Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4605 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

задачи_nl

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
383.14 Кб
Скачать
☆

mINISTERSTWO OBRAZOWANIQ rOSSIJSKOJ fEDERACII tOMSKIJ POLITEHNI^ESKIJ UNIWERSITET

a.w. {APOWALOW

zada~i po kursu "wwedenie w nelinejnu` fiziku"

u^EBNOE POSOBIE

tOMSK 2003

udk 517.946

{APOWALOW a.w. zADA^I PO KURSU "wWEDENIE W NELINEJNU@ FIZI- KU". u^EBNOE POSOBIE. | tOMSK: iZD. tpu. 2003 | 50 S.

u^EBNOE POSOBIE SODERVIT ZADA^I PO TEMAM, RASSMOTRENNYM W KURSE LEKCIJ "wWEDENIE W NELINEJNU@ FIZIKU".

w U^EBNOM POSOBII PREDSTAWLENY ZADA^I, ILL@STRIRU@]IE I DOPOLNQ@]IE LEKCIONNYJ MATERIAL, A TAKVE ZADA^I, RASKRYWA@- ]IE NEKOTORYE PROSTYE TEORETI^ESKIE WOPROSY KURSA.

pOSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW, MAGISTRANTOW I ASPIRAN- TOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI "FIZIKA".

pE^ATAETSQ PO POSTANOWLENI@ rEDAKCIONNO-IZDATELXSKOGO SOWETA tOMSKOGO POLITEHNI^ESKOGO UNIWERSITETA

rECENZENTY: ZAWEDU@]IJ KAFEDROJ FIZIKI sIBIRSKOGO MEDICINSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA, PROFESSOR `.w. kISTENEW

PROFESSOR KAFEDRY TEORETI^ESKOJ FIZIKI tOMSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA PROFESSOR w.a. bORDOWICYN

u^EBNOE POSOBIE WYPOLNENO PRI FINANSOWOJ PODDERVKE mINISTERSTWA OBRAZOWANIQ rf, GRANT No E 00-1.0-126

GRANTA pREZIDENTA rf "WEDU]IE NAU^NYE [KOLY" n{ - 1743.2003.2

tEMPLAN 2002

c tOMSKIJ POLITEHNI^ESKIJ UNIWERSITET, 2003

sODERVANIE

 

1

kLASSIFIKACIQ DIFFERENCIALXNYH

 

 

URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

4

2

nELINEJNOE URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI

15

3

gIPERBOLI^ESKIE I DISPERGIRU@]IE WOLNY

29

4

|LEMENTY TEORII SOLITONOW

37

3

T.D., a11, a12, a22

1kLASSIFIKACIQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

rASSMOTRIM OSOBENNOSTI KLASSIFIKACII NELINEJNYH URAWNE- NIJ NA PRIMERE KWAZILINEJNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTO- ROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI, KOTOROE ZAPI- SYWAETSQ W WIDE

a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + F (x y u ux uy) = 0:

(1.1)

uRAWNENIE (1.1) SODERVIT DWE NEZAWISIMYE PEREMENNYE x y, PROBE- GA@]IE NEKOTORU@ OBLASTX D DWUMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANST- WA R2. w URAWNENII (1.1) OBOZNA^ENO: ux = @u=@x, uxx = @2u=@x2 I ZAWISQT OT x, y, u, ux, uy. uRAWNENIE (1.1) LINEJNO

OTNOSITELXNO STAR[IH PROIZWODNYH.

hOTQ MY RASSMATRIWAEM URAWNENIE (1.1) S DWUMQ NEZAWISIMY- MI PEREMENNYMI, NO WSE OSNOWNYE PONQTIQ I OPREDELENIQ LEGKO OBOB]A@TSQ NA MNOGOMERNYJ SLU^AJ.

pUSTX k l | NATURALXNYE ^ISLA, m = k + l.

rASSMOTRIM SLEDU@]U@ SOWOKUPNOSTX WE]ESTWENNYH PEREMEN-

NYH:

 

z = (x y p p(1) p1 p(1)1 p(2)1 p(1)2 : : : p(k)l):

(1.2)

uDOBNO S^ITATX, ^TO p(k)ljk=l=0 = p.

