задачи_nl

rE[ENIE. pLOTNOSTX POTOKA TEPLOWOJ \NERGII W DANNOJ ZADA^E DAETSQ WYRAVENIEM

oTMETIM, ^TO POTOK NA FRONTE TEPLOWOJ WOLNY RAWEN NUL@, q(x0(t) t) = 0 > 0:

rE[ITX ZADA^U O PROSTRANSTWENNOJ LOKALIZACII TEP- LOWYH WOZMU]ENIJ

> u(x 0) = Q (x):

:

GDE SLAGAEMOE pu OPISYWAET POGLO]ENIE TEPLOWOJ \NERGII.

rE[ENIE.

1) pOLU^IM URAWNENIE, OPREDELQ@]EE WELI^INU

J(t) = Z;1+1 u(x t)dx: dIFFERENCIRUQ J(t), POLU^IM

dtd J(t) = a2 Z;1+1(u ux)xdx ; p Z;1+1 udx

21

zAWISIMOSTX (t) OTOBRAVAET t 2 [0 1) W 2 [0 m), RE[ENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I IMEET WID

u(x t) = v(x (t))e;pt:

zADA^A 7 nAJTI ZAKON DWIVENIQ FRONTA TEPLOWOJ WOLNY W ZA- DA^E 6.

rE[ENIE. zAKON DWIVENIQ FRONTA DAETSQ WYRAVENIEM x = x0( (t)). pOKAVEM, ^TO FUNKCIQ u(x t) PRI t > 0 RAWNA NUL@ WNE OBLASTI

x < L(t),

rE[ENIE. aWTOMODELXNOE RE[ENIE URAWNENIQ (2.19) I]EM W WIDE

23

zDESX | AWTOMODELXNAQ PEREMENNAQ, | ISKOMAQ FUNKCIQ. rE- [ENIE (2.20) BUDET AWTOMODELXNYM, ESLI URAWNENIE W ^ASTNYH PRO- IZWODNYH (2.19) PODSTANOWKOJ (2.20) PRIWODITSQ K OBYKNOWENNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@, OPREDELQ@]EMU FUNKCI@ ( ). dLQ PODSTANOWKI WYRAVENIJ (2.20) W (2.19) WY^ISLIM PROIZWOD-

NYE

1ptq=p t;1=p;1 x 0( ) = = qptq=p;1 ( ) ; p1tq=p;1 0( ):

ux = tq=p;1=p 0 uxx = tq=p;2=p 00:

zDESX 0 = d ( )=d .

pODSTAWIM WY^ISLENNYE PROIZWODNYE W URAWNENIE (2.19), POLU- ^IM

uRAWNENIE (2.21) QWLQETSQ OBYKNOWENNYM DIFFERENCIALXNYM URAW- NENIEM, OPREDELQ@]IM FUNKCI@ ( ), ESLI

;

zADA^A 10 zAPISATX URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI DLQ SREDY, W KOTOROJ PROISHODIT GORENIE, PRI^EM INTENSIWNOSTX GORENIQ PRO- PORCIONALXNO TEMPERATURE.

rE[ENIE. uRAWNENIE TEPLOWOGO BALANSA IMEET WID ut = a2uxx + f

24

GDE f | INTENSIWNOSTX ISTO^NIKOW TEPLA.

w DANNOM SLU^AE f = u, | KO\FFICIENT PROPORCIONALXNOS- TI. iSKOMOE URAWNENIE IMEET WID

ut = a2uxx + u:

zADA^A 11 dLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S ISTO^NIKOM

OPISYWA@]IM PROCESS GORENIQ S NELINEJNOJ ZAWISIMOSTX@ IN- TENSIWNOSTI TEPLOWYH ISTO^NIKOW OT TEMPERATURY, NAJTI STA- CIONARNOE ODNORODNOE RE[ENIE I ISSLEDOWATX USLOWIE USTOJ^I- WOSTI \TOGO RE[ENIQ.

