К лабам MathCAD

MATHCAD - УНИВЕРСАЛЬНАЯ СИСТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

Цель работы:

Изучение основ работы с программой MathCAD. Освоение входного языка системы. Управление вычислительным процессом. Построение и форматирование графиков. Выполнение символьных операций.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. НАЗНАЧЕНИЕ СИСТЕМЫ MATHCAD

Система MathCAD по праву называется современной универсальной массовой математической системой для всех пользователей. Отличительной чертой интегрированных математических систем MathCAD, разработчиком которых является фирма MathSoft (США), является подготовка документов, в которых объединяются задание исходных данных, математическое описание их обработки и результаты вычислений в виде числовых данных, таблиц и графиков. В MathCAD удачно решена проблема передачи изменений числовых данных по всей цепочке вычислений. Текст документа MathCAD почти ничем не отличается от текста научных статей. Графическая среда программы позволяет записывать математические формулы в привычном виде. С появлением MathCAD студенты, аспиранты, инженеры и ученые получили в свои руки превосходный инструмент для повседневной работы. Для обучения работе с системой фирма MathSoft предлагает набор коротких примеров решения типовых математических задач. Поэтому наряду с электронными книгами по расчетам (BookSampler) и интерфейсу (Desktop Reference) и

самоучителем (Tutorial) MathCAD содержит множество коротких примеров -

шпаргалок (QuickSheet).

MathCAD является полноценным Windows-приложением со встроенными средствами обмена и поддерживает технологию OLE. Этот пакет имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты для их набора. Система позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математически интегрированный интерфейс и прекрасные средства научной графики. Встроенный текстовый процессор позволяет оформить текст документа без применения Word. Пользователь создает программу средствами текстового, формульного и графического редактора, а система MathCAD сама составляет программу, которая ранится в ОЗУ, до тех пор, пока не будет сохранена в файле с расширением MCD или RTF. MathCAD предназначен, в частности, для

проведения расчетов с действительными и комплексными числами; решения линейных и нелинейных уравнении и систем уравнений; упрощения, развертывания и группировки выражений; транспонирования, обращения матриц, вычисления определителя; построения двумерных и трехмерных графиков; оформления научно-технических текстов, содержащих сложные

формулы;

2

дифференцирования и интегрирования, аналитического и численного; проведения статистических расчетов и анализа данных.

РАБОЧЕЕ МЕСТО СИСТЕМЫ MATHCAD

Рабочее пространство MathCAD состоит из строки заголовка, в котором находится имя документа по умолчанию (Untitled: 1), строки меню; панелей инструментов, строки состояния. Настройка рабочего пространства осуществляется командами меню Вид. Окно документа пунктирной линией разделено на две части. Правая часть (непечатаемая) используется для сложных вспомогательных расчетов, и ее размер по горизонтали превышает видимую на экране область редактирования. В системе MathCAD можно работать одновременно с 8-ю документами, переключение между открытыми документами осуществляется с помощью меню Окно. Каждый документ представляется совокупностью областей в виде блоков прямоугольной формы (текстовых, графических, формульных, табличных). MathCAD выполняет обработку блоков в строго определенном порядке: слева направо и сверху вниз, учитывая и все блоки в правой части документа. Поэтому перекрытие блоков не допускается. В математическом процессоре MathCAD заложен последовательный принцип расчета: значения всех переменных, которые используются в математическом выражении, должны быть определены левее и (или) выше тех выражений, где они используются (за исключением глобальных переменных).

Математические области возникают при щелчке мышью на свободном месте, возникающий красный крестик фиксирует место ввода формулы. Текстовые области создаются нажатием кнопки с буквой А на панели инструментов. Области на экране легко можно перетаскивать мышью или перемещать командами меню Правка.

Система Mathcad может работать в двух основных режимах: автоматическом (по умолчанию) и ручном. Чтобы избежать пересчѐта результатов на экране при каждом вносимом изменении, надо отключить команду Математика/Автоматический режим. При отключѐнном автоматическом режиме для обновления результатов нужно нажимать <F9>. Иногда возникает необходимость отключить вычисление в конкретном формульном блоке. Для этого надо на нем щелкнуть и выполнить команду

Математика/Отключить выражение. Для прерывания вычислений нажимается < Esc >. Нажатие <F9> возобновляет их.

Указатель мыши используется, чтобы размещать курсор Mathcad в документе. Курсор принимает три различные формы: визир (красный крестик), маркер ввода (синяя вертикальная черта), выделяющая рамка (прямоугольник или две стороны прямоугольника, охватывающие выражение или его часть). Какая из трех форм будет использована, зависит от того, на каком объекте выполнен щелчок мышью. Выделяющая рамка нажатием клавиши Стрелка вниз превращается в маркер ввода, который перемещается по выражению с помощью клавиш управления курсором. Маркер ввода нажатием клавиши

3

Стрелка вверх превращается в выделяющую рамку. Все, что попадает в эту рамку, становится операндом следующего выражения.

Чтобы выделить область целиком или несколько областей, надо щѐлкнуть рядом с областью, и удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать мышь до тех пор, пока выделяющий прямоугольник не охватит все области. Выделенные области можно перемещать с помощью мыши, копировать и вставлять, удалять, используя команды меню Правка. Истинные размеры областей документа больше кажущихся. Чтобы увидеть истинные размеры надо выполнить команду Правка/Области/Показать области. Если области перекрываются, можно выделить их и перетащить в разные стороны или выбрать команду Правка/Области/Разделить области.

ВХОДНОЙ ЯЗЫК СИСТЕМЫ MATHCAD

Система MathCAD обладает специализированным языком программирования сверхвысокого уровня, ориентированным на математические расчеты. От пользователя MathCAD требует, прежде всего, корректного описания алгоритма решения математической задачи на входном языке, очень напоминающем общепринятый язык описания математических и научно-технических расчетов.

Алфавит входного языка системы содержит строчные и прописные латинские и греческие буквы, арабские цифры, специальные знаки и слова, которые используются при задании команд. К типам данных MathCAD относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы), данные файлового типа.

Числовые константы вводятся с помощью арабских цифр, знака минус и десятичной точки (а не запятой!). Порядок числа вводится умножением мантиссы на 10 в степени, определяющей порядок. Знак умножения (клавиша *) при выводе числа на экран меняется на точку, а операция возведения в степень (клавиша ^) отображается представлением порядка в виде надстрочного элемента. Система может работать с десятичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами. Последние в конце отмечаются латинскими буквами o (octal) или h (hexagonal). Комплексные числа обычно представляются в алгебраическом виде. Перед использованием любых операций с комплексными числами полезно вначале определить i или j как мнимую единицу (т.е. присвоить им значение квадратного корня из - 1). При вводе комплексного числа мнимая часть должна быть умножена на мнимую единицу.

Размерные константы - это особый тип констант, который помимо числового значения характеризуется указание на то, к какой физической величине они относятся. Чтобы прикрепить к имени переменной или константе единицу измерения, надо просто умножить имя или константу на соответствующую единицу. Нажатием клавиш <Ctrl>+<U> вызывается диалоговое окно Вставить единицы, в котором представлены все доступные в выбранной системе единицы измерения. Проведение расчетов с размерными

4

величинами и переменными особенно удобно при решении различных физических задач, когда правильная размерность результата является дополнительным фактором корректности выполненных расчетов.

Переменные это именованные объекты, имеющие некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Идентификаторы (имена переменных и констант) в системе MathCAD должны начинаться обязательно с буквы и могут иметь практически любую длину. Для того чтобы можно было вычислить выражение, зависящее от каких-либо переменных, значения этих переменных должны быть определены. Для определения (задания) переменной в программе нужно:

ввести имя переменной; ввести двоеточие ": ", что приведѐт к появлению знака присваивания ": ="

и следующего за ним поля ввода; напечатать в поле ввода число или выражение;

Mathcad вычислит соответствующее значение и присвоит его имени переменной.

Все переменные и функции, присутствующие во введенном выражении, должны быть определены заранее. В противном случае переменные, значения которых не определены к моменту вычисления выражения, будут отмечены на экране красным цветом.

Для того чтобы получить числовой результат (значение константы или переменной), нужно ввести соответствующий идентификатор и затем ввести знак равенства "=". После этого Mathcad вычисляет выражение и выводит результат вычислений. Для задания формата числовых данных, модификации и замены шрифтового оформления математических выражений используется команда Математика/Формат числа.

Использование незаданной переменной является ошибкой, которую необходимо исправить для продолжения вычислений. Переменная в Mathcad может быть:

локальной (знак локального присваивания ); использование локальной переменной возможно только в ниже расположенных блоках;

глобальной (знак глобального присваивания ); глобальное присваивание может производиться в любом месте документа.

Mathcad, обрабатывая документ, прочитывает его дважды, двигаясь каждый раз слева направо и сверху вниз. При первом проходе Mathcad выполняет все действия, предписанные глобальным оператором присваивания ' '. При втором проходе Mathcad выполняет все действия, предписанные локальным оператором присваивания ': =', и отображает все необходимые результаты вычислений. Каждое выражение имеет точку привязки. Mathcad использует точки привязки, чтобы определить порядок следования выражений. Чтобы увидеть точки привязки, надо выполнить команду Правка/Области

/Показать области.

Система Mathcad содержит расширенный набор встроенных элементарных функций. Функции задаются своим именем и значением аргументов в круглых скобках. В ответ на обращение к ним функции

5

возвращают вычисленные значения (числовое, символьное, матрица или вектор). Аргумент и значение функций могут быть действительными или комплексными числами. Любую из встроенных функций можно поместить в рабочий документ с помощью диалогового окна, вызываемого командой Вставить функцию. Ниже приведѐн перечень разделов, по которым классифицируются разнообразные функции, встроенные в Mathcad:

Для того чтобы определить в Mathcad пользовательскую функцию, нужно:

ввести в активный документ имя функции и левую круглую скобку; ввести через запятую аргументы и завершить ввод правой скобкой; ввести двоеточие ": ", что приведет к появлению знака присваивания ": ="

и поля ввода; ввести в поле ввода выражение.

Функция может задаваться локально или глобально. Все переменные, используемые в выражении в поле ввода, должны быть или определены заранее, или входить в список аргументов. В противном случае переменные, не имеющие значения, будут отмечены красным цветом.

Ранжированные переменные представляют в Mathcad особый класс переменных, которые заменяют управляющие структуры (циклы). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений чисел, изменяющихся от начального до конечного значения с определенным шагом. Ранжированная переменная фактически является векторной величиной, занимающей соответствующий объем памяти. И в этом ее отличие от скалярной переменной. Ранжированная переменная целочисленного типа с шагом 1 или -1 создается выражением: имя: =НачЗнач. КонЗнач. Здесь символ "." вводится клавишей <; >. В общем случае используется полное выражение: имя: =НачЗнач,

НачЗнач+Шаг. КонЗнач.

Дискретные переменные чаще всего используются при построении графиков функций. Определите дискретный аргумент, пробегающий диапазон значений независимой переменной, по которым нужно построить график функции. Нажмите клавишу @, чтобы создать область декартова графика. Поместите имя дискретного аргумента в шаблоне на оси Х, а имя функции от дискретного аргумента в шаблоне на оси Y.

Массив - это имеющая имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных по строкам и столбцам, и имеющих

6

определенные адреса в памяти. Элементы матриц (двумерных массивов) и векторов (одномерных массивов) являются индексированными переменными, имена которых совпадают с именами матриц. Для присвоения i-ому элементу вектора К некоторого значения, например, К2: = 5 последовательно нажимаются клавиши: К [2: 5. Для присвоения значения элементу матрицы например, К23: = 5 последовательно нажимаются клавиши: К [ (2,3): 5.

Файловые данные Mathcad - это массивы, которые могут быть записаны в память в виде файла. В ходе создания файла элементы матриц считываются поэлементно слева направо и сверху вниз. Для создания файла используется функция WRITE (имя файла), а для считывания файла данных функция READ (имя файла).

Системные переменные имеют предопределѐнные системой начальные значения, которые пользователь при необходимости может переопределить.

Предопределѐнные математические постоянные: число (клавиши <Ctrl+P>);

системная бесконечность (клавиши <Ctrl+Z>); число е (основание натурального логарифма);

мнимая единица i или j (нужно вводить 1i или 1j, а не i или j);

процент% (равняется 0.01 и предназначен для удобства работы с процентами).

Предопределѐнные системные постоянные:

TOL = 0.001. Определяет точность вычисления интегралов, производных, а также решений, возвращаемых блоками решения уравнений. Очень маленькие значения TOL приводят к увеличению времени вычислений, связанных с итеративными процедурами; большие значения TOL уменьшают время вычислений за счѐт точности.

