Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт экономики, управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_КР_ОЗО_1сем_2012_гр2621,2721

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

386.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

11. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

	x sin x				1	1		3. lim	tg5x
1. lim		,	2.	lim			,			,
									tg 2x


x 0 3x3				x 0 x		sin x		x

								2

4. lim	1 cos(3x)	,
	x2
x 0


7.	lim		ex	1 x
					,

	x 0		sin 2 x
0.	lim	x3		3x2 9x 5		.

	x 1		x3 x 2 5x 3

5.	lim	ln 3x		,

	x	x2
					2
8.	lim		x 3			,
			x 1
	x 1

x3 3x2 4

6. lim 2 , x 2 sin (x 2)

9. lim	x2	3x 10			,
		x	2	4
x 2

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 2;2 .

1.	f (x) x4 1,									2.	f (x) x3 2x2 x 2,
3.	f (x) x3 2x2 x 2 ,									4.	f (x) x3 x2 ,								3		1
5.	f (x) x3 3x2 4 ,									6.	f (x) x3 2x2								3	x 2	1	,
5.	f (x) x3 3x2 4 ,									6.	f (x) x3 2x2									x 2		,
	f (x) x3 6x 7 ,																	4		4
7.	f (x) x3 6x 7 ,									8.	f (x) x3 4x2 7 ,
9.	f (x) x3 12x2 21x 10									0.	f (x) x3 x2 x 1.
13. Исследовать функцию и построить ее график.
1.	f (x)					1			,	2. f (x)			x	2	1	,		3.		f (x)			x 1	,
														2

			x	2	4x
				2								3 4x											x 3
								4				3 4x											x 3
4.	f (x)		x2			,				5. f (x)					1	,		6.		f (x)			x2	,
4.	f (x)		x 1			,				5. f (x)		1 x2				,		6.		f (x)			x 1	,
			x 1									1 x2											x 1	x
7.	f (x)				x					8. f (x)					1			9.		f (x)				x
							,										,								,
		x2					,										,								,
		x2		4x									x2 3x 2										x2 4x 3

0.f (x) x2 3 .

14.Вычислить приближенно, используя дифференциал функции.

				arcsin 0,3 ;		tg46 ,		10 0,99 ;
1.	0,99	0,99 ;	2.	arcsin 0,3 ;	3.	tg46 ,	4.	10 0,99 ;	5.	1,1 ;
6.	cos(	0,01) ;	7.	ln1,01;	8.	1,110 ;	9.	e0,05 ;	0.	sin0,1.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

V. Решение типовых примеров

		1		1		5		1
1. Сложить две матрицы	À		0	4	и Â		3	0
									.
			2	3			2	4

Решение. Складывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – 3 2 и В – 3 2 (где 3 – число строк,

2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

1	1		5	1	1 5	1 1	6	0

А В 0	4 3			0 0 3		4 0 3		4
	3			4
2	3		2	4	2 2	3 4	4	7
		6	0
			4
Ответ: А В 3			4	.
			7
		4	7

					2	6
2. Умножить матрицу А
2. Умножить матрицу А					1	0	на число 3.
					1	0
Решение. Для того чтобы умножить матрицу на число, надо каждый
элемент матрицы умножить на это число:
	2	6	3 2		3 ( 6)			6	18
3А 3
				3 1		3 0			0	.
	1 0			3 1		3 0		3	0
		6	18
Ответ:	3А
Ответ:			0	.
		3	0
					1	0	2				1		0	1
				А	1	0	2
3. Умножить матрицу				А				на матрицу			В 5		1 4		.
3. Умножить матрицу					3	1		на матрицу							.
					3	1	0					2	0
												2	0	1

Решение. Умножение матриц А и В определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Cm n Am k Bk n

Совпадают

Размерность результирующей матрицы

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

В нашем случае размер А – 2 3 , а размер В – 3 3 , поэтому умно-

жение производить можно; размерность результирующей матрицы С –

2 3 .

