задачи_nl
.pdf
rE[ENIE. uRAWNENIE glm OPREDELQET FUNKCI@ K(x y) | QD- RO TREUGOLXNOGO RAZLOVENIQ FUNKCII iOSTA (x k) I IMEET WID
K(x y) + F(x + y) + Zx1 K(x z)F(z + y)dz = 0 |
(4.13) |
GDE FUNKCIQ F(x) OPREDELQETSQ DANNYMI RASSEQNIQ I W RASSMAT- RIWAEMOM SLU^AE ZADAETSQ WYRAVENIEM
|
1 |
1 |
|
|
F (x) = e; x + |
|
Z |
r(k)eikxdk |
(4.14) |
2 |
||||
|
|
;1 |
|
|
GDE > 0 | WE]ESTWENNAQ POSTOQNNAQ.
iNTEGRAL W (4.14) MOVNO WY^ISLITX W QWNOM WIDE (SM., NAPRI-
MER, 6). rEZULXTAT IMEET WID |
|
||||
1 |
|
1 |
r0 |
|
|
|
|
|
Z |
r(k)eikxdk = p exp(; x ; 2x2) |
(4.15) |
2 |
|
||||
|
|
|
;1 |
|
|
SOOTWETSTWENNO, |
|
|
|
||
|
|
|
|
r0 |
|
F(x) = exp(; x) + p exp(; x ; 2x2): |
(4.16) |
||||
pODSTAWLQQ FUNKCI@ (4.16) W (4.13), POLU^AEM ISKOMYJ QWNYJ
WID URAWNENIQ glm: |
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
K(x y) + e; (x+y) + p e; (x+y); |
(x+y) |
|
+ |
||||
1 |
r |
2 |
|
2 |
|
|
|
+ Z |
K(x z)[ e; (z+y) + p0 e; (z+y); |
(z+y) |
]dz = 0: |
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
zADA^A 5 s^ITAQ MALYM PARAMETR W ZADA^E 4, POLU^ITX URAW- NENIQ, OPREDELQ@]IE FUNKCI@ K(x y), W PERWOM PRIBLIVENII PO MALOMU PARAMETRU .
rE[ENIE. pARAMETR WHODIT REGULQRNO W URAWNENIE (4.17), I, KAK SLEDSTWIE, W RE[ENIE K(x y). bUDEM ISKATX PRIBLIVENNOE RE[E- NIE URAWNENIQ (4.17) W WIDE
K(x y) = K0(x y) + K1(x y) |
(4.17) |
6gRAD[TEJN i.s., rYVIK i.m. tABLICY INTEGRALOW, SUMM, RQDOW I PROIZWEDENIJ. iZD.4. m.: nAUKA, 1963. 1099 S., P.3.323. s. 321.
41
OGRANI^IWAQSX PERWYM ^LENOM RAZLOVENIQ. pODSTANOWKA (4.17) W
(4.17) DAET
|
|
|
|
r0 |
2 |
|
2 |
|
K0(x y) + K1(x y) + e; (x+y) + p e; (x+y); |
(x+y) |
|
+ (4.18) |
|||||
+ Z1(K0(x z) + K1(x z))( e; (z+y) + |
|
|
|
|
||||
x |
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+p e; (z+y); |
(z+y) |
)dz = 0: |
|
|
|
(4.19) |
|
pRIRAWNQEM NUL@ ^LENY PRI NULEWOJ I PERWOJ STEPENQH , PO- LU^IM SLEDU@]IE URAWNENIQ, OPREDELQ@]IE FUNKCII K0(x z) I
K1(x z):
K0(x y) + e; (x+y) + Zx1 K0(x z)e; (z+y)dz = 0 |
(4.20) |
||
r |
|
||
K1(x y) + p0 |
e; (x+y) + Zx1 K1(x z)e; (z+y)dz + |
(4.21) |
|
r |
|
||
+p0 |
Zx1 K0(x z)e; (z+y) dz = 0: |
|
|
zADA^A 6 pOSTROITX RE[ENIQ URAWNENIJ (4.20), (4.21).
iNTEGRALXNYE URAWNENIQ (4.20), (4.21) IME@T WYROV- DENNYE QDRA I MOGUT BYTX PROINTEGRIROWANY IZWESTNYM METODOM (SM., NAPRIMER, 7).
rASSMOTRIM URAWNENIE (4.20). sLEDUQ METODU INTEGRIROWANIQ LINEJNYH INTEGRALXNYH URAWNENIJ S WYROVDENNYM QDROM, BUDEM
ISKATX RE[ENIE K0(x y) W WIDE |
|
K0(x y) = f(x)e; y |
(4.22) |
PODLEVIT OPREDELENI@. pODSTAWLQQ WYRAVENIE (4.22) W (4.20) I SOKRA]AQ OB]IJ MNOVITELX e; y, POLU^IM URAWNE- NIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@ rE[ENIE \TOGO URAWNENIQ PRI- WODIT K SLEDU@]EMU WIDU ISKOMOJ FUNKCII K0(x y):
e; y
K0(x y) = ; : (4.23)
e x + 2 e; x
7sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1966. 443 S. s. 251.
42
rE[ENIE URAWNENIQ (4.21) ANALOGI^NO I IMEET WID
K1(x y) = |
r0 |
|
e (x;y) |
|
: |
(4.24) |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
;p |
|
e x + |
|
e; x! |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
zADA^A 7 mETODOM OBRATNOJ ZADA^I RASSEQNIQ DLQ OPERATORA L WIDA (4.1) POLU^ITX WYRAVENIE DLQ POTENCIALA u(x), ESLI FUNK- CIQ iOSTA (x k) OPREDELQETSQ TREUGOLXNYM RAZLOVENIEM S PO- MO]X@ FUNKCII K(x y) WIDA (4.17).
sOGLASNO TEORII OBRATNOJ ZADA^I RASSEQNIQ DLQ OPE- RATORA L WIDA (4.1) POTENCIAL u(x) OPREDELQETSQ SLEDU@]IM WY-
RAVENIEM: |
|
u(x) = ;2dxd K(x x): |
(4.25) |
iZ (4.17), (4.23), (4.24) POLU^IM:
|
e; x |
r0 |
|
1 |
|
|
||
K(x x) = ; |
|
|
|
; p |
|
|
|
: |
e x + |
|
e; x |
(e x + |
|
e; x)2 |
|||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
oBOZNA^IM 2 = e2 '0 I PEREPI[EM WYRAVENIE (4.26) W WIDE
|
e; (x+'0) |
r0 |
e;2 '0 |
|
||||||||
K(x x) = ;2 |
|
; |
4p |
|
|
|
: |
|
||||
cosh (x ; '0) |
|
cosh2 (x ; '0) |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
pODSTAWLQQ (4.27) W (4.25), NAHODIM |
|
|
|
|||||||||
u(x) = |
|
2 2 |
|
2 2r0 sinh (x ; '0) |
: |
|||||||
;cosh2 (x ; '0) ; |
||||||||||||
|
p |
cosh3 (x ; '0) |
|
|||||||||
(4.26)
(4.27)
(4.28)
zADA^A 8 pOKAZATX, ^TO OPERATORY
@2
L = ;@x2 + u(x t)
A = 4 |
@3 |
; 3(u |
@ |
+ |
@ |
u) + = const |
@x3 |
@x |
@x |
OBRAZU@T (L ; A) | PARU DLQ URAWNENIQ kORTEWEGA-DE fRIZA.
43
rE[ENIE. (L;A) | PAROJ NELINEJNOGO URAWNENIQ NAZYWAETSQ PA- RA LINEJNYH OPERATOROW S KO\FFICIENTAMI, ZAWISQ]IMI OT FUNK- CII u(x t) TAKIH, ^TO KOMMUTATOR
|
|
|
|
" |
@ |
|
+ A L# = 0 |
|
|
(4.29) |
||||
|
|
|
|
@x |
|
|
||||||||
NA RE[ENIQH DANNOGO NELINEJNOGO URAWNENIQ. |
|
|
||||||||||||
wY^ISLENIE KOMMUTATORA DAET |
|
|
|
|
||||||||||
|
@ |
|
|
3 |
|
@ |
|
@ |
|
|||||
" |
+ A L# = 2 |
@ |
+ 4 |
@ |
; 3(u |
+ |
u)+ |
|||||||
@t |
@t |
@x3 |
@x |
@x |
||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ; |
@ |
+ u3 = (ut ; 6uux + uxxx)I: |
||||||||||
|
|
@x2 |
||||||||||||
5
o^EWIDNO, ^TO ESLI FUNKCIQ u(x t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ kORTEWEGA- DE fRIZA
ut ; 6uux + uxxx = 0
TO WYPOLNQETSQ USLOWIE (4.29).