 

 

 

pUSTX u(x y) GLADKAQ FUNKCIQ. oBOZNA^IM ^EREZ ju(m)(x y) SLE-

DU@]U@ SOWOKUPNOSTX WELI^IN:

 

 

 

 

 

ju(m)(x y) = (x y u(x y) ux(x y) uy(x y) uxx(x y) : : :

 

: : :

@k+lu(x y)

1 :

(1.3)

@x

k

@y

l

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

rASSMOTRIM GLADKU@ FUNKCI@ SOWOKUPNOJ WE]ESTWENNOJ PEREMEN- NOJ z WIDA (1.2)

f(z) = f(x y p p(1) p1 p(1)1 p(2)1 p(1)2 : : : p(k)l):

(1.4)

~ISLO m = k + l NAZYWAETSQ PORQDKOM FUNKCII (1.4) . s POMO]X@ FUNKCII (1.4) OPREDELIM DEJSTWIE DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA

F NA DANNU@ FUNKCI@ u(x y) SLEDU@]IM OBRAZOM:

 

F(u(x y)) = f(z)jz=ju

(x y):

(1.5)

(m)

 

 

4

dRUGIMI SLOWAMI, ^TOBY PODEJSTWOWATX OPERATOROM F NA FUNKCI@ u(x y), W WYRAVENIQ (1.4), (1.5) SLEDUET PODSTAWITX

p = u(x y) p(i)j =

@i+j u(x y)

 

 

i =

1 : : : k

j = 1 : : : l: (1.6)

@ix@jy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pOLU^IM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(u(x y)) = f 0x y u(x y)

@u(x y)

@u(x y)

: : :

 

@

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

@y

 

 

 

@k+lu(x y)

1 :

 

 

 

 

 

: : :

 

 

(1.7)

 

 

 

@x

k

@y

l

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fUNKCIQ f(z) NAZYWAETSQ SIMWOLOM OPERATORA F . pORQDOK FUNK- CII f(z) NAZYWAETSQ PORQDKOM OPERATORA F I RAWEN PORQDKU STAR- [EJ PROIZWODNOJ, WHODQ]EJ W OPERATOR.

zAME^ANIE 1.1 dLQ ^ASTNYH PROIZWODNYH MY BUDEM ISPOLXZO- WATX SOKRA]ENNYE OBOZNA^ENIQ

@i+j u(x y)

= u(i)j u(i)j ji=j=0 = u:

(1.8)

@xi@yj

w ^ASTNOSTI,

@u(x y)

= ux(x y) = u(1)(x y)

@x

 

 

 

 

 

@2u(x y)

= u

= u

 

 

 

(2)

 

@x2

xx

 

 

 

 

 

@u(x y)

= uy(x y) = u1(x y)

@y

 

@2u(x y)

= uyy = u2:

@y2

 

oPERATOR F OPREDELQET DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE W ^ASTNYH PROIZWODNYH PORQDKA k + l = m

F(u(x y)) = f 0x y u(x y)

@u(x y)

 

@u(x y)

: : :

@

 

 

 

@x

 

@y

 

@k+l u(x y)

1 = 0:

 

 

 

: : :

k

l

 

 

 

(1.9)

 

@x @y

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fUNKCIQ u(x y), OPREDELENNAQ W OBLASTI D, NEPRERYWNAQ WMESTE SO SWOIMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PORQDKA MENX[E ILI RAWNOGO m = k+l, OBRA]A@]AQ URAWNENIE (1.9) W TOVDESTWO PO PEREMENNYM (x y), NAZYWAETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (1.9).

5

uRAWNENIE (1.9) NAZYWAETSQ LINEJNYM, ESLI FUNKCIQ f(z) LI- NEJNO ZAWISIT OT PEREMENNYH p p(1) p1 p(1)1 : : : p(k)l.

lINEJNOE URAWNENIE (1.9) MOVNO ZAPISATX W WIDE

 

Lu(x y) = '(x y) (x y) 2 D:

(1.10)

zDESX L | LINEJNYJ OPERATOR, '(x y) | ZADANNAQ FUNKCIQ. uRAWNENIE (1.10) NAZYWAETSQ ODNORODNYM, ESLI '(x y) = 0, TOG-

DA (1.10) PRINIMAET WID

Lu(x y) = 0:

(1.11)

dLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO URAWNENIQ (1.11) SPRAWEDLIW PRINCIP SUPERPOZICII RE[ENIJ: ESLI u(1)(x y) u(2)(x y) | RE[ENIQ URAW-

NENIQ (1.11), TO IH LINEJNAQ KOMBINACIQ

u(x y) = c1u(1) + c2u(2)

(1.12)

GDE c1 c2 | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE, TAKVE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (1.11).