rE[ENIE. uRAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI S ISTO^NIKOM WIDA (2.22)

sTACIONARNOE ODNORODNOE RE[ENIE, PO OPREDELENI@, NE ZAWISIT OT t x. dLQ TAKOGO RE[ENIQ u = const , ut = ux = 0, I URAWNENIE (2.23)

PRINIMAET WID

u ; u3 = 0

I IMEET RE[ENIQ

dLQ ISSLEDOWANIQ USTOJ^IWOSTI RE[ENIJ (2.24) RASSMOTRIM URAW- NENIQ DLQ WARIACII SOOTWETSTWU@]EGO RE[ENIQ. bUDEM ISKATX RE- [ENIE URAWNENIQ (2.23) W WIDE

GDE u0 | ODNO IZ RE[ENIJ (2.24), u | OTKLONENIE (WARIACIQ) OT RE[ENIQ u0. rE[ENIE u0 BUDET USTOJ^IWYM, ESLI S TE^ENIEM WREMENI WARIACIQ u NE WOZRASTAET. w PROTIWNOM SLU^AE RE[ENIE NE QWLQETSQ USTOJ^IWYM.

pODSTAWIM (2.25) W (2.23) I OGRANI^IMSQ LINEJNYMI PO u ^LE- NAMI. u^ITYWAQ, ^TO u0 UDOWLETWORQET URAWNENI@ (2.23), POLU^IM

dLQ ODNORODNOGO RE[ENIQ BUDEM S^ITATX, ^TO WTOROJ PROIZWODNOJ PO KOORDINATE uxx MOVNO PRENEBRE^X. w \TOM SLU^AE URAWNENIE (2.26) PRIMET WID

rE[ENIE. pROWEDEM ZAMENU PEREMENNYH W URAWNENII (2.27) PO FORMULAM (2.28).

s^ITAQ, ^TO FUNKCIQ u(t x) ZAWISIT OT t0 x0 W SOOTWETSTWII S (2.28), WOSPOLXZUEMSQ PRAWILOM DIFFERENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNK- CII

@=@t = (@t0=@t)@=@t0 + (@x0=@t)@=@x0 = = @=@t0 + vet0@=@x0

wY^ISLIW PROIZWODNYE I SOKRATIW OB]IJ \KSPONENCIALXNYJ MNO- VITELX, POLU^IM

^TO DOKAZYWAET INWARIANTNOSTX.

zADA^A 13 nAJTI ^ASTNYE RE[ENIQ URAWNENIQ (2.27), ISPOLXZUQ SWOJSTWO INWARIANTNOSTI URAWNENIQ (2.27) OTNOSITELXNO PRE- OBRAZOWANIQ

rE[ENIE. ~ASTNYM RE[ENIEM URAWNENIQ (2.27) QWLQETSQ POSTO- QNNAQ u(x t) = 1. w SOOTWETSTWII SO SWOJSTWOM INWARIANTNOSTI FUNKCIQ

rE[ENIE (2.30) SODERVIT PROIZWOLXNYJ PARAMETR v, TAK ^TO WYRAVENIE (2.30) ZADAET ODNOPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO ^ASTNYH RE[ENIJ URAWNENIQ (2.27).

zADA^A 14 zAPISATX USLOWIE TEPLOWOGO BALANSA NA FRONTE FA- ZOWOGO PEREHODA

NAJTI

27

1) STACIONARNYE RE[ENIQ SISTEMY

2)PROWERITX WYPOLNENIE USLOWIJ qu < 0, Qv > 0,

3)NAJTI USLOWIE USTOJ^IWOSTI STACIONARNOGO RE[ENIQ.

rE[ENIE.

1. sTACIONARNOE RE[ENIE OPREDELQETSQ USLOWIQMI q = u3h ; uh ; vh = 0 Q = uh + vh ; A0 = 0

OTKUDA SLEDUET

uh = (A0)1=3 vh = A0 ; (A0)1=3:

2.uSLOWIQ qu = 3u2h ; 1 < 0, Qv = 1 > 0 WYPOLNQ@TSQ PRI

A0 < (13)3=2 = A0.

