1.1. Распределения вероятностей

В теории вероятностей случайные события А рассматривают как точки множества , т. е. А  , где  = (₁, ₂, ..., _m), т — число элементов множества. Случайные события А полностью характеризуются вероятностной мерой Р(А), т.е. каждому событию А, как точке некоторого множества , сопоставляется его вероятность Р(А).

Для случайных величин и случайных процессов основными вероятностными характеристиками являются распределения вероятностей. Они устанавливают связи между реализациями случайной величины Х или случайного процесса X(t) и вероятностями их появления.

Наиболее общей формой задания распределения для случайного процесса X(t) является функция распределения F(x,t) в фиксированный момент времени t = t₁. Аргументом этой функции служит реализация x(t) случайного процесса в момент времени t . Функция F(x,t) определяет вероятность того, что случайный процесс в указанный момент времени t₁примет значение меньше некоторого уровня х. который может варьировать, т.е.

. (2)

Для случайной величины Х получим

. (3)

Функции распределения (2) и (3) одномерные. Функция (2) характеризует распределение ординат случайного процесса X(t) в отдельные фиксированные моменты времени t_i, a функция (3) — распределение реализации случайной величины X.

Основные свойства функции распределения:

1) функция безразмерная и изменяется в пределах 0F(x)  1 для всех х;

2) F(x) — неубывающая функция х: если x₂ > x₁, то F(x₂)>F(x₁);

3) для неограниченной случайной величины, т.е. при - < x < , F(-) = Р[Х  -] = 0 ; F(+) = Р[Х  ] = 1;

4) для ограниченной случайной величины х₁  х  .х_2, F(x₁) = 0 F(x₂) = 1.

На рис. 2, а показан график функции F(x) для непрерывной случайной величины, а на рис. 2, б — для дискретной.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения в интервале а  х  b, вычисляют по выражению

. (4)

Аналогично можно определить вероятность того, что х>а:

. (5)

Если неограниченно уменьшать интервал, то в пределе, когда b  а, получим

. (6)

Рис. 2. Графики функции распределения F(x) для непрерывной случайной величины (а) и для дискретной случайной величины (б)

Выражение (6) показывает, что вероятность появления события х = а теоретически равна нулю. Однако такое событие при неограниченном числе опытов не следует считать невозможным, но частота его появления будет чрезвычайно малой.

Функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы по всей области их возможных значений:

; . (7)

Обозначим f(x) = dF(x)/dx. Функция f(x) приближенно равна отношению вероятности попадания случайной величины внутрь интервала (х,х +х) к длине интервала х. Поэтому функцию f(x) называют плотностью вероятности. График функции f(x) показан на рис. 3. Основные ее свойства:

1) ;