Домашнее задание
11.9. Написать
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности в точке
:
а)
б)
в)
11.10.
Дана функция
.
Найти угол между градиентами этой
функции в точках
и
.
11.11. Найти
точки, в которых модуль градиента функции
равен 2.
11.12. Найти
производную функции
в точке
,
принадлежащей параболе
,
по направлению этой параболы.
Ответы
11.1. а)
б)
в)
г)
11.2. 
11.3.
11.4.
11.6. а)
б)
11.7. Отрицательная
полуось
11.8.
.
11.9. а) 
.
б) 
.
в) 
.
11.10. 
.
11.11. точки
на окружности
.
11.12. 
.
Занятие 12
Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум
Аудиторная работа
12.1. Исследовать на экстремум следующие функции:
а)
.
б)
.
в)
.
г) 
.
12.2. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области, ограниченной
линиями:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
12.3. Исследовать функции на экстремум при заданном условии:
а) 
при условии
.
б) 
при условии
.
в) 
при условии
.
г) 
при условии
.
Домашнее задание
12.4. Исследовать на экстремум
а)
;
б)
.
12.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области:
а)
б)
12.6. Исследовать функцию на условный экстремум
а)
при
.
б)
при
.
Ответы
12.1. а)
;
б)
.
12.5. а)
,
;
б)
,
.
12.6. а) 
;
б) 
,
.
Занятие 13
Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Аудиторная работа
13.1. Решить уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
. г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
и) 
.к) 
.
л) 
.
м) 
.
н) 
.
о) 
.
п) 
.
Домашнее задание
13.2. Решить уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
. з) 
.
Ответы
13.1. а) 
б)
в) 
г)
д) 
е)
ж) 
з)
и) 
к)
л) 
м)
н) 
13.2.
а)
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
ж) 
.
з) 
.
Занятие 14
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах
Аудиторная работа
14.1. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
и) 
.к) 
.
л) 
.м) 
.
н)
.о) 
.
п) 
.
р) 
.
с) 
.
Домашнее задание
14.2. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
Ответы
14.1. а) 
б)
в) 
г)
д) 
е)
ж) 
з)
и) 
к)
л) 
м)
н) 
о)
п) 
р)
с) 
14.2.а)
.
б) 
. в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
. ж) 
.
з) 
.
Занятие 15
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Аудиторная работа
15.1. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
и) 
Домашнее задание
15.2. Проинтегрировать уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
. г) 
.
д) 
. е) 
.
Ответы
15.1. а)
б) 
в) 
г) 
. д) 
е) 
ж)
з) 
е)
к) 
.
л) 
.
м) 
.
н) 
.
о) 
.
п) 
.
Занятие 16
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа
Аудиторная работа
16.1. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
и) 
.
к) 
.
16.2. Решить дифференциальные уравнения методом Лагранжа:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.
Домашнее задание
16.3. Решить уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
Ответы
16.1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
16.2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
16.3. а) 
;
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
е) 
.
Занятие 17
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
Аудиторная работа
17.1. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
.б) 
.
в) 
.г) 
.
д) 
.е) 
.
ж) 
.з) 
.
и) 
к) 
.
Домашнее задание
17.2. Решить дифференциальные уравнения:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
Ответы
17.1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
17.2. а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
Занятие 18
Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения
Аудиторная работа
18.1. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
Домашнее задание
18.2. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) 
.б) 
.
в) 
. г) 
.
Ответы
18.1. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
18.2. а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
Типовой расчет № 3
Неопределенный и определенный интегралы
В заданиях:
№ 1–6 – найти неопределенные интегралы;
№ 7 – вычислить определенный интеграл;
№ 8 – вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
. 6.
7.
8.
9. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
.
10. Найти длину
полукубической параболы
,
заключенной внутри параболы
.
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
.
9. Найти площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
.
10. Найти длину
кардиоиды
.
Вариант 3
.
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линией
.
10. Найти объем
тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями
вокруг оси
.
Вариант 4
.
9. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
10. Найти
периметр фигуры, ограниченной линиями
.
Вариант 5
.
9. Найти длину
дуги кривой
от точки
до точки
.
10. Найти объем
тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
вокруг оси
.
Вариант 6
9. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной кривой
.
10. Найти объем
тела полученного вращением вокруг оси
фигуры,
ограниченной
линиями
Вариант 7
9. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линией
.
10. Вычислить длину
кривой
.
Вариант 8
9. Вычислить
длину кривой
от точки
до точки
.
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
.
Вариант 9
. 
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линией
.
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
.
Вариант 10
9. Найти длину
кривой
10. Найти площадь
фигуры, ограниченную линиями
Вариант 11
9. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями:
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры,
ограниченной линиями
Вариант 12
9. Найти длину
кривой
от точки
до точки
10. Найти площадь
фигуры, ограниченной одним витком
Вариант 13
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
10. Найти длину
кривой
.
Вариант 14
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линией
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 15
9. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
10. Найти длину
кривой
Вариант 16
9. Найти длину
кривой
от точки
до точки
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 17
9. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
.
10. Вычислить
длину кривой 
.
Вариант 18
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 19
9. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
10. Найти длину
кривой
Вариант 20
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линией
10. Найти
длину кривой
от
точки
до точки
Вариант 21
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линией
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 22
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
10. Найти длину
кривой
Вариант 23
9. Найти длину
кривой
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 24
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
10. Найти объем
тела, полученного вращением вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
Вариант 25
9. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
10. Найти длину
кривой
