I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменой

Занятие 1

Декартова и полярная системы координат.

Построение графиков

Аудиторная работа

1.1. Построить графики функций:

а) . б) .

в)  г) .

д) . е) .

ж) . з) .

1.2. Построить графики функций, заданных параметрически:

а) .б) .

в) .г) .

д) . е) .

ж) . з) .

1.3. Записать уравнения кривых в полярных координатах:

а) . б) . в) .

г) . д) .е) .

1.4. Построить графики функций:

а) .б) .в) .

г) .д) .е) .

ж) .з) .и) .

к) .л) .

Домашнее задание

1.5. Построить следующие кривые:

а) .б) .в) .

г) .д) .е) .

ж) .з) .

Ответы

1.3. а) .1.3. б) .1.3. в) .

1.3. г) .1.3. д) .1.3. е) .

Занятие 2

Действия над матрицами. Вычисление определителей

Аудиторная работа

2.1. Найти , если

.

2.2. Найти матрицу , если

.

2.3. Даны матрицы и. Найтии, если:

а) 

б) .

в) .

2.4. Вычислить

.

2.5. Показать, что матрица является корнем многочлена.

2.6. Решить уравнение

.

2.7. Вычислить определители по правилу Саррюса и разлагая по элементам 1-й строки:

а) .б) .

2.8. Вычислить определители, разлагая по элементам ряда:

а) .б) .

2.9. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

а) .б) .

2.10. Вычислить определители, предварительно упростив их:

а) б) 

в) г) 

д) е) 

Домашнее задание

2.11. Найти , если

.

2.12. Найти те из произведений , которые имеют смысл, если

, ,.

2.13. Найти значение многочлена от матрицы, если,

.

2.14. Решить уравнение

.

2.15. Найти и проверить, что, если

.

2.16. Вычислить определители, разлагая их по элементам ряда:

а) .б) .

2.17. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

а) .б) .

Ответы

2.1. . 2.2..

2.3.а) .

2.3. б) 

2.3. в) . 2.4.

2.6. 2.7. а)б)

2.8. а) б) 16 2.9. а)

б) 2.10. а)б)

в) г)75. д) е)

2.11. .

2.12. ,.

2.13. . 2.14. . 2.15.40. 2.16. а) 0.

2.16. б) 48 2.17. а) 54. б) 160.

Занятие 3

Обратная матрица. Решение невырожденных систем матричным методом

Аудиторная работа

3.1. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют:

3.1. а) .б) .в) .

3.1. г) . 3.1. д) .

3.2. Решить матричные уравнения:

3.2. а) .

3.2. б) .

3.2. в) .

3.3. Решить системы матричным методом:

3.3. а) 3.3. б) 

3.3. в) 3.3. г) 

Домашнее задание

3.4. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют:

3.4. а) .3.4. б) .

3.5. Решить матричные уравнения:

3.5. а) .

3.5. б) .

3.6. Проверить, являются ли системы невырожденными, и если являются, то решить их матричным методом.

3.6.а) 3.6. б) 

Ответы

3.1. а) 3.1. б)Не существует.

3.1. в) 3.1. г)

3.1. д) 3.2. а)

3.2. б) 3.2. г)

3.3. а) 3.3. а)

3.3. а) 3.3. а)

3.4. а) .3.4.а) .

3.5. а) .3.5. б) .

3.6. а) .3.6. б) 

Занятие 4

Формулы Крамера. Ранг матрицы

Аудиторная работа

4.1. Решить системы, используя формулы Крамера:

4.1. а) 4.1. б) 

4.1. в) 4.1. г) 

4.2. При каких значениях ранг матрицы равен двум:

4.2. а) .4.2. б) .

4.3. Проверить справедливость неравенств , если

, .

4.4. Найти ранги матриц с помощью элементарных преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор.

4.4. а) .4.4. б) .

4.4. в) .4.4. г) .

4.4. д) .

Домашнее задание

4.5. Решить системы по правилу Крамера:

4.5. а)  4.5. б) 

4.6. Проверить справедливость неравенства , если

.

4.7. Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный минор.

а) .б) .

в) .

Ответы

4.1. а) б)

в) г)

4.2. а) б)

4.4. а) б)

в) г)

4.4. д) 4.5. а)

4.5. б) 4.7. а)2.

4.7.б) 3. 4.7. в) 3.

Занятие 5

Решение произвольных и однородных систем

Аудиторная работа

5.1. Исследовать системы на совместность и в случае совместности решить их.

5.1. а) 

5.1. б) 

5.1. в) 

5.1. г) 

5.1. д) 

5.1. е) 

5.1. ж) 

5.1. з) 

5.2. Решить однородную систему и найти фундаментальную систему решений.

5.2. а) 5.2. б) 

5.2. в)  5.2. г) 

5.2. д) 

5.2. е) 

Домашнее задание

5.3. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их.

5.3. а) 5.3. б) 

5.3. в) 5.3. г) 

5.4. Решить системы:

5.4. а) 5.4. б) 

Ответы

5.1. а) Система несовместна.

5.1. б) .

5.1. в) 

5.1. г) .

5.1. д) 

5.1. е) 

5.1. ж) Система несовместна.

5.1. з) 

5.2. а) .

5.2. б) .

5.2. в) .

5.2. г) 

5.2. д) 

5.2. е) 

5.3. а) Несовместна.

5.3. б) .

5.3. в) .

5.3. г) .

5.4. а) .

5.4. б) .

Занятие 6

Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов

Аудиторная работа

6.1. Определить, для каких векторов ивыполняются следующие условия:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

6.2. Даны векторы и. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) ; 2); 3).

6.3. Проверить коллинеарность векторов и. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

6.4. Найти направляющие косинусы вектора .

6.5. Определить модули суммы и разности векторов и.

6.6. Даны точки . Подобрать точкутак, чтобы четырехугольникбыл параллелограммом.

6.7. Найти (), если .

6.8. Даны вершины четырехугольника и. Доказать, что его диагоналиивзаимно перпендикулярны.

6.9. Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если .Убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

6.10. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .