1.12. Применение теоремы Гаусса

1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью заряда :

Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов .

Найдем напряженность в точке A.

В соответствии с законом Кулона для нахождения величины в т.A нужно плоскость разделить на точечные заряды и потом суммировать величины , созданные каждым из этих зарядов. Эта процедура довольно сложная. Теорема Гаусса позволяет решить задачу по отысканиюочень просто. Через т.A нужно провести замкнутую поверхность и найти поток через нее.

Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол между вектором и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно,cos=1. Для боковой же поверхности . Угол’=90, следовательно, cos=0 и .

Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхностьравен сумме потоков через два основанияии потоку через боковую поверхность:

где - берем элементарные площадки одинаковой величины.

Суммарный заряд внутри цилиндра

.

Тогда по теореме Гаусса запишем:

и получаем:

Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x₁ и x₂ от плоскости. Воспользуемся соотношением . Векторы напряженностинаправлены по осиOx, поэтому:

откуда получим:

2. Поле двух параллельных бесконечных равномерно заряженных плоскостей

Для рассматриваемого случая воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей. Изобразим линии напряженности положительно заряженной плоскости сплошными линиями, отрицательно заряженной плоскости – пунктирными. Укажем направление силовых линий в областях I, II и III.

Результирующая напряженность в каждой области по принципу суперпозиции:

Напряженности, создаваемые каждой плоскостью в отдельности:

и .

Из рис. видно, что в области II векторы исонапралены и при

В областях I и III векторы инаправлены противоположно друг другу, т.е.и.

Найдем разность потенциалов между плоскостями. Обозначим расстояние между ними d и воспользуемся соотношением:

Интегрируя

получим