Неупругие столкновения не играют роли, так как не влияют на формирование энергетического спектра, а степень асимметрии по скоростям определяется скорее “трением”, т.е. упругими столкновениями, меняющими направление скорости электрона.

Рассмотрим подробнее правую часть уравнения (1.7.23). В уравнении имеется сомножитель q(θ), а интеграл берется по dΩ при фиксированном Ω, поэтому здесь удобнее сменить исходную систему координат с полярной осью, параллельной E, на систему, связанную с Ω (рис. 45,в). Тогда элемент телесного угла dΩ = dϕ sin θdθ. Теперь можно подcтавить в (1.7.23) ФР в виде (1.7.17) и записать внутренний интеграл в виде

Здесь угол ϑ фиксирован, а член с f0 изчез, так как он не зависит от ϑ. Согласно формулам сферической тригонометрии

В дальнейшем, при подстановке J в (1.7.23) и интегрировании по dΩ , слагаемое, содержащее cos ϕ изчезает при интегрировании по dϕ . Поэтому оставим сразу только первый член, и получим

где cos θ - средний косинус угла рассеяния. Он зависит от вида q(θ), т.е., вообще говоря, от деталей атомного строения.

Теперь можно ввести эффективную частоту столкновений νm = νc(1 − cos θ). Подставив ее в правую часть (1.7.23), получим

Таким образом, используя приближение (1.7.17), мы получили, вместо интегро-дифференциального уравнения, два дифференциальных уравнения (1.7.22) и (1.7.22), определяющие симметричную и несимметричную части функции распределения. Они справедливы для любой зависимости E(t).

1.7.4.Уравнение для энергетического спектра электронов

Теперь мы имеем свободную систему двух уравнений, связывающих f0 и f1. Общего ее решения не существует. Рассмотрим важный частный случай гармонического внешнего поля

98

Согласно (1.7.22) можно считать, что симметричная часть ФР f0 состоит из двух частей: основной – медленно меняющейся со временем благодаря неупругим столкновениям и постепенным набором энергии от поля (влияние второго члена в правой части) и поправки, связанной с влиянием первого члена. Так как f1 E0, то этот член E02 и осциллирует с частотой приложенного поля. Средняя величина этого члена и определяет темп набора энергии от поля. Поскольку эти быстрые осцилляции не существенны для формирования энергетического спектра, мы будем при решении уравнений использовать усредненные за период значения f0

и ∂f0/∂v , т.е. пренебрегать “мелкими” вариациями ФРЭ в течение периода, и считать что она заметно изменяется только в течение многих периодов.

Поэтому при интегрировании второго уравнения (1.7.28) мы тоже подставили усредненную за период производную ∂f0/∂v . В результате получим линейное уравнение

99

В пределе низких частот (ω2 << νm2 ) сдвиг по фазе мал, и мы имеем

Последнее выражение можно сразу получить из (1.7.28), положив ∂f1/∂t = 0. Асимптотическое значение f1, устанавливающееся через одно столкновение, есть

представляет собой абсолютную величину дрейфовой скорости электрона.

Выражения (1.7.41) и (1.7.43) определяют критерии малости f1/f0 поправки к симметричной ФРЭ, что было исходным условием применимости рассматриваемого приближения. Теперь его можно сформулировать так: асимметрия ф.р.э. по скоростям может считаться малой, если амплитуда скорости колебаний электрона в переменном поле или дрейфовая скорость в постоянном поле малы по сравнению со средней тепловой скоростью электрона.

100

1.7.5.Уравнение для симметричной части функции распределения

Подставив (1.7.37) в (1.7.22)получим уравнение для функции f0, определяющей энергетический спектр электронов. При этом мы проведем усреднение за период осцилляций поля с учетом выражений cos ωt sin ωt = 0 и sin2 ωt = 1/2. Далее для упрощения записи знак усреднения в выражениях опустим. Тогда

Полученное уравнение справедливо и для переменного, и для постоянного поля.

Последнее выражение можно преобразовать в уравнение для ФРЭ по энергиям. Вспомнив одно из ее

получим

Напомним еще раз, что выражение (n/ε1/2 ≡ f(ε)) часто в литературе назвывают ФРЭ по энергиям.

101

После введения таких обозначений, уравнение (1.7.53) становится аналогичным уравнению одномерной диффузии частиц и, по смыслу, является уравнением диффузии в энергетическом пространстве. Здесь ε –

“координата”, J – поток, Q – источник, D – коэффициент диффузии (величина которого, правда, зависит от “координаты”), и U – скорость.

"Диффузия"частицы в пространстве энергий связана со случайным характером набора и потери энергии

В этих формулах u – амплитуда колебательной скорости электрона в переменном поле или скорость дрейфа в постоянном.

Исходя из понятия о потоке энергии, теперь легко дополнить выведенные для ФРЭ уравнения опущенными ранее членами, связанными супругими потерями. Эти потери вызывают дополнительный поток по

То есть к потоку J нужно добавить nUel. Вернувшись к исходным уравнениям, получим искомые выражения, в которых учтена роль упругих потерь в формировании ФРЭ,

102