Konspekt_lekcii Зандер

Таким образом, Dобщ = Dвнутригр + Dмежгр или в обозначениях данных для дисперсионного анализа:

При этом внутригрупповая дисперсия характеризует рассеяние внутри групп и отражает влияние неучтенных факторов, межгрупповая дисперсия равна той части дисперсии результирующего показателя, которая отражает разброс относительно общего среднего (причем разброс объясняется влиянием анализируемого неколичественного фактора).

Вернемся к проверке гипотезы об отсутствии влияния неколичественного фактора на результирующий показатель Y . Основная гипотеза записывается как

H0 : общ2 = внутригр2 :

Альтернативная гипотеза

H1 : общ2 > внутригр2 :

Для проверки строится статистика, имеющая распределение Фи-

шера и равная отношению общей дисперсии к внутригрупповой:

Расчетное значение сравнивается с табличным значением F - распределения, соответствующим уровню значимости , числу степеней свободы числителя 1 = N 1 и знаменателя 2 = N P .

112

Т а б л и ц а 7

113

Если Fрасч > Fтабл, то нулевая гипотеза отвергается с уровнем значимости . В таком случае с вероятностью, равной p = 1 , делается вывод о существенности влияния данного качественного признака на результирующий показатель.

Процедуру ДА обычно представляют в форме таблицы 7.

114

Лекция 3.3.2. Модель двухфакторного дисперсионного

анализа

Исследуется ситуация, когда необходимо установить влияние на зависимый количественный показатель двух качественных признаков A

и B с числом градаций соответственно P (i = 1; P ) и Q (j = 1; Q), а также их взаимодействия. Обозначим как ij среднее значение результата эксперимента (эффект взаимодействия) при сочетании i-го уровня фактора A с j-ым уровнем фактора B (среднее значение в (i; j)-ой ячейке прямоугольной таблицы, где строкам соответствуют градации фактора

A, а столбцам — градации фактора B). Число наблюдений в ячейке (i; j)

равно n, и тогда общее количество наблюдений определяется как

N = nP Q:

Главным эффектом фактора A на i-ом уровне будем считать число i, а главным эффектом фактора B на уровне j будем считать число j.

Пусть yijk — k-ое наблюдение зависимого признака в ячейке (i; j), соответствующее i-му уровню фактора A и j-му уровню фактора B

(k = 1; n; i = 1; P ; j = 1; Q), y — среднее значение зависимого признака, "ijk — случайная составляющая для k-го наблюдения в ячейке

(i; j). В модели полного двухфакторного ДА предполагается, что уровни факторов фиксированы. Рассмотрим случай, когда n > 1. Модель двухфакторного ДА примет вид

yijk = y + i + j + ij + "ijk; i = 1; P ; j = 1; Q; k = 1; n:

Предполагается, что случайные составляющие независимы и имеют нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией 2.

Результаты наблюдений для указанного полного двухфакторного ДА удобнее представлять в виде таблицы 8

Среднее значение для сочетания факторов (i; j) определяется как:

115

Общую сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой пере-

менной (Dy) можно разложить на несколько составных частей:

—сумму квадратов, обусловленную влиянием фактора A (DA);

—сумму квадратов, обусловленную влиянием фактора B (DB);

—сумму квадратов, обусловленную влиянием взаимодействия факторов A и B (DAB);

—остаточную сумму квадратов (Dост).

Тогда