

						1										1									1
	=					1										1									1				.
	=															x2													.
		1				1				1						x2						х3 1						1
		1								1																		1
										x2																		x2
		x								x2																		x2
	21. Найти предел, используя правило Лопиталя: lim																																									ех е х 2			.
	21. Найти предел, используя правило Лопиталя: lim																																												.
																																									x 0			x	2
																																					0							x
																																					0
	Решение. Имеем неопределенность вида																																						. Применяя правило Лопи-
	Решение. Имеем неопределенность вида																																						. Применяя правило Лопи-
																																					0
таля	(если								имеется												неопределенность															вида					0		или				,		то


	f (x)																																								0

lim							lim					f		(x)			), получим:
lim							lim										), получим:
	g(x)
x х0 ( )	g(x)						x х0 ( )					g		(x)
x х0 ( )							x х0 ( )
			е	х	е			х			2									(е		х	е		х								е	х	е			х
	lim		е		е						2		= lim							(е			е				2)		lim				е		е					.
	x 0						x	2							x 0										2						x 0				2x
							x																	(x		)									2x

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется.

Применим правило еще раз:

lim

е х

= lim

ех е х

е0

x 0

Ответ: 1.

22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x3 12х на

отрезке 0, 5 .

Решение. Сначала найдем производную функции: y 3x2

12 .

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых

y 0 или не

существует:

3x 2

12 0 , откуда

критические точки х1 2,

х2 2 . Точка

х1 2 не принадлежит отрезку

5 , поэтому мы исключаем ее из рас-

смотрения.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.06.2015927.18 Кб7Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721.pdf
#
10.11.20191.26 Mб10Математика и статистика_1сем (рекл).doc
#
04.11.20181.24 Mб12Математика лекции 1сем-р.doc
#
27.11.20191.17 Mб14Математика от Заплавной Т.А..doc
#
17.11.20192.74 Mб5Математика ТМ.doc
#
01.06.2015386.21 Кб8Математика_КР_ОЗО_1сем_2012_гр2621,2721.pdf
#
20.08.2019649.73 Кб9Математика_Лекции(4семОЗО).doc
#
26.03.201658.73 Кб25Материал к курсовой.docx
#
26.03.2016351.23 Кб10Материалы для главы по аудиту.doc
#
26.03.2016356.99 Кб122Материалы для подготовки к экзамену.docx
#
26.03.2016880.64 Кб53МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГТОВКИ.doc