zADA^A 9 s POMO]X@ REZULXTATOW RE[ENIQ ZADA^I 7 POLU^ITX ODNOSOLITONNOE RE[ENIE URAWNENIQ kORTEWEGA - DE fRIZA.
rE[ENIE. mETOD OBRATNOJ ZADA^I RASSEQNIQ DLQ URAWNENIQ kOR- TEWEGA - DE fRIZA DAET RE[ENIE u(x t) W WIDE (4.25), GDE FUNKCIQ K(x y) OPREDELQETSQ URAWNENIEM glm (4.13), W KOTOROM FUNKCIQ F (x) STROITSQ PO SOOTWETSTWU@]IM DANNYM RASSEQNIQ. oDNOSO- LITONNOE RE[ENIE OTNOSITSQ K KLASSU BEZOTRAVATELXNYH POTEN- CIALOW ODNOMERNOGO OPERATORA {REDINGERA (4.1), DLQ KOTORYH KO- \FFICIENT OTRAVENIQ RAWEN NUL@, r(k) = 0. dANNYE RASSEQNIQ WKL@^A@T ODNU TO^KU DISKRETNOGO SPEKTRA = ; 2 OPERATORA L WIDA (4.1) I WE]ESTWENNYJ PARAMETR > 0. fUNKCIQ F(x), OPRE- DELQEMAQ \TIMI DANNYMI RASSEQNIQ, IMEET WID (4.16), GDE SLEDUET POLOVITX r(k) = 0. tAKIM OBRAZOM,
F (x) = e; x:
iZ RE[ENIQ ZADA^I 7 SLEDUET, ^TO FUNKCIQ K(x y) IMEET WID (4.26) PRI r0 = 0,
K(x y) = ; |
e; y |
|
e; (x+'0) |
||||
|
|
|
= ;2 |
|
|
||
e x + |
|
e; x |
cosh (x ; '0) |
||||
|
|
||||||
|
|
2 |
44 |
|
|
|
|
GDE WELI^INA '0 WWEDENA W ZADA^E 7 I IMEET WID |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
||
'0 = |
|
log |
|
: |
|
(4.30) |
|
2 |
2 |
||||||
fUNKCIQ (4.28) PRI r0 = 0 PRINIMAET WID |
|
||||||
2 2 |
|
|
|
||||
u(x) = ; |
|
: |
(4.31) |
||||
cosh2 (x ; '0) |
|||||||
wYRAVENIE (4.31) BUDET RE[ENIEM URAWNENIQ kORTEWEGA - DE fRI- |
|||||||
ZA, ESLI W NEM ZAMENITX DANNYE RASSEQNIQ , SOOTWETSTWU@]IMI |
|||||||
DANNYMI, ZAWISQ]IMI OT WREMENI t: ! (t), ! 3(t). sOGLASNO |
|||||||
METODU OBRATNOJ ZADA^I RASSEQNIQ, (t) = exp(8 t), (t) = . pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (4.31), POLU^AEM ISKOMOE ODNOSOLI- TONNOE RE[ENIE
|
|
u(x t) = ; |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
(4.32) |
||||||||
|
|
cosh2 (x ; 4 2t ; '0) |
|||||||||||||||||||
GDE '0 IMEET WID (4.30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
zADA^A 10 w URAWNENII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ut + uux = uxx = const |
(4.33) |
||||||||||||||||
PROWESTI PREOBRAZOWANIQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
u = |
@ |
ln F |
|
= const : |
(4.34) |
||||||||||||
|
|
@x |
|
||||||||||||||||||
rE[ENIE. pODSTAWIM (4.34) W (4.33), POLU^IM |
|
||||||||||||||||||||
@ |
@ |
ln F ! |
@ |
|
@ ln F |
! |
2 |
@3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
ln F: |
|
|||||||
|
@x |
@t |
@x |
|
@x |
|
@x3 |
|
|||||||||||||
iNTEGRIRUQ PO x, POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ft |
|
F2 |
|
@ Fx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
x = |
|
|
+ c(t) |
(4.35) |
||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
@x F |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
GDE c(t) | "KONSTANTA INTEGRIROWANIQ", WOZNIK[AQ PRI INTEGRI- ROWANII PO x.
