Konspekt_lekcii Зандер

где c — потребительские расходы; y — доход;

z — непотребительские расходы;

u — случайное возмущение (учитывающее неполноту ин-

формации, незамкнутость системы и др.).

Предполагается, что уровень непотребительских доходов задан извне, т. е. переменная z экзогенна и определяется независимо от c и y. Случайные величины ut некоррелированы, имеют нулевые средние и одинаковые дисперсии 2. Требуется оценить параметры модели ; ; 2.

В выражении для ct переменная y коррелирует со случайным возмущением. Это приводит к тому, что обычные МНК-оценки параметров оказываются смещенными и несостоятельными.

Рассмотрим общую линейную модель вида

i1y1t + i2y2t + : : : + iGyGt + i1x1t + : : : + ikxKt = uit; (t = 1; n; i = 1; G):

Здесь yit — значения эндогенных переменных в момент t;

xit — значения экзогенных переменных в момент t и ла-

говых эндогенных переменных.

Переменные xit в момент времени t называются предопределенными. Совокупность равенств данного вида называется системой одновременных уравнений в структурной форме. На коэффициенты в указанных равенствах накладываются априорные ограничения, например, часть коэффициентов считаются равными нулю. Это обеспечивает возможность статистического оценивания оставшихся.

Систему указанных равенств удобно представить в матричном ви-

де:

Byt + Gxt = ut;

где B — матрица, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

G — матрица, состоящая из коэффициентов при предопределенных переменных;

yt = (y1t; : : : ; yGt); xt = (x1t; : : : ; xKt); ut = (u1t; : : : ; uGt) —

векторы-столбцы.

91

Если матрица B невырождена, то систему можно разрешить относительно yt:

yt = Pxt + t;

где P = B 1G;

t = B 1ut — случайное возмущение.

Такая форма записи называется приведенной формой системы одновременных уравнений. В приведенной форме параметры матрицы P

выражают общий (прямой и косвенный) эффект влияния предопределенных переменных на совместно зависимые переменные, тогда как в структурной форме параметры матрицы G отражают только непосредственное влияние предопределенных переменных.

Совместно-зависимыми называются переменные, которые в один и тот же момент времени выступают как объясняющие переменные в одних уравнениях и как зависимые — в других.

Приведенную форму модели используют для прогнозирования. Параметры модели в приведенной форме оценивают непосредственно с помощью МНК.

Уравнения для всех периодов наблюдений могут быть записаны в виде одного матричного уравнения:

BY + GX = U:

Решение вопросов о том, какие переменные должны быть включены в модель, разделение переменных на эндогенные и экзогенные, а также определение состава переменных каждого уравнения системы составляют суть процесса спецификации модели. Кроме этого, спецификация модели включает в себя априорную информацию: ограничения на коэффициенты и гипотезу о случайных возмущениях ut.

Типичным примером априорных ограничений являются исключающие ограничения, выражающие то, что некоторые переменные заведомо не входят в отдельные уравнения и, следовательно, соответствующие им коэффициенты равны нулю. В качестве гипотезы о случайных возмущениях принимается гипотеза о том, что случайные величины ut независимы и имеют один и тот же закон распределения с нулевым средним.

92

Проблема идентифицируемости

Предположим, что априорные ограничения являются линейными однородными функциями, каждая из которых зависит только от коэффициентов одного из уравнений структурной формы. Выясним, когда коэффициенты матрицы G могут быть однозначно восстановлены по матрице приведенной формы P .

Вкачестве одного из критериев идентифицируемости, удовлетворение требований которого обеспечивает однозначную идентифицируемость параметров системы уравнений, выступает правило порядка.

Правило порядка (или необходимое условие идентифицируемости) определенного уравнения говорит о том, что число неизвестных, исключенных из уравнения, должно быть по меньшей мере равно числу уравнений минус единица, или число исключенных из уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше числа участвующих в нем эндогенных переменных, уменьшенного на единицу.

Вситуации, когда имеются дополнительные ограничения на коэффициенты приведенной формы (например, требование определенного соотношения между коэффициентами, либо равенство нулю дополнительных коэффициентов сверх правила порядка), говорят о случае сверхидентифицируемости.

Среди систем приведенных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно применять метод наименьших квадратов. Система одновременных уравнений BY + GX = U называется рекурсивной, если матрица B

является нижней треугольной матрицей (т. е. ij = 0 при j > i) и каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению. Общий вид рекурсивной системы может быть представлен следующим образом:

y1 = 11x1 + : : : + 1nxn + "1;

y2 = 21y1 + 21x1 + ::: + 2nxn + "2;

: : :

ym = m1y1 + m; m 1ym 1 + m1x1 + : : : + mnxn + "m:

Рекурсивные системы являются весьма привлекательными для ис-

93

пользования их в экономических исследованиях, тем более что реальные экономические системы являются рекурсивными по своей природе. Действительно, вряд ли можно представить рынок, где равновесные цены и спрос формировались бы одновременно (ситуация, приведенная в Примере 1). Более реальной является ситуация, когда цены в день t устанавливаются в зависимости от объема продаж в предыдущий день, в то время как покупки в день t зависят от цены товара в день t. Математическая модель данной ситуации выглядит так:

pt = 0 + 1qt 1 + ut; qt = 0 + 1pt + vt:

Здесь ut и vt — случайные возмущения, которые можно считать независимыми, и тогда в данном случае мы имеем модель рекурсивной системы.

Необходимость рассматривать системы, отличные от рекурсивных, возникает в связи с тем, что исследователь обычно располагает усредненными (агрегированными) данными. Например, данные о рыночной конъюнктуре могут быть усреднены по недельным или месячным периодам, т. е. известными являются величины:

Pt — средняя цена за неделю t;

Qt — средний объем ежедневных продаж за неделю t.

Если считать время реакции рынка, как и раньше, равным одному дню, то соотношение

Pt = 0 + 1Qt 1 + ut

вряд ли можно считать разумным. В этом случае модель Примера 1 представляется более естественной.

94

Ситуация резко усложняется, если для коэффициентов матрицы A

имеются априорные ограничения.

Пусть, например, эта матрица имеет следующую структуру:

01

a1 0 0

BC

B0 0 Ca2

B ... ... ... ... C;

B C

@A

0 0 ak

где al — nl-вектор-столбец коэффициентов в l-м уравнении (для l-й изу-

k

P

чаемой переменной), nl = n, т.е. многие элементы матрицы A априорно приравнены нулю.l=1

Фактически это означает, что для каждой изучаемой переменной

имеется свой набор объясняющих факторов с N nl-матрицей наблю-

Сразу можно заметить, что теперь оператор (2) применить невозможно, т.к. система нормальных уравнений, решением которой является этот оператор, записывается следующим образом:

дого уравнения должен удовлетворять k взаимоисключающим, в общем случае, системам уравнений.

Правильная оценка параметров регрессии дается решением следу-

ющих уравнений:

k k

XX

где !ll01 — элемент матрицы 1.

96

Или в матричной записи:

которая при сравнении с (4) оказывается результатом умножения в (4) всех Mll0 и mll0 на !ll01 и сложения столбцов в обеих частях этого выражения.

Эта оценка совпадает с обычной МНК-оценкой al = Mll 1mll, если матрица диагональна, т.е. ошибки изучаемых переменных не коррелированы.

Взаимозависимые или одновременные уравнения.

Проблема идентификации

Далее в этом разделе уравнения регрессии записываются в форме

со скрытым свободным членом.

X — N k-матрица наблюдений за изучаемыми переменными x;

Z — N (n+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами z;

B — k k-матрица параметров регрессии при изучаемых перемен-

ных; B 6= Ik, иначе система была бы невзаимозависимой; jBj 6= 0 и

ll = 1 — условия нормализации, т.е. предполагается, что, в конечном счете, в левой части l-го уравнения остается только l-я переменная, а остальные изучаемые переменные переносятся в правую часть;

A — (n + 1) k-матрица параметров регрессии (последняя строка —

свободные члены в уравнениях);

" — N k-матрица значений случайных ошибок по наблюдениям;

Такая запись одновременных уравнений называется структурной формой. Умножением справа обеих частей этой системы уравнений на

B 1 она приводится к форме, описанной в предыдущем пункте. Это —

приведенная форма системы:

X = ZAB 1 + "B 1:

97

D = AB 1 — (n + 1) k-матрица параметров регрессии приведенной формы. Для их оценки можно использовать МНК:

D = (Z0Z) 1Z0X:

Таким образом, матрица D оценивается без проблем, и ее можно считать известной. Однако задача заключается в оценке параметров B

и A системы в приведенной форме. Эти параметры, по определению, удовлетворяют следующим условиям:

"#

B

.

A

Это — условия для оценки параметров структурной формы. В общем случае эти условия достаточно бессмысленны, т.к. они одинаковы для параметров всех уравнений. Они описывают лишь множество допустимых значений параметров (одинаковое для всех уравнений), поскольку для n + k + 1 параметров каждого уравнения структурной формы имеется только n + 1 одинаковых уравнений. Необходимы дополнительные условия, специальные для каждого уравнения.

Пусть для параметров l-го уравнения кроме требования

ния — l-й столбец матрицы H.

!

W

Rl

ных параметров l-го уравнения, где Wl — (n+rl +1) (n+k +1)-матрица.

98

Они позволяют определить искомые параметры с точностью до постоянного множителя (при выполнении условий нормализации l = 1

параметры определяются однозначно), если и только если ранг матрицы Wl равен n + k. Для этого необходимо, чтобы

Однако, это условие не является достаточным. Имеется необходимое и достаточное условие для определения параметров l-го уравнения (более операциональное, чем требование равенства n + k ранга матрицы Wl):

Доказательство данного утверждения опускается по причине сложности. Теперь вводятся определения, связанные с возможностью нахождения параметров уравнения структурной формы: l-е уравнение не иден-

тифицировано, если rl < k 1; оно точно идентифицировано, если rl = k 1 и ранг Wl равен n+k; сверхидентифицировано, если rl > k 1. В первом случае параметры не могут быть оценены, и, хотя формально, например, используя МНК, оценки можно получить, они никакого смысла не имеют; во втором случае параметры уравнения оцениваются однозначно; в третьем — имеется несколько вариантов оценок.

Обычно строки матрицы Rl являются ортами, т.е. дополнительные ограничения исключают некоторые переменные из структурной формы. Тогда, если kl и nl — количества, соответственно, изучаемых переменных, включая l-ю, и независимых факторов в l-м уравнении, то для его идентификации необходимо, чтобы

В таком случае условие (11) означает, что матрица, составленная

из коэффициентов во всех прочих уравнениях, кроме l-го, при переменных, которые исключены из l-го уравнения, должна быть не вырождена. При этом l-й столбец матрицы RlH из (11), равный нулю, как это следует из (9), исключается из рассмотрения.

Дальнейшее изложение ведется в предположении, что строки матрицы Rl — орты.

99

Оценка параметров отдельного уравнения

Вводятся дополнительные обозначения:

Xl — N kl-матрица наблюдений за изучаемыми переменными xl, входящими в l-е уравнение;

Xl — N-вектор-столбец наблюдений за l-й переменной xl;

Xl — N (kl 1)-матрица Xl без столбца Xl наблюдений за xl ;

l — kl-вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;

l — (kl 1)-вектор-столбец l с обратным знаком и без l-го элемента ll = 1;

Zl — N (nl + 1)-матрица наблюдений за независимыми факторами zl, входящими в l-е уравнение, включая единичный столбец, соответ-

ствующий свободному члену;

l — (nl + 1)-вектор-столбец параметров при этих факторах вместе со свободным членом;

"l — N-вектор-столбец остатков в l-м уравнении по наблюдениям. Тогда l-е уравнение регрессии можно записать следующим обра-

зом:

Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные и несостоятельные оценки, прежде всего потому, что остатки

"l скорее всего коррелированы с регрессорами Xl , которые к тому же недетерминированы и наблюдаются с ошибками.

Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов: с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения.

Можно записать уравнения для оценки косвенным методом в общем случае.

100