Домашнее задание

6.11. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и, и косинус угла между его диагоналями.

6.12. Даны три вектора и. Вычислить.

6.13. При каком значении векторыивзаимно перпендикулярны?

6.14. Векторы иобразуют угол. Зная, что , вычислить угол между векторамии.

6.15. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору, при условии что.

Ответы

6.2. 1) 2)3)

6.3. Векторы противоположно направленные, вектор длиннее векторав 3 раза.

6.4.

6.5. 6.6.6.7.–42.

6.9. 6.10.

6.11. ,,.

6.12. .6.13. .

6.14. .6.15. .

Занятие 7

Векторное и смешанное произведения векторов

Аудиторная работа

7.1. Векторы иортогональны. Зная, что, вычислить: 1); 2); 3).

7.2. Даны векторы . Найти координаты векторных произведений:.

7.3. Даны вершины треугольника . Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершинына сторону.

7.4. Найти вектор , ортогональный векторамии удовлетворяющий условию.

7.5. Установить, компланарны ли векторы , если .

7.6. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.

7.7. Даны вершины тетраэдра: . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины .

Домашнее задание

7.8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

7.9. Лежат ли точки в одной плоскости?

7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов .

7.11. Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на векторах , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторахи.

7.12. Вычислить синус угла, образованного векторами и .

Ответы

7.1. 1) 12. 2) 24. 3) 48. 7.2. 1) (5,17).

2) (10, 2, 14). 3) (20, 4, 28). 7.3. .7.4. .

7.5. Компланарны. 7.7. . 7.8. .7.9. Нет не лежат.

7.10. Левая. 7.11. .7.12. .

Занятие 8

Прямая на плоскости Аудиторная работа

8.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку ,перпендикулярно вектору , если.

8.2. Написать каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно: а) вектору; б) оси .

8.3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол, равный.

8.4. Даны вершины треугольника :. Найти:

1) уравнение стороны ;

2) уравнение высоты ;

3) уравнение медианы АМ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне;

5) расстояние от точки до прямой.

8.5. Найти расстояние между прямыми и.

8.6. Найти проекцию точки на прямую.

Домашнее задание

8.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ии отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

8.8. Найти точку пересечения диагоналей четырехугольника, если.

8.9. Найти уравнения перпендикуляров к прямой , проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

8.10. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осьюугол: а) 45^о; б) 90^о; в) 0^о.

8.11. Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой.

8.12. Найти один из углов между прямыми:

а) и;

б) и.

Ответы

8.1. . 8.2. А)

б) 8.3.

8.4.

8.5. . 8.6.

8.7. .8.8. .

8.9. .

8.10. а); б); в).

8.11. .8.12. а); б).

Занятие 9

Прямая и плоскость в пространстве

Аудиторная работа

9.1. Даны две точкии. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.

9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки и.

9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к плоскостями.

9.4. Найти расстояние между плоскостями и.

9.5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости.

9.6. Найти угол между прямыми

и

9.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым

и .

9.8. Найти проекцию точки на плоскость.

9.9. Найти проекцию точки на прямую и расстояние от этой точки до данной прямой.