Пример выполнения. Информатика

3.Статистический анализ результатов эксперимента.

4.Обработка и анализ ПФЭ с помощью ЭВМ.

5.Выбор области оптимума.

1 Определение факторов и уровней их варьирования, заполнение матрицы планирования и рабочей матрицы

Изучение сущности планирования эксперимента проводится по литерату-

ре [3].

Объектом исследования является процесс дублирования, в котором изменялись режимы: температура (от 140 до 180 оС) и давление (от 10 до 30 кПа).

Работа выполняется группой из 2-3х студентов по вариантам задания (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Варианты задания для обработки данных ПФЭ

Вариант 5. Показатель качества – продолжительность дублирования, с

На основании задания и приложения 4 заполняются таблицы 1.2 и 1.3.

24

Таблица 1.2 – Управляемые факторы и уровни их варьирования

Влияние управляемых факторов на каждый критерий оптимизации математически описывается уравнением регрессии вида

где Хiu – кодированное значение фактора в u-том опыте;

Уu – среднее значение параметра оптимизации в u-том опыте;

N – число опытов в матрице.

Свободный член уравнения рассчитывался по формуле

Коэффициенты регрессии, характеризующие парное взаимодействие, рассчитываются по формуле

После расчѐта коэффициентов регрессии для каждого показателя качества (критерия оптимизации) записывается полученное уравнение регрессии с чис-

25

ленными коэффициентами и кодированными обозначениями значений управляемых факторов (например, для продолжительности процесса):

3 Статистический анализ результатов эксперимента

Статистический анализ результатов эксперимента осуществляется по дисперсии ошибки опыта, которая рассчитывалась по формуле

n

(Уug Уu )2

где Уug – результат отдельного g-го наблюдения;

n – количество повторных наблюдений в опыте.

Результаты расчѐтов по каждому показателю сводятся в таблицу 3.4. Таблица 3.4 – Определение ошибки опыта

При переходе от ошибок опытов к ошибке всего эксперимента проверяется однородность дисперсий опытов. С этой целью рассчитывается критерий Кохрена G, поскольку количество повторных наблюдений в опытах одинаково [3]. Расчѐтное значение критерия Кохрена определяется по формуле

26

где Su2max – квадрат максимальной (из числа рассчитанных по опытам в таблице 3.4) дисперсии ошибки по опытам;

N

Su2 – сумма дисперсий ошибок по всем опытам.

u 1

Полученная величина сравнивается с табличной (приложение 5). Дисперсии считаются однородными, если расчѐтное значение критерия Кохрена не превышает табличное.

В случае однородности дисперсий следует оценивать дисперсию эквивалента (дисперсию воспроизводимости):

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по доверительному интервалу, который рассчитывался по формуле

Коэффициент в уравнении регрессии значим, если его абсолютная вели-

чина превышает bi .

По результатам оценки значимости коэффициентов регрессии записывается новая математическая модель, из которой исключаются члены с незначимыми коэффициентами.

27

Проверка адекватности полученной модели исследуемому процессу проводится по критерию Фишера. Расчѐтное значение критерия Фишера определяется по формуле

где S 2 ад – дисперсия адекватности, рассчитываемая по формуле

ˆ

гдеУu – расчѐтное значение критерия оптимизации для каждого опыта, полу-

ченное путѐм подстановки в окончательное уравнение регрессии кодированных значений факторов в соответствии со строками матрицы планирования;

К – количество факторов.

Результаты расчѐтов сводятся в таблицу 3.6. Таблица 3.6 – Определение дисперсии адекватности

Полученная модель считается адекватной исследуемому процессу при незначимых эффектах взаимодействия, если Fрасч.< Fтабл. (приложение 6).

4 Обработка и анализ ПФЭ с помощью ЭВМ

Регрессионный анализ многофакторного эксперимента производится с использованием пакета прикладных программ «STATISTICA for WINDOWS».

В том случае, когда требуется проанализировать зависимость показателя качества (Y) от нескольких факторов (Х1, Х2, …,Хn), необходимо определить регрессионную многофакторную модель Y=f(Х1, Х2, …,Хn).

Рассмотрим два случая определения регрессионной многофакторной модели первого и второго порядка на примере двухфакторного эксперимента.

4.1 Определение регрессионной двухфакторной модели первого порядка. Для ввода расчетной матрицы полного факторного эксперимента (двух-

уровневого двухфакторного эксперимента – 22) необходимо войти в раздел «Basic Statistics/Tables» (см. раздел 5.1.1 лабораторной работы № 2). Пример расчетной матрицы двухуровневого двухфакторного эксперимента представлен на рисунке 4.1.

28

Для ввода уравнения, для которого необходимо произвести расчет коэффициентов, необходимо перейти из раздела «Basic Statistics/Tables» в раздел

«Multiple Regression» и открыть окно «Function to be estimated & loss function» (см. Раздел 5.3.2.2 лабораторной работы № 2).

Модель первого порядка (линейная модель) для двухфакторного эксперимента имеет следующий вид:

y=a0+a1*x1+a2*x2+a12*x1*x2. (4.1)

После введения формулы на всех последующих окнах нужно просто нажимать «ОК», пока не появится окно-таблица «Model» с численными значениями коэффициентов модели. Для получения графического изображения

функциональной зависимости в окне «Results» нажмите на «Fitted 3D function & observed vals». На рисунке 4.2 представлен график зависимости (поверхность отклика) показателя

рчества Y от факторов Х1 и

Х2.

Для получения двухмерного сечения имеющейся поверхности отклика необходимо установить курсор в чистой зоне окна-графика «Model» и щелкнуть левой клавишей мышки два раза. В появившемся окне (рисунок 4.3), пользуясь полосой прокрутки в поле «Graph type», выберите «Contour plot» и нажмите «OK». Полученный в результате график, представленный на рисунке 4.4, и есть двухмерное сечение поверхности отклика исследуемого показателя качества Y.

Если качество исследуемого процесса, соединения и т.п. оценивается несколькими критериями оптимизации (показателями качества Y1, Y2 и т.д.), то для отыскания области оптимума необходимо решение компромиссной задачи, которое основано на использовании графического способа. Этот способ рите чается в совмещении двухмерных сечений поверхностей отклика различных критериев оптимизации (показателей качества) для одного объекта ис-

29

следований и визуальном выборе оптимальных условий проведения эксперимента.

y=a0+a1*x1+a2*x2+a12*x1*x2+а11*х1*х1+а22*х2*х2. (4.2)

30

Для получения окончательного вида уравнения необходимо исключить незначимые коэффициенты (см. раздел 5.3.2.2 лабораторной работы № 2). Если незначимых коэффициентов будет несколько, то необходимо их удалять последовательно по одному, начиная с того, p-level-уровень которого наибольший, и каждый раз заново пересчитывать, пока не останутся только значимые.

Получить графики зависимостей можно таким же образом, как описано в предыдущем разделе 4.1.

5 Выбор области оптимума

Поиск оптимальных режимов связан с решением компромиссной задачи, так как требования к показателям противоречивы [4]:

прочность на расслаивание должна быть не менее 3 Н/см;

усадка от дублирования – не более 2% ;

устойчивость к химчистке – не менее 75%;

формоустойчивость – не менее 80%;

продолжительность дублирования не регламентируется, но норми-

руется по принципу «не более».

Для поиска области оптимума используется графический метод. Он основан на построении семейства линий для каждого критерия оптимизации в кодированной сетке (рисунки 5.1, 5.2), совмещении семейств линий разных ритериев и визуальном выборе оптимальных условий проведения экспери-

мента (рисунок 5.3).

Рисунок 5.1 – Семейство линий, характеризующих влияние факторов Х1 и Х3 на критерий оптимизации У1.

Х1

31