3.uSLOWIE NEUSTOJ^IWOSTI IMEET WID

qu < ; 2Qv ; 2 J1=2

GDE

J = quQv ; qvQu = (3u2h ; 1) 1 + 1 = 3(A0)2=3 > 0:

nEUSTOJ^IWOSTX WOZNIKAET PRI KRITI^ESKOM ZNA^ENII PARAMETRA A0 = Ac, KOTOROE OPREDELQETSQ IZ USLOWIQ

3u2h ; 1 = ; 2 ; 2 (3(Ac)2=3)1=2: pODSTAWIM ZNA^ENIE uh, POLU^IM

3(Ac)2=3 ; 1 = ; 2 ; 2 (3(Ac)2=3)1=2

OTKUDA

(3(Ac)2=3 ; 1) ;2 + 2 31=2A1c=3 ;1 + 1 = 0:

28

3gIPERBOLI^ESKIE I DISPERGIRU@]IE WOLNY

wOLNY USLOWNO RAZDELQ@T NA GIPERBOLI^ESKIE I DISPERGIRU@- ]IE.

gIPERBOLI^ESKIE WOLNY OPISYWA@TSQ GIPERBOLI^ESKIMI URAW- NENIQMI, PRIMEROM KOTORYH QWLQETSQ WOLNOWOE URAWNENIE

utt = c2 u u = u(t ~r) ~r 2 R2: w ODNOMERNOM SLU^AE u = u(t x), x 2 R1,

utt = c2uxx:

bOLEE SLOVNYE WOLNOWYE PROCESSY MOGUT OPISYWATXSQ GIPERBOLI- ^ESKIMI SISTEMAMI URAWNENIJ.

tIP URAWNENIQ ILI SISTEMY URAWNENIJ MOVET BYTX OPREDELEN W SOOTWETSTWII S OPREDELENIQMI, RASSMOTRENNYMI W P. 1.

dISPERGIRU@]AQ WOLNA OPREDELQETSQ WIDOM RE[ENIQ, A NE URAW- NENIEM.

lINEJNAQ DISPERGIRU@]AQ WOLNA DOPUSKAET RE[ENIE W WIDE GAR- MONI^ESKIH KOLEBANIJ

u = a cos(kx ; !(k)t)

W KOTOROM ^ASTOTA ! ESTX NELINEJNAQ FUNKCIQ WOLNOWOGO ^ISLA k !00(k) = d2!(k)=dk2 =6 0:

dISPERSIQ SREDY, KAK PRAWILO, PRIWODIT K RASPLYWANI@ WOLNOWO- GO PAKETA PRI EGO RASPROSTRANENII.

pROSTEJ[EE NELINEJNOE URAWNENIE RASPROSTRANENIQ WOLNY IME- ET WID

ut + c(u)ux = 0

dc(u)=du 6= 0, W KOTOROM SKOROSTX RASPROSTRANENIQ WOLNY ZAWISIT OT POLQ c = c(u). dLQ SLABO NELINEJNOJ SREDY c = c0 + c1u.

hARAKTERNYM SLEDSTWIEM NELINEJNOSTI QWLQETSQ OPROKIDYWA- NIE FRONTA WOLNY.

zADA^A 1 lINEJNOE URAWNENIE kORTEWEGA-DE-fRIZA IMEET WID

nAJTI DISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE, SOOTWETSTWU@]EE URAWNE-

NI@ (3.1).

29

rE[ENIE. dISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE, SOGLASNO OPREDELENI@, ESTX ZAWISIMOSTX ^ASTOTY ! OT WOLNOWOGO ^ISLA k, ! = !(k) W GARMO- NI^ESKOM RE[ENII WIDA

= !t ; kx. iZ (3.3) NAHODIM ISKOMOE DISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE W SLEDU@]EM WIDE:

wYRAVENIE (3.7) PREDSTAWLQET SOBOJ ISKOMYJ ZAKON DISPERSII