Для того чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца новой матрицы, нужно элементы i–й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы С вычисляются по формуле:

сij	ai1	b1 j ai 2		b2 j		... aik			bkj .
	1	0	2	1		0	1
	1	0	2		5	1	4
С					5	1	4
		1
	3	1	0		2	0	1
					2	0	1
1( 1) 0 5 2( 2)							1 0 0 1 2 0			1 1 0 4 2 1

	3 ( 1) 1 5 0					( 2)		3 0 1 1 0 0 3			1	1 4		0
	3 ( 1) 1 5 0					( 2)		3 0 1 1 0 0 3			1	1 4		0	1
5		0	3
			.
	2	1
	2	1	7
Ответ: С			5		0	3
Ответ: С						..
					1
			2		1	7
										2	1	3
										2	1	3
4. Вычислить определитель 3-го порядка:										5	4	0	.
										1	2	3

Решение. 1) Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

2 1 3

5	4	0 3 А13 0 А23 3 А33	(1)
1	2	3
Здесь		А13 , А23 , А33 – алгебраические дополнения	элементов матрицы

а , а	23	, а	33	соответственно, которые в общем случае для элемента	a		нахо-
13					ij
дятся по формуле
	Aij		( 1)i j Mij .			(2)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Минор M ij – определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения M13 вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

М13		5		4	5 2 4 1 6 .
		1		2

Аналогично определяем M 23 , вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.
M 33	получается вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:
М 33			2	1	2 4 1 5 3 .

			5	4

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

A13 ( 1)1 3 M13 ( 1)4 6 6 ,

A33 ( 1)3 3 M33 ( 1)6 3 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

2 1 3

5 4 0 3 6 3 3 27 . 1 2 3

Ответ: 27.

2)Метод Саррюса.

Спомощью метода Саррюса можно вычислять только определители третьего порядка.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

2 1 3 2 1

5 4 0 5 4 .

1 2 3 1 2

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналях, взятых с противоположными знаками.

2 1 3 2 1

5 4 0 5 4 2 4 3 1 0 1 3 5 2 3 4 1 2 0 2 1 5 3 27 . 1 2 3 1 2

–– – + + +

Ответ: 27.

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

	1	2	1
		3
5. Найти матрицу, обратную матрице А 2			3 , и сделать
	3	4	5

проверку.

Решение. а) сначала вычислим определитель исходной матрицы

	1	2	1
A	2	3	3	4 .
	3	4	5

Так как определитель матрицы А не равен 0, то для нее существует обратная матрица А-1.

b) Найдем транспонированную матрицу АТ, которая получается из исходной заменой элементов строк элементами столбцов с сохранением порядка:

	1		2	3
АТ			3	4
	2				.
		1	3	5

с) Найдем алгебраические дополнения всех элементов транспониро-

ванной матрицы и составим из них матрицу А , которая называется присоединенной (или взаимной):

AT	1 1 1	3											4				3,
11			3										5
			3										5
T	1 2			2									4			14,
T	1 2			2									4
A	( 1)
12				1									5
				1									5
AT	1 1 3				2								3			9 ,
AT	1 1 3				2								3			9 ,
13					1								3
					1								3
ÀÒ	1 2 1								2				3			1,
ÀÒ	1 2 1								2				3			1,
21									3				5
									3				5
ÀÒ	1 2 2											1 3		2,
ÀÒ	1 2 2											1 3		2,
22												1	5
												1	5
ÀÒ	1 2 3									1			2			1,
ÀÒ	1 2 3									1			2			1,
23										1			3
										1			3
ÀÒ	1 3 1						2						3				1,
ÀÒ	1 3 1						2						3				1,
31						3							4
						3							4
ÀÒ	1 3 2										1		3			10 ,
ÀÒ	1 3 2										1		3			10 ,
32											2		4
											2		4
ÀÒ	1 3 3							1					2		7 .
ÀÒ	1 3 3							1					2		7 .
33								2					3
								2					3

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

	~		3		14	9
	~				2		1
	А 1				2		1	.
				1	10		7
				1	10		7				1 ~
										1	1 ~
d) Найдем обратную матрицу по формуле								А					А :
												А


		1		3	14		9
А	1	1
				1	2			1	.
				1	2			1	.
		4						7
				1 10				7

е) Проверим правильность нахождения обратной матрицы А 1 : при умножении А 1 на исходную матрицу, должна получиться единичная матри-

ца Е:							А 1 А Е .
				1	3		14	9	1		2	1	1	0	0
А	1	А		1
			=		1		2	1 2 3				3 0		1	0 Е.
			=	4	1		2	1 2 3				3 0		1	0 Е.
				4		1	10			3	4			0
						1	10	7		3	4	5	0	0	1
				1		3	14	9
Ответ: А			1	1
					1		2	1	.
					1		2	1	.
				4			10	7
						1	10	7

6.Решить систему линейных уравнений:

х1 2х2 х3 8,

2х1 3х2 3х3 5,

3х1 4х2 5х3 10.

Решение. 1) Метод обратной матрицы.

Запишем систему в матричном виде. Для этого обозначим матрицу сис-

	1	2	1
		3
темы А 2			3 (она состоит из коэффициентов при переменных);
	3	4	5

x			8
1			5
столбец неизвестных X x2	, столбец свободных членов	B	5	, со-
			10
x3			10

стоящий из правых частей уравнений. Тогда система представима в матричном виде: A X B .

Для нахождения Х необходимо умножить матричное уравнение на А 1 слева: X A-1 B .

Матрицу А 1 найдем по алгоритму, приведенному в примере 5. Полу-

чим:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

		1	3		14	9
А	1
			1		2	1	.

		4		1	10	7

Тогда столбец неизвестных:
	x		1	3	14		9	8		4		1
		1	1						1
X x2				1	2		1 5			8 2 .
X x2				1	2		1 5			8 2 .
			4		10				4
	x3			1	10		7	10		12		3
2) Метод Крамера.
Выпишем определитель матрицы системы А:
	А		1	2	1
			1	2	1
			2 3		3	4 .
			2 3		3	4 .
			3	4	5
(Так как определитель не равен 0, то метод Крамера использовать мож-
но, и система имеет единственное решение.)
Определитель 1 получаем из определителя											заменой первого столбца

на столбец свободных членов В, а остальные столбцы остаются прежними:

8 2 1

1	5 3	3 4 .
	10 4	5

Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно 2 и 3 .

	1	8	1			1	2	8
2	2	5	3	8,	3	2	3	5	12 .
	3	10	5			3	4	10

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные:

х1	1	4	1, х2	2	8	2	, х3	3	12	3.

	4			4				4

3) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

	1	2	1	8
		3	3	5
2					.
	3	4	5	10

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а11 = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а11≠ 0. В нашем примере а11≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно умножим элементы первой строки на числа

а21 2 = 2 и а31 3 = –3 и прибавим соответственно к элементам вто-

а11	1	а11	1
рой и третьей строк:					8 3	1	2	1	8
	2 1		2 1



			3 3			0	7	1	11
	2				5

						0	10	2	14
		3	4	5	10

	Шаг 2. Если в полученной матрице а22 0 ,					то обнулим элемент второ-

го столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на

число				а32			10				10	и прибавим к третьей строке:
число				а22								и прибавим к третьей строке:
				а22		7				7
							1	2				1		8
							1	2				1		8
																								2	1	8
								7				1		11								1		2	1	8
			10				0	7				1		11								0		7	1	11
			10																			0		7	1	11
			7
							0		10			2		14											4	12
									10			2		14										0

																						0			7	7
																						0			7	7
		Полученная матрица имеет треугольный вид.
		Т.о., получили систему уравнений:

												х 2х						х			8,
												1					2			3	11,
															7х2			х3			11,
																4						12
																4		х3				12	.
															7			х3					.
															7						7				х3	3;
		Откуда				найдем					из		последнего								уравнения				х3	3;	из второго
х2		11 х3			2 ; из первого х1 8 2х 2														х3 1.
х2					2 ; из первого х1 8 2х 2														х3 1.
	7
		Ответ: х1				1,		х2		2,		х3		3.