uRAWNENIE (4.35) MOVNO TAKVE ZAPISATX W WIDE
Ft |
|
F 2 |
= 0 |
Fxx |
F 2 |
1 |
|
|
F |
+ |
2 Fx2 |
F |
; Fx2 |
+ c(t) |
(4.36) |
||
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
45
zADA^A 11 w PREDYDU]EJ ZADA^E NAJTI USLOWIE, PRI KOTOROM URAWNENIE (4.36) OKAZYWAETSQ LINEJNYM.
rE[ENIE. w PREOBRAZOWANII (4.34) PARAMETR PROIZWOLEN. wY- BEREM = ;2 , TOGDA W URAWNENII (4.36) NELINEJNYE ^LENY SOKRA- ]A@TSQ. uRAWNENIE (4.36) STANOWITSQ LINEJNYM I PRINIMAET WID
Ft ; c(t)F = Fxx: |
(4.37) |
uPROSTIM URAWNENIE (4.37). s \TOJ CELX@ PREOBRAZUEM ISKOMU@ FUNKCI@ F (x t), POLOVIW
F (x t) = f(t)v(x t): |
(4.38) |
zDESX v(x t) | NOWAQ ISKOMAQ FUNKCIQ, A FUNKCI@ f(t) WYBEREM PODHODQ]IM OBRAZOM.
pODSTAWIM (4.38) W (4.37), POLU^IM
ftv + fvt ; c(t)fv = fvxx: |
(4.39) |
wYBEREM FUNKCI@ f(t) W WIDE f(t) = eR c(t)dt, TOGDA URAWNENIE (4.39) SWODITSQ K LINEJNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI
vt = vxx:
zAME^ANIE 4.1 uRAWNENIE (4.33) NAZYWAETSQ URAWNENIEM b@R- GERSA. pREOBRAZOWANIE (4.34), LINEARIZU@]EE URAWNENIE (4.33), NO- SIT NAZWANIE PREOBRAZOWANIQ kOULA-hOPFA.
zADA^A 12 w URAWNENII kORTEWEGA-DE fRIZA |
|
|
qt ; 6qqx + qxxx = 0 |
q = q(x t) |
(4.40) |
WYPOLNITX PODSTANOWKU |
|
|
q = v2 ; "vx |
" = 1 |
(4.41) |
INAJTI URAWNENIE, KOTOROMU UDOWLETWORQET FUNKCIQ v(x t). rE[ENIE. wY^ISLIM PROIZWODNYE OT WYRAVENIQ (4.41):
qt = +2vv46t ; "vxt
qx = 2vvx ; "vxx
qxx = 2vvxx + 2vx2 ; "vxxx qxxx = 2vvxxx + 6vxvxx ; "vxxxx:
pODSTAWIM PROIZWODNYE W (4.40), POLU^IM |
|
2vvt ; "vxt ; 6(v2 ; "vx)(2vvx ; "vxx) + |
|
+ 2vvxxx + 6vxvxx ; "vxxxx = 0: |
(4.42) |
zADA^A 13 pOKAZATX, ^TO WYRAVENIE W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ (4.42) MOVNO ZAPISATX W WIDE
(2v ; " |
@ |
)(vt ; 6v2vx + vxxx): |
(4.43) |
@x |
rE[ENIE. sOOTNO[ENIE (4.43) PROWERQETSQ NEPOSREDSTWENNO. zAME^ANIE 4.2 iZ FORMUL (4.40), (4.41), (4.42), (4.43) SLEDUET
qt ; 6qqx + qxxx = (2v ; " |
@ |
)(vt ; 6v2vx + vxxx): |
(4.44) |
@x |
sOOTNO[ENIE (4.44) SWQZYWAET RE[ENIQ DWUH URAWNENIJ: ESLI v(x t) | ESTX RE[ENIE URAWNENIQ
vt ; 6v2vx + vxxx = 0 |
(4.45) |
TO RE[ENIE URAWNENIQ kORTEWEGA-DE fRIZA q(x t) |
WYRAVAETSQ |
^EREZ v(x t) PO FORMULE (4.41). |
|
uRAWNENIE (4.45) NOSIT NAZWANIE MODIFICIROWANNOGO URAWNE- NIQ kORTEWEGA-DE fRIZA.
zADA^A 14 nAJTI ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ b@RGERSA
ut + uux = uxx |
(4.46) |
W WIDE BEGU]EJ WOLNY u(x t) = u(x ; vt), S NA^ALXNYM USLOWIEM
|
1 |
|
u = a (1 ; tanh |
2ax) a = const : |
(4.47) |
47
rE[ENIE. uRAWNENIE b@RGERSA (4.46) PODSTANOWKOJ |
|
||
u = ;2 |
@ |
ln F |
(4.48) |
@x |
|||
SWODITSQ K URAWNENI@ |
|
||
Ft = Fxx: |
(4.49) |
||
bUDEM ISKATX RE[ENIE URAWNENIQ (4.49) W WIDE BEGU]EJ WOLNY
F = F( ) = x ; at |
(4.50) |
GDE a | PARAMETR, a IMEET SMYSL SKOROSTI RASPROSTRANENIQ WOL- NY. pODSTANOWKA (4.50) W (4.49) PRIWODIT K OBYKNOWENNOMU DIFFE- RENCIALXNOMU URAWNENI@
;aF 0 = F 00 GDE F0 = dF ( )=d : |
(4.51) |
lINEJNOE URAWNENIE S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI (4.51) \LE- MENTARNO INTEGRIRUETSQ:
F = c1e;a + c2 |
(4.52) |
GDE c1, c2 | KONSTANTY INTEGRIROWANIQ. pO FORMULE (4.48) IZ (4.52) POLU^AEM RE[ENIE URAWNENIQ b@RGERSA W WIDE
c1e;a |
|
|
u(x ; at) = 2 c1e;a + c2 |
: |
(4.53) |
pOD^INIM FUNKCI@ (4.53) NA^ALXNOMU USLOWI@ (4.47), POLOVIW
|
|
u(x t)jt=0 = u(x) = |
|
|
|||
|
|
c1e;ax |
|
1 |
|
||
= 2 a |
|
|
= a(1 |
; tanh |
2ax): |
(4.54) |
|
c e |
ax + c |
||||||
1 |
; |
2 |
|
|
|
|
|
uSLOWIE (4.54) WYPOLNQETSQ, ESLI KONSTANTY INTEGRIROWANIQ SWQ- ZATX USLOWIEM c2 = c1. tOGDA ISKOMOE RE[ENIE URAWNENIQ b@RGERSA (4.46) PRINIMAET WID
u(x t) = a [1 ; tanh |
1 |
(ax ; a2 t)]: |
(4.55) |
2 |
zADA^A 15 iSSLEDOWATX POWEDENIE RE[ENIQ (4.55) URAWNENIQ b@R- GERSA W ZADA^E 14 PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH PARAMETRA DIFFUZII
.
48
u6
2a
x-6
rIS. 4.2:
rE[ENIE. w NEKOTORYJ FIKSIROWANNYJ MOMENT t > 0
+1 ! +1, tanh 12 ! 1, u(x t) ! 0. pRI x ! ;1 tanh 12 ! ;1 u(x t) ! 2a .
pOWEDENIE RE[ENIQ PREDSTAWLENO NA rIS.4.2.
PRI x !
! ;1,
pO^EMU RE[ENIE (4.55) SOHRANQET SWOJ WID PRI MALYHNESMOTRQ NA TO, ^TO NELINEJNOSTX uux W URAWNENIQH b@RGERSA DOLVNA PRIWODITX K \FFEKTU OPROKIDYWANIQ FRONTA WOLNY?
rE[ENIE. pRI ! 0 "FRONT" WOLNY (4.55) STANOWITSQ KRU^E,
PO\TOMU UMENX[ENIE PARAMETRA KOMPENSIRUETSQ ROSTOM WTOROJ
PROIZWODNOJ uxx.
49
pREDMETNYJ UKAZATELX
hARAKTERISTI^ESKAQ FORMA, 8 GIPERBOLI^ESKIE WOLNY, 29 GIPERBOLI^ESKIJ TIP, 9 ZAKON fURXE, 15
ODNORODNOE URAWNENIE, 6
PARABOLI^ESKIJ TIP, 9 PORQDOK FUNKCII, 4
PRINCIP SUPERPOZICII RE[ENIJ, 6
SIMWOL OPERATORA, 5 URAWNENIE W WARIACIQH, 7 \LLIPTI^ESKIJ TIP, 9
PORQDOK OPERATORA, 5
50