dLQ NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9) PRINCIP SUPERPOZICII RE[E- NIJ NE WYPOLNQETSQ. uRAWNENIE (1.9) NAZYWAETSQ KWAZILINEJNYM, ESLI ONO LINEJNO OTNOSITELXNO STAR[IH PROIZWODNYH. oB]IJ WID KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ PORQDKA m DAETSQ SLEDU@]IM SOOTNO-

[ENIEM:

m

 

@

m

u(x y)

 

 

 

 

 

X

ai

 

 

 

 

 

m i

@y

i + b = 0:

(1.13)

 

i=0

 

@x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zDESX ai b NE ZAWISQT OT STAR[IH PROIZWODNYH @mu(x y)=@xm;i@yi, NO MOGUT ZAWISETX OT x y u I PROIZWODNYH OT FUNKCII u(x y) PO- RQDKA MENX[E m.

uRAWNENIE W WARIACIQH

pRI ISSLEDOWANII SWOJSTW RE[ENIJ NELINEJNYH URAWNENIJ WAV- NYM QWLQETSQ WOPROS O POWEDENII OTKLONENIQ (WARIACII) OT DAN- NOGO RE[ENIQ.

pUSTX u(x y) ESTX RE[ENIE NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9). bUDEM ISKATX DRUGOE RE[ENIE u~(x y), KOTOROE MALO OTLI^AETSQ OT u(x y),

u~(x y) = u(x y) + u(x y)

(1.14)

6

GDE u(x y) | NEKOTORAQ FUNKCIQ, TREBU@]AQ OPREDELENIQ. eSLI ZADATX u~(x y) I u(x y) BLIZKIMI W NEKOTOROM SMYSLE, TO MOVNO ISSLEDOWATX POWEDENIE u(x y) W OBLASTI D.

w ^ASTNOSTI, ESLI u(x y) OSTAETSQ MALOJ W OBLASTI D, TO MOV- NO GOWORITX OB USTOJ^IWOSTI RE[ENIQ u(x y) W DANNOJ OBLASTI.

pREDPOLAGAQ, ^TO u~(x y) TAKVE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ

(1.9), POLU^IM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(u(x y) + u(x y)) = f 0x y u(x y) + u(x y)

@u(x y)

+

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

@ u(x y)

@u(x y)

+

@ u(x y)

: : :

 

 

 

@x

 

@y

 

 

 

@y

 

 

 

 

@k+lu(x y)

+

@k+l u(x y)

1 = 0:

 

(1.15)

 

k

l

 

k

 

l

 

 

 

@x @x

 

@x @y

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s^ITAQ u(x y) I PROIZWODNYE @i+j u(x y)=@xi@yj MALYMI, RAZLO- VIM (1.15) W RQD PO FUNKCII u(x y) I EE PROIZWODNYM I OGRA- NI^IMSQ ^LENAMI PERWOGO PORQDKA MALOSTI. s POMO]X@ SIMWOLA OPERATORA f(z) ZAPI[EM RAZLOVENIE (1.15) W WIDE

 

 

(x y) +

 

m

@f(z)

 

 

 

 

(m)

 

 

@p

(m)

 

f(z)jz=ju

i j=0

jz=ju

(x y)

 

 

 

(i)j

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

@i+j u(x y)

+ O( u(x y)) = 0:

(1.16)

@xi@yj

 

 

 

 

 

 

 

pERWOE SLAGAEMOE RAWNO NUL@, F(u(x y)) =

0, POSKOLXKU u(x y)

ESTX RE[ENIE URAWNENIQ (1.9). pRIRAWNQEM NUL@ WTOROE SLAGAEMOE W RAZLOVENII (1.16), POLU^IM URAWNENIE

m

@f

 

 

X

 

 

 

(m)

 

 

@p

 

 

jz=ju

(x y)

i j=0 (i)j

 

 

@i+j u(x y)

= 0

(1.17)

@xi@yj

 

 

KOTOROE NAZYWAETSQ URAWNENIEM W WARIACIQH, SOOTWETSTWU@]IM RE[ENI@ u(x y) NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9).

uRAWNENIE (1.17) PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNOE URAWNENIE PO- RQDKA m = k + l, W KOTOROM ISKOMOJ QWLQETSQ FUNKCIQ u(x y) | WARIACIQ RE[ENIQ u(x y) NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9). kO\F- FICIENTY URAWNENIQ (1.17) ZAWISQT W OB]EM SLU^AE OT x I y. |TA ZAWISIMOSTX OPREDELQETSQ KAK WIDOM OPERATORA F , TAK I RE[ENIEM u(x y).

