Konspekt_lekcii Зандер

D"t = 2 (t = 1; T )

называется гомоскедастичностью (рис. 3.8).

Случай, когда это условие не выполняется, т. е. возрастает дисперсия остаточной компоненты, называется гетероскедастичностью (рис. 3.9).

71

веряется с помощью случайной величины

n 1

P("t+1 "t)2

Здесь "t+1 и "t — отклонения от тренда. Возможные значения критерия находятся в интервале [0; 4]. Если автокорреляция в ряду отсутствует, то значения критерия d колеблются около 2.

В общем случае расчетное значение критерия Дарбина — Уотсона может попасть в один из подинтервалов значений в промежутке от

0 до 4. При попадании расчетного значения критерия в конкретный подинтервал делаются соответствующие выводы о наличии (отсутствии) автокорреляции, либо о невозможности сделать вывод (в этом случае необходимо провести дополнительные исследования):

0 : : : dн : : : dв : : : 4 dв : : : 4 dн : : : 4

|{z} | {z } | {z }

Эмпирическое значение d сравнивается с табличным значением. В таблице значений критерия указываются два значения критерия d1 и d2

(верхняя и нижняя граница теоретических значений). Критическое значение распределения Дарбина — Уотсона определяют для уровня значимости , при этом — число факторов в уравнении регрессии, n —

число членов временного ряда. При сравнении расчетного значения d с

табличным может получиться один из трех исходов:

1.dрасч < d1 — автокорреляция присутствует;

2.dрасч > d2 — автокорреляция отсутствует;

3.d1 6 dрасч 6 d2 — необходимо дальнейшее исследование.

Величина критерия d различна при положительной и отрицательной автокорреляции; при отрицательной автокорреляции d находится в интервале [2; 4], тогда для проверки определяют величину d0 = 4 d.

Для определения автокорреляции вычисляют также коэффициент

72

автокорреляции остатков

n

P

"t+1"t

Коэффициент автокорреляции остатков может принимать как положительные, так и отрицательные значения (вообще j j 6 1). При положительном значении делают вывод о наличии автокорреляции в остатках; отрицательное значение говорит о регулярной смене знака остатков, т. е. о чередовании положительных и отрицательных отклонений.

Как было отмечено выше, для временных рядов с краткосрочными тенденциями целесообразно построение авторегрессионных моделей.

В общем виде модель авторегрессии порядка p имеет следующий

вид:

Оценка параметров авторегрессионного уравнения осуществляется по формуле

A = (XT X) 1XT Y:

При этом одним из важных вопросов анализа авторегрессии является определение порядка авторегрессионной модели. Низкий порядок модели может дать несущественные результаты, так как в модели не использована важная информация за предыдущие моменты времени. Повышение порядка авторегрессионной модели может привести к снижению качества модели. Поэтому анализ авторегрессии не ограничивается

73

построением только одной модели, строится несколько моделей, по которым определяется ее порядок. Сначала строится уравнение регрессии первого порядка

ybt = a0 + a1yt 1

и для нее находится коэффициент автокорреляции. Затем строится модель второго порядка

ybt = a0 + a1yt 1 + a2yt 2:

Для нее рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции

R1. Если R1 будет превышать r1, то переходят к построению модели третьего порядка. Для этой модели также рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции R2, который сравнивается с предыдущим. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока множественный коэффициент автокорреляции практически станет неизменным при добавлении очередных уровней.

Коэффициент множественной автокорреляции определяется по формуле

p

Rk = r1 1 + r2 2 + : : : + rk k;

где ri — парные коэффициенты автокорреляции,

i — коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе. Построенные модели могут быть использованы при краткосрочном

прогнозировании изучаемых явлений.

74

Лекция 3.1.4. Многомерные временные ряды

При изучении закономерностей социально-экономических явлений большое значение имеет выявление зависимостей между взаимосвязанными, развивающимися во времени явлениями, проведение связанного анализа динамики. С этой целью строятся многофакторные модели взаимосвязанных временных рядов.

Многофакторной моделью называют модель, построенную по нескольким временным рядам, уровни которых относятся к одинаковым временным отрезкам или датам. При моделировании многомерных временных рядов особое значение имеет корреляционный и регрессионный анализ. Однако при корреляционно-регрессионном анализе временных рядов необходимо учитывать ряд особенностей, игнорирование которых не позволяет получить правильной оценки взаимосвязи между рядами и адекватной модели этой взаимосвязи.

Одна из таких особенностей состоит в наличии автокорреляции, которая искажает истинную тесноту связи между уровнями рядов, поскольку является следствием коррелированности уровней рядов друг с другом. Как правило, коэффициент корреляции между уровнями временных рядов, содержащих автокорреляцию, имеет завышенное значение, которое говорит не о высокой степени связи, а о высокой степени сопутствия развития показателей во времени. Высокая мера тесноты связи между уровнями в отдельных случаях может быть получена даже при отсутствии причинно-следственных связей между соответствующими явлениями. Для этого достаточно наличие устойчивых тенденций в развитии явлений, т. е. возможной автокорреляции внутри каждого ряда. Поэтому, прежде чем проводить корреляционный анализ временных рядов, необходимо рассчитать коэффициент автокорреляции и, в случае ее обнаружения, для установления «истинной» зависимости между исследуемыми рядами, требуется устранить автокорреляцию.

Существуют различные методы устранения автокорреляции, однако все они преследуют одну цель — исключение из исследуемых рядов основной тенденции. Наиболее применяемые из этих методов:

1. метод коррелирования последовательных или конечных разно-

75

стей;

2.метод коррелирования отклонений уровней ряда от основной тенденции.

Метод коррелирования последовательных разностей — это метод коррелирования первых, вторых и т. д. разностей уровней временных рядов. При этом учитывается вид тренда. Если аппроксимирующие функции линейные, то коррелируются первые разности. Тогда коэффициент корреляции последовательных разностей вычисляют как:

n 1 n 1

P 21xt P 21yt t=1 t=1

Если аппроксимирующие функции представляют собой параболы второго порядка, то коррелируются вторые разности и т. д. Коррелируя разности уровней, тем самым механически уменьшают автокорреляцию в каждом из рассматриваемых рядов.

Методически наиболее правомерным методом коррелирования временных рядов является метод измерения тесноты связи между отклонениями эмпирических значений уровней от выравненных по тренду. Формула коэффициента корреляции по отклонениям от трендов имеет вид

Для того, чтобы воспользоваться этой формулой, строят трендовые модели для x и y, с помощью которых оценивают остатки xt и yt. После этого вычисляют коэффициенты автокорреляции остатков и делают вывод о наличии либо отсутствии автокорреляции остаточных компонент.

76

Если автокорреляция остатков отсутствует, то рассчитывают коэффициент корреляции по отклонениям (который будет существенно ниже исходного, рассчитанного по рядам с автокорреляцией).

Автокоррелированными могут оказаться остаточные величины и в регрессионной модели, построенной по многомерным временным рядам. Автокорреляция в отклонениях от регрессионной модели, построенной по многомерным временным рядам, обусловлена рядом причин:

1.в модели не учтен некоторый существенный фактор, и его влияние отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными;

2.в модели не учтено несколько второстепенных факторов, взаимное влияние которых является существенным вследствие совпадения фаз и направлений их изменения;

3.неправильно выбрана форма связи между факторными и результативными признаками;

4.не учтены особенности внутренней структуры случайной величины.

Наиболее распространенным методом определения автокорреляции случайных величин является использование критерия Дарбина — Уотсона. Случайная величина d в этом случае будет иметь вид

n 1

P("t+1 "t)2

где t — случайные отклонения от тренда или регрессионной модели. Если в рядах динамики или в остаточных величинах имеется авто-

корреляция, то оценки коэффициентов регрессии, полученные методом наименьших квадратов, будут несмещенными, но неэффективными, т.к. наличие автокорреляции увеличивает дисперсии коэффициентов регрессии. Этот факт затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости.

77

Итак, прежде чем проводить корреляционно-регрессионный анализ, необходимо исключить из исследуемых рядов основную тенденцию.

Изучая взаимосвязанные временные ряды, следует иметь в виду, что в целом ряде случаев изменение уровней одного ряда может вызвать изменение уровней другого ряда только через определенный интервал времени. Направление и продолжительность отставания уровней одного из взаимосвязанных рядов от уровней другого ряда называются временным лагом. Для лаговых зависимостей применима стандартная техника корреляционно-регрессионного анализа. При вычислении оценок зависимостей ряды показателей сдвигаются друг относительно друга на , вследствие этого сдвинутые ряды оказываются короче на наблюдений. Коэффициент лаговой корреляции yt+ и xt определяется по формуле:

где xt и yt+ — уровни временных рядов, образующих пары; x и y — средние значения укороченных рядов;

n — временной интервал наблюдений.

Для определения величины сдвига одного ряда относительно другого временного ряда рассчитывается взаимная корреляционная функция, которая представляет собой множество коэффициентов корреляции между уровнями ряда yt и xt в заданные моменты времени t = 1; 2; : : : ; n, сдвинутыми относительно друг друга на моментов. Величина и направление временного лага находятся по наибольшему коэффициенту корреляции. Сравнение значений коэффициентов корреляции показывает, с какого момента начинает сказываться влияние изменения уровней одного временного ряда на изменение уровней другого временного ряда и с какого момента это влияние ослабевает или прекращается.

В регрессионной модели, построенной по многомерным временным рядам, необходимо исключить мультиколлинеарность. Ее наличие затрудняет проведение анализа изучаемого экономического показателя, т. к.

78

1.усложняется процесс выделения наиболее существенных факторов;

2.искажается смысл коэффициентов регрессии при их экономической интерпретации;

3.затрудняется определение коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов, т. к. определитель матрицы системы нормальных уравнений имеет значение, близкое к нулю.

При выявлении причин, вызывающих явление мультиколлинеарности, первостепенное значение имеет качественный (логический) анализ. Явление мультиколлинеарности может быть связано как с наличием истинных линейных соотношений между признаками, так и с наличием ошибок в самих признаках, а также с недостаточностью статистической информации.

Устранение мультиколлинеарности в многофакторных моделях временных рядов в основном сводится к следующим процедурам:

1.преобразованию множества независимых переменных в несколько ортогональных множеств, используя при этом методы многомерного статистического анализа (факторный анализ и метод главных компонент);

2.исключению из рассмотрения одного или нескольких линейно связанных факторов-аргументов на основе предварительного экономического анализа и априорных сведений о степени влияния каждого исходного фактора на результативный;

3.построению уравнения регрессии по отклонениям от тренда или его конечным разностям;

4.привлечению дополнительной информации.

Другой важной проблемой при анализе временных рядов с помощью регрессионного анализа является выбор формы связи (вида уравнения регрессии), от которой в значительной степени зависят практические результаты исследования.

79

Существуют различные способы построения множественной ре-

грессионной модели по временным рядам.

1.Построение модели по уровням временных рядов. Модель будет иметь вид

yb = a0 + a1y1 + a2y2 + : : : + apyp:

Этот метод имеет ограниченную сферу применения, т. к. при непосредственном коррелировании уровней экономических рядов, содержащих определенные тренды развития, можно столкнуться с проблемой ложной корреляции. Рассмотренный метод может быть использован только при четком подтверждении аналитическими методами отсутствия тенденции и автокорреляции, либо их незначительности.

2.Построение модели по отклонениям уровней временных рядов от выравненных по тренду уровней. Сущность этого способа состоит в том, что из каждого временного ряда исключается временной тренд, являющийся причиной автокорреляции. Модель в общем виде запишется так:

yb yt = a0 + a1(x1 x1t) + : : : + ap(xp xpt);

(i = 1; p) — основные тенденции моделируемого признака и факторных признаков.

3.Построение модели по разности между уровнями рядов. При использовании данного приема исходят из предположения, что все разности между уровнями временных рядов, начиная с первой, будут содержать только случайную компоненту, причем первые разности содержат случайную компоненту в линейной форме, вторые — описываемую параболой второго порядка, третьи - показательной функцией. Модель будет иметь вид

yt+1 = a0 + a1 x1; t+1 + a2 x2; t+1 + : : : + ap xp; t+1:

Однако если в результате применения этого метода остаточная компонента окажется сильно автокоррелированной, то он не может быть применен.

80