ORIGIN = 0. Определяет индекс, с которого начинают нумероваться столбцы и строки в массивах. Чтобы изменить значение по умолчанию, выберите команду Математика/Встроенные переменные. Можно установить значение ORIGIN равным любому целому числу, положительному или отрицательному. Значение ORIGIN будет воздействовать на любой массив в рабочем документе;

PRNPRECISION = 4. Определяет число значащих цифр числа, записываемых в файл функцией WRITEPRN (может быть целым числом между

1 и 16);

PRNCOLWIDTH = 8. Определяет ширину столбца в ASCII файле, создаваемом функцией WRITEPRN (может быть целым числом между 1 и 132).

Подготовка вычислительных блоков в системе Mathcad облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Шаблоны вводятся нажатием соответствующих кнопок на имеющихся панелях инструментов:

7

В составе сложных шаблонов имеются шаблоны для ввода отдельных данных. Они имеют вид черных квадратиков, по которым можно перемещаться клавишей <Tab>.

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых и производятся аналитические вычисления. Ядро символьного процессора Mathcad является упрощенным вариантом ядра известной системы символьной математики Maple V.

Существуют два способа проведения символьных преобразований выражений:

использование символьного знака равенства (вводится сочетанием клавиш Ctrl+=) для непосредственного получения символьных результатов; этот способ очень похож на проведение численных выкладок и существует только в Mathcad PLUS.

использование команд меню Символика; этот способ позволяет более точно управлять формой результатов символьных вычислений.

Все команды символьного меню работают примерно одинаково. Для выполнения символьной операции необходимо выделить преобразуемое выражение частично или целиком. Для ряда операций достаточно не выделять все выражение, а только указать переменную, относительно которой требуется выполнить преобразование. Для этого маркер ввода должен располагаться правее переменной. Затем выбрать соответствующую команду из меню

Символика.

Mathcad выводит преобразованное выражение в активный документ. В зависимости от установленного способа расположения результата Mathcad или замещает выделенное выражение, или помещает новое выражение справа или снизу от исходного. Если символьное преобразование не удалось, то новое выражение совпадает со старым. Нужно отметить, что полученные с использованием команд меню Символика результаты преобразований не меняются при внесении изменений в документ.

Команды меню Символика позволяют выполнить следующие вычисления:

символьная алгебра (упрощения, раскрытие скобок, разложение на множители, приведение подобных членов, разыскание коэффициентов многочлена, ряды, элементарные дроби, символьные суммы и произведения);

символьные действия анализа (производные, интегралы, пределы); символьное решение уравнений (решение уравнений, решение системы

уравнений); символьные действия с матрицами (матричная алгебра,

транспонирование матрицы, обращение матрицы, определитель матрицы);

8

символьные преобразования (преобразования Фурье, Лапласа, z- преобразование доступны только в Mathcad PLUS).

РАБОТА С ГРАФИКОЙ В MATHCAD

Программный графический процессор, встроенный в Mathcad, создает графики, большинство параметров которых задается по умолчанию. Поэтому для построения графика достаточно указать его тип: декартов, полярный, график поверхностей, контурный график, точечный, векторное поле или трехмерная гистограмма.

Для создания декартового графика надо нажрать клавишу @ и заполнить поле ввода для каждой из осей. Для заполнения поля ввода по нему надо щелкнуть. Для одновременного построения двух и более графиков надо после заполнения шаблона данных для оси Y нажать клавишу с запятой и заполнить появившийся второй шаблон и т.д. Чтобы построить график, надо нажать клавишу <F9>, или щелкнуть за пределами графика.

Для удаления графика надо щелкнуть на графике, чтобы выделить его, и затем нажать клавиши <Ctrl+X>. Для перемещения графика надо заключить его в пунктирный выделяющий прямоугольник и затем перетащить мышью, или вырезать и вставить график на новое место. Для изменения размера графика надо переместить указатель мыши на правую или нижнюю границу пунктирный рамки. Когда указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку, можно изменить размер графика.

Чтобы изменить границы чисел на осях графика, установленные в Mathcad по умолчанию, надо щѐлкнуть в графике в поле ввода для границ на осях и ввести новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Далее нажать клавишу <F9>, чтобы заново отобразить график. Для форматирования графика надо дважды щѐлкните мышью на графике и выбрать в открывшемся диалоговом окне нужную вкладку. Здесь можно установить линейный или логарифмический масштаб осей, линии сетки с нумерацией или без неѐ, тип осей, изменить вид линий.

Для создания трехмерной гистограммы используется команда Графика/Трехмерная гистограмма. Затем в единственное поле ввода помещается имя матрицы, которая будет отображаться в виде гистограммы. Для форматирования гистограммы надо щелкнуть дважды мышью на графике. Появится диалоговое окно, включающее установки просмотра графика и преобразования его в другой тип графика.

ОФОРМЛЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ОБЛАСТЕЙ ДОКУМЕНТА

Текст в документе может присутствовать в двух формах: в форме текстовых параграфов и текстовых областей. Текстовые параграфы более удобны для больших фрагментов текстов, текстовые области удобны для кратких пояснений. Выбор подходящей формы зависит от количества текста и от его желаемого представления. Текстовые области могут иметь произвольную

9

ширину и могут быть расположены в любом месте документа. Текстовые параграфы имеют следующие свойства:

располагаются на всю ширину страницы, позволяют выравнивать текст по заданному образцу,

позволяют определить отступы для всех строк и для первой строки, отодвигают соседние области по мере увеличения объѐма текста.

Чтобы создать текстовый параграф, надо щелкнуть в строке, где нет других областей и выполнить команду Создать текстовый параграф. Появятся две горизонтальные линии, отмечающие занимаемое параграфом место. Линии будут продолжать охватывать вводимый текст и исчезнут, если щѐлкнуть мышью вне текстового параграфа. Нажатие <Enter> приведѐт к переходу на новую строку внутри параграфа. Чтобы создать текстовую область, надо щѐлкнуть в нужном месте и выполнить команду Создать текстовую область. Появится текстовая рамка, которая по мере ввода текста будет увеличиваться.

Для форматирования текстовой области надо щелкнуть в области и выполнить команду Текст/Изменить формат параграфа. Появится диалоговое окно Свойства параграфа. Для ввода в текстовые комментарии математических выражений надо щелкнуть внутри текста, в который нужно поместить математическую область, и выполнить команду Текст/Внедрить формулы.

Установка параметров страницы при печати документа, его предварительный просмотр и печать выполняются соответствующими командами меню Файл. Для принудительного перехода на новую страницу надо выполнить команду Вставить разрыв страницы.

10

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ

Упражнение 1. Изучение окна программы.

Запустите MathCAD. Откройте документ Геометрия. mcd из папки

Инф_технологии/MathCAD/Формульные вычисления. Сохраните документ в папке Студент под именем Геометрия_01. mcd. Создайте новый документ MathCAD и сохраните его в папке Студент под именем Отчет_01. mcd.

Перейдите в документ Геометрия_01. mcd. Просмотрите документ, используя полосы прокрутки. Установите режим, при котором отображаются области документа. Установите масштаб 200%. Просмотрите формульные блоки. В первом блоке произвольно измените координату точки X1. Просмотрите изменение расстояния d.

Выйдите из режима отображения областей и установите масштаб 100%. Установите в первых четырех формульных блоках размерность (cm) для

переменных x1, x2, y1, y2. Удалите блок, в котором выводится значение переменной d.

Выделите и переместите блок, в котором выводится расстояние между точками (d).

Выведите значение переменной d, значение разности X2-X1. Отключите режим автоматических вычислений. Измените значения переменных X1, X2, Y1, Y2. Нажмите <F9>. Включите режим автоматических вычислений.

Выполните форматирование текстового комментария в заголовке документа по своему усмотрению. Сохраните и закройте документ.

В папке Инф_технологии/MathCAD/Формульные вычисления

находятся шесть файлов с примерами расчетов в системе MathCAD. Скопируйте их в папку Студент.д.алее, открывая поочередно, просмотрите все приведенные примеры.

Упражнение 2. Работа с математическими выражениями.

Перейдите в документ Отчет_01. Задайте два числа (a, b), используя формат представления чисел с плавающей точкой, например а: =9.345*10-3. Выведите результаты следующих арифметических операций с числами:

Задайте константу j как мнимую единицу. Задайте комплексные числа z1 = a + j b, z2 = b + j a. Выведите значения суммы, разности, произведения, частного чисел z1 и z2. Выведите значение модуля и аргумента (в рад и в град) комплексных чисел z1 и z2.

Для вычисления значений основных тригонометрических функций задайте вещественную положительную размерную константу x, рад. Выведите значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса x.

Задайте ранжированную переменную r, изменяющуюся от -2 до +2 с шагом 0,025.