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

7. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл.ден.ед.:

Отрасль		Потребление		Конечный	Валовой
			Машино-
		Энергетика		продукт	выпуск
			строение

Произ-	Энергетика	7	21	72	100
	Машино-
водство		12	15	73	100
	строение

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт энергетической отрасли должен увеличится в 2 раза, а

машиностроения – сохранится на прежнем уровне.
	Решение. Обозначим: х1 100 – общий валовой объем продукции пер-
вой отрасли, х2 100 –		второй отрасли. х11 7 –		объем продукции первой
отрасли, потребляемой		первой же отраслью в		процессе производства,
х12	21 – объем продукции первой отрасли, потребляемой второй отраслью,
х21	12 – объем продукции второй отрасли, потребляемой первой отраслью в
процессе производства,		х22	15 – объем продукции второй отрасли, потреб-
ляемой второй отраслью;			y1 72 – объем конечного продукта 1-й отрасли
для непроизводственного потребления, y2 73 – объем конечного продукта
2-й отрасли для непроизводственного потребления.					xij
	Найдем коэффициенты прямых затрат по формуле аij					(i, j = 1, 2),

					x j

показывающие затраты продукции i –й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Т.о., a11			х11	7	0,07; a12		х12	21			0,21;

			х1	100			х2
			х1	100			х2	100
a21	х	21	12	0,12; а22=a22		х22		15		0,15.

	х1		100			х2
	х1		100			х2		100
									0,07			0,21
Составим матрицу прямых затрат A													.
									0,12			0,15
									0,12			0,15

Матрица А имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет крите-

рию продуктивности:	0,21 0,15 max 0,19;	0,36 0,36 1
max 0,07 0,12;			(макси-

мальная из сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы).

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле: X E - A 1 Y .

Найдем матрицу E - A 1 :

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

1		0	0,07		0,21	0,93	0,21
E - A								.
	0	1		0,12	0,15	0,12	0,85

Так как определитель Е А 0,7653 0 , то существует обратная мат-

рица E - A 1 . Используя алгоритм вычисления обратной матрицы, изложен-

ный в примере 5, получим:

		1	0,85		0,21
E A	1					.

		0,7653		0,12	0,93

144

По условию вектор конечного продукта Y . Тогда вектор вало-

вого выпуска:

0,7653

0,85		0,21	144		180
							.
	0,12			73
	0,12	0,93		73		111

Ответ: Если конечное потребление энергетической отрасли увеличится в два раза, а машиностроительной – не изменится, то валовой выпуск энергетики должен увеличится до 180 усл.ед., а машиностроения – до 111 усл.ед.

8. Составить параметрическое и каноническое уравнения прямой, проходящей через точку М 3; 1 параллельно вектору s 2;3 .

Решение. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку

М х0 ; у0

x x0

параллельно вектору s m; n :

y y0

Подставляя в формулу координаты данной точки М и вектора s , полу-

чаем:

x 3 2t

y 1 3t

Каноническое уравнение прямой,

проходящей через точку М х0 ; у0

параллельно вектору s m;n :

у у0

x x0

Тогда каноническое уравнение

прямой, проходящей через

точку

М 3; 1

параллельно вектору s 2;3 :

у 1

x 3

x 3 2t

Ответ: Параметрическое уравнение искомой прямой

, кано-

y 1 3t

ническое у 1 x 3 .

9.Составить уравнение прямой в отрезках, проходящей через точки

A 5;4 и B 4; 3 .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.06.2015927.18 Кб7Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721.pdf
#
10.11.20191.26 Mб10Математика и статистика_1сем (рекл).doc
#
04.11.20181.24 Mб12Математика лекции 1сем-р.doc
#
27.11.20191.17 Mб14Математика от Заплавной Т.А..doc
#
17.11.20192.74 Mб5Математика ТМ.doc
#
01.06.2015386.21 Кб8Математика_КР_ОЗО_1сем_2012_гр2621,2721.pdf
#
20.08.2019649.73 Кб9Математика_Лекции(4семОЗО).doc
#
26.03.201658.73 Кб25Материал к курсовой.docx
#
26.03.2016351.23 Кб10Материалы для главы по аудиту.doc
#
26.03.2016356.99 Кб122Материалы для подготовки к экзамену.docx
#
26.03.2016880.64 Кб53МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГТОВКИ.doc