Рис. 42: Влияние состояния поверхности на эффективность вторичной ионно-электронной эмиссии; бомбардирующие ионы, материал поверхности и покрывающий ее газ указаны возле соответствующих кривых.

Лекция 6

1.7. Функция распределения электронов в низкотемпературной плазме

1.7.1.Кинетическое уравнение для плазмы

Для каждого сорта зарядов можно записать их плотность как интеграл от функции распределения по скоростям

Зависимость от r указывает, что плазма может быть пространственно не однородной. Если время столкновений много меньше времени между столкновениями, то можно учитывать только макроскопическое поле

E. Если за интересующее нас время плазму можно считать бесстолкновительной, то материальная производная df/dt (производная вдоль траектории) от функции распределения равна нулю (теорема Лиувиля).

Поскольку

ddtv = qmE ,

из (1.7.1) получаем закон сохранения плотности частиц в элементе объема, движущемся вместе с выделенной группой частиц

получим “уравнения Власова”. Если столкновения существенны, в правой части первого уравнения вместо нуля появится “интеграл столкновений” (df/dt)col.

93

Рис. 43: Фотоэлектронная эмиссия с поверхности металлов.

Рис. 44: (а) Потенциальный барьер вблизи поверхности в присутствие электрического поля; (б) области термоэлектронной, автоэлектронной и термоавтоэлектронной эмиссий.

Для постоты будем считать плазму пространственно изотронной, и рассмотрим только функцию распределения по скоростям (энергиям). Поскольку в большинстве процессов функции распределения по скоростям тяжелых частиц не играют существенной роли, мы будем рассматривать далее только функцию распределения электронов (ФРЭ), “температура” которых, к тому же, часто бывает много выше, чем температура ионов и газа. ФРЭ имеет особую важность, так как и теплопроводность и электропроводность плазмы определяется, в основном, именно электронами.

1.7.2.Столкновения электронов с газом в электрическом поле

Заменив в (1.7.2) q на −e, запишем уравнение для функции распределения электронов, сталкивающихся с тяжелыми частицами в присутствие электрического поля,

94

Справа символом df/dtcol обозначен “интеграл столкновений”, явный вид которого зависит типа столкновений и параметров плазмы . Введем сферические координаты (рис. 45,а) с полярной осью, совпадающей с направлением вектора напряженности электрического поля. Поскольку оператор набла в сферических коор-

динатах имеет вид (здесь и далее ˆ, ˆ, и ˆ – символы, обозначающие единичные векторы в соответствую- v ϑ ϕ

щих направлениях)

Производная по ϕ исчезает ввиду симметрии относительно полярной оси.

Решение этого уравнения в общем виде очень сложное, так как в правой части нужно учесть столкновения электронов с электронами, атомами и ионами, что делает его нелинейным. В низкотемпературной плазме, однако, достаточно учитывать столкновения электронов с нейтральными частицами. Поскольку они имеют большую массу, и их скорости малы, мы можем не учитывать их ФР и использовать модель тяжелых, покоящихся атомов и молекул.

Рис. 45: К вычислению функции распределения: (а) Вектор скорости в сферических координатах;

(б) схема упругого рассеяния; (в) определение углов.

Разделим столкновения на упругие (индекс el) и неупругие (индекс inel) и запишем, соответственно,

95

Рассмотрим подробнее неупругие столкновения. Примем сначала, что M/m = ∞ (правильное значение мы ввведем позднее). Тогда |v| и ε электрона при рассеянии не изменяются, то есть функцию распределения мы можем сначала рассматривать как зависящую только от направления телесного угла

Пусть (рис. 45,б) q(v, Ω, Ω ) dΩ – вероятность “попадания” электрона в результате рассеяния из телесного угла dΩ с направлением Ω в телесный угол dΩ с направлением Ω , причем

Правая часть это, в сущности, просто более подробная запись левой. Скорость возврата частиц в объем dΩ

будет:

νc f(Ω )dΩ q(Ω , Ω) dΩ (1.7.12)

Ω

Разность между (1.7.11) и (1.7.12) и даст нам интеграл упругих столкновений I[f(Ω)] dΩ.

Очевидно, что (1) q(Ω, Ω ) = q(Ω , Ω) = q(θ) и (2) вероятность с равными основаниями можно интегрировать как по начальным (Ω), так и по конечным (Ω ) направлениям, – это никак не изменит

1.7.3.Симметричная и асимметричная части ФР

Кинетическое уравнение асимметрично по ϑ и является интегро-дифференциальным. Это связано с влиянием внешнего поля E. На практике в большинстве случаев энергия, набираемая между столкновениями, много меньше тепловой, поэтому будем учитывать влияние поля лишь как поправку к симметричной ФРЭ. Известно, что в такой ситуации в сферической системе координат решение может быть представлено в виде разложения по полиномам Лежандра

P0 = 1 ,

P1 = cos ϑ ,

P2 = (3 cos2 ϑ − 1) ... ,

моменты которых подчиняются следующим правилам

96

Ограничимся лоренцовским приближением, в котором учитывается лишь первые два члена разложения,

где f0 и f1 - искомые функции. Симметричная часть ФР f0 описывает по смыслу энергетический спектр электронов

Асимметричная часть ФР f1 описывает процессы переноса, такие как электрический ток (j = −nee ∫ vf(v)dv)

Используя приближение (1.7.17), подставим его в (1.7.4) и, пользуясь методом моментов, умножим на

Интеграл упругих столкновений ∫ I dΩ исчезает при интегрировании, поскольку полное число электронов сохраняется. Интеграл ∫ Q dΩ зависит только от энергетического спектра, а не от направления движения, поэтому Q ≡ Q(f0). Преобразуя выражение в квадратных скобках, получим

97