7

wYDELIW ^LENY SO STAR[IMI PROIZWODNYMI W URAWNENII (1.17), ZAPI[EM EGO W WIDE

m

 

@m u(x y)

X

 

@i+j u(x y)

 

X

bi

m i

@y

i +

bij

i

@y

j = 0:

(1.18)

i=0

 

@x

;

 

i j i+j<m

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kLASSIFIKACIQ NELINEJNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ

pOD KLASSIFIKACIEJ NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9) BUDEM PONI- MATX KLASSIFIKACI@ URAWNENIQ W WARIACIQH (1.18). uRAWNENIE (1.18) ZAPISANO DLQ ZADANNOGO RE[ENIQ u(x y), PO\TOMU KLASSIFIKACIQ NELINEJNOGO URAWNENIQ (1.9) PROWODITSQ DLQ DANNOGO RE[ENIQ.

hARAKTERISTI^ESKOJ FORMOJ , SOOTWETSTWU@]EJ URAWNENI@ (1.9)

DLQ DANNOGO RE[ENIQ u(x y), NAZYWAETSQ MNOGO^LEN PORQDKA m OT- NOSITELXNO WE]ESTWENNYH PEREMENNYH 1 2 SLEDU@]EGO WIDA:

 

 

 

m

bi 1m;i 2i :

 

 

 

Q( 1 2) =

X

 

(1.19)

 

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

w SLU^AE KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA

 

F (u(x y)) = a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b = 0

(1.20)

W KOTOROM b, aij, i j = 1 2 QWLQ@TSQ FUNKCIQMI OT x, y, u, ux, uy.

fORMA (1.19) IMEET WID

 

 

 

 

 

 

 

 

Q( 1 2) = a11 12 + 2a12 1 2 + a22 22:

(1.21)

dLQ KAVDOJ FIKSIROWANNOJ TO^KI (x y)

2 D PRI ZADANNYH u(x y),

ux(x y), uy(x y) KO\FFICIENTY aij

W (1.20) POSTOQNNY.

 

pRI POMO]I PREOBRAZOWANIQ i

=

k ik k, GDE ik

| NEOSOBAQ

MATRICA, det( k) = 0, FORMU

(1.21) MOVNOP

PRIWESTI K DIAGONALX-

i

6

 

 

 

 

 

 

 

 

NOMU WIDU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q = a~1 2 + ~a2 2

a~i = 0

 

1:

(1.22)

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nA \TOM OSNOWANA KLASSIFIKACIQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (1.20). uRAWNENIE (1.20) NAZYWAETSQ \LLIPTI^ESKIM, GIPERBOLI^ESKIM, PA- RABOLI^ESKIM W OBLASTI D DLQ DANNOGO u(x y), ESLI W KAVDOJ TO^- KE \TOJ OBLASTI KO\FFICIENTY a~i OBA OTLI^NY OT NULQ I ODNOGO ZNAKA, OTLI^NY OT NULQ I RAZNOGO ZNAKA, ODIN IZ KO\FFICIENTOW RAWEN NUL@, SOOTWETSTWENNO. fORMULA (1.21) OPREDELQET KRIWU@ WTOROGO PORQDKA

Q( 1 2) = 1

(1.23)

8

RQDKA
NIQ

NA PLOSKOSTI 1 2, KOTORAQ PREDSTAWLQET SOBOJ \LLIPS, GIPERBOLU I PARABOLU, SOOTWETSTWENNO TIPU URAWNENIQ.

tIP KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (1.20) (WID KRIWOJ WTOROGO PO- (1.23)) OPREDELQETSQ KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNE-

Q( 1 2) = 0

(1.24)

KOTOROE PRINIMAET WID KWADRATNOGO URAWNENIQ

 

a11 2 + 2a12 + a22 = 0 = 1= 2:

(1.25)

tIP URAWNENIQ (1.20) OPREDELQETSQ DISKRIMINANTOM URAWNENIQ (1.25)

= a11a22 ; a122 :

(1.26)

gIPERBOLI^ESKIJ TIP IMEET MESTO PRI

 

< 0:

(1.27)

hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIQ (1.24) IMEET DWA RAZLI^NYH WE- ]ESTWENNYH KORNQ.

|LLIPTI^ESKIJ TIP IMEET MESTO PRI

 

> 0:

(1.28)

uRAWNENIE (1.24) IMEET DWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYH KORNQ. pARABOLI^ESKOMU TIPU OTWE^AET

= 0:

(1.29)

hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE (1.24) IMEET ODIN KORENX KRATNOS- TI DWA.

dLQ URAWNENIQ (1.18) PORQDKA m > 2 TIP URAWNENIQ OPREDE- LQETSQ KORNQMI HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ (1.24), W KOTOROM

Q( 1 2) IMEET WID (1.19).

uRAWNENIE (1.18), SOOTWETSTWENNO, NELINEJNOE URAWNENIE (1.9) IMEET GIPERBOLI^ESKIJ TIP, ESLI W PROSTRANSTWE PEREMENNYH 1,2, : : :, m SU]ESTWUET PRQMAQ, TAKAQ, ^TO ESLI PRINQTX EE ZA KO- ORDINATNU@ OSX, TO URAWNENIE (1.24) IMEET m RAZLI^NYH WE]EST- WENNYH KORNEJ.

w \LLIPTI^ESKOM SLU^AE URAWNENIE (1.24) NE IMEET WE]ESTWEN- NYH KORNEJ. w PARABOLI^ESKOM | IME@TSQ KRATNYE KORNI.

9

ZAWISQT OT x, y, u 2.

kANONI^ESKAQ FORMA KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA

dLQ KWAZILINEJNOGO URAWNENIQ (1.20) W SLU^AE, KOGDA KO\FFI- CIENTY aij ZAWISQT OT x y PRIWEDENIE K KANONI^ESKOMU WIDU OSU- ]ESTWLQETSQ TAKVE KAK DLQ LINEJNOGO URAWNENIQ | METODOM HA- RAKTERISTIK1.

w SLU^AE, ESLI aij ZAWISQT OT u ux uy, IME@TSQ OSOBENNOSTI. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA aij

pEREHOD K KANONI^ESKOJ FORME OSU]ESTWLQETSQ ZAMENOJ PERE- MENNYH

= '(x y) = (x y):

(1.30)

rASSMOTRIM GIPERBOLI^ESKOE URAWNENIE (1.20), DLQ KOTOROGO HA- RAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE (1.25) IMEET DWA RAZLI^NYH WE]EST- WENNYH KORNQ (1) I (2). fUNKCII ' I OPREDELQ@TSQ IZ URAWNE- NIJ, WOZNIKA@]IH IZ USLOWIQ, ^TOBY W KANONI^ESKOJ FORME URAW- NENIQ (1.20) PRISUTSTWOWALI TOLXKO SME[ANNYE PROIZWODNYE WTO- ROGO PORQDKA PO KANONI^ESKIM PEREMENNYM .

|TI PEREMENNYE IME@T WID

'x ; (1)'y = 0 x ; (2) y = 0:

(1.31)

sPECIFIKA KLASSIFIKACII URAWNENIQ (1.20) SOSTOIT W TOM, ^TO KO- \FFICIENTY PRI STAR[IH PROIZWODNYH aij ZAWISQT NE TOLXKO OT x y, NO TAKVE I OT u.

pO\TOMU K URAWNENIQM (1.31), DOSTATO^NYM W LINEJNOM SLU^AE, NEOBHODIMO DOBAWITX TRETXE URAWNENIE. w KA^ESTWE \TOGO URAWNE- NIQ BERETSQ SAMO URAWNENIE (1.20). tAKIM OBRAZOM, POLNAQ SISTEMA URAWNENIJ OPREDELQ@]AQ PEREHOD K KANONI^ESKOMU WIDU URAWNENIQ (1.20) W DANNOM SLU^AE SOSTOIT IZ URAWNENIJ (1.31) I (1.20).

oSOBENNOSTX@ PEREHODA K KANONI^ESKOJ FORME W URAWNENII (1.20)

QWLQETSQ NE NAHOVDENIE FUNKCIJ '(x y),

(x y), A OPREDELENIE OB-

RATNYH FUNKCIJ

 

 

x = x( ) y = y( )

u = u( ):

(1.32)

tAKOJ PODHOD POZWOLQET PEREJTI K KANONI^ESKOJ FORME W URAWNE- NII (1.20) OB]EGO WIDA, TO^NEE GOWORQ, W SISTEME (1.20), (1.31).

1tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EB. POSOBIE. | 6-E

IZD., ISPR. I DOP. | m.: iZD-WO mgu, 1999. | 798 S. s. 231.

2kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. pER. S ANGL. m: mIR, 1964. | 830 S.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности