Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных.

Начнем для простоты со случая уравнения второго порядка. Пусть имеем дифференциальное уравнение

, (1)

где функции непрерывны на, и пусть известна фундаментальная система,решений соответствующего однородного уравнения

. (2)

Тогда

+,,- постоянные,

является общим решением уравнения (2).

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применим метод вариации постоянных (метод Лагранжа), который состоит в следующем. Будем искать решение неоднородного уравнения (1) в виде

+, 3)

где ,- новые неизвестные функции отх. Для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Естественно, что функции ,должны удовлетворять тому уравнению, которое получится, если в исходное уравнение подставить вместовыражение+.

Наложим еще на функции ,дополнительное условие. Продифференцируем (3):

+++.

В качестве дополнительного условия, налагаемого на ,возьмем следующее:

+=0,

тогда

+,

+.

Подставим найденные выражения для в исходное уравнение, получим

.

Так как ,являются решениями однородного уравнения (2), то выражения в скобках тождественно равны нулю. Следовательно,

.

Значим функция (3) будет решением неоднородного линейного уравнения (1), если функции ,будут удовлетворять системе

(4)

определитель которой является определителем Вронского линейно независимых решений ,уравнения (2) и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале. Решая эту систему как линейную алгебраическую систему относительно,, находим:

,

и интегрируя, получим

,

здесь ,- постоянные. Подставляя эти выражения для,в (3), найдем общее решение неоднородного линейного уравнения (1):

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному: . Функция, как мы уже показали выше, является общим решением этого уравнения. Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Система условий (4) примет вид

откуда

Следовательно,

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

.

Для интегрирования линейного неоднородного дифференциального уравнения п-го порядка ()

(5)

поступим аналогично.

Пусть ,, …,- известная фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (5) в виде

, (6)

где - новые неизвестные функции.

Чтобы найти п функций , надо составить систему изп уравнений, содержащих эти функции. При составлении такое системы уравнений можно п-1 уравнений взять произвольно и затем составить п-е уравнение, исходя из требования, чтобы функция , определенная формулой (6), удовлетворяла уравнению (5). В качестве первыхп-1 уравнений возьмем следующие:

,

,

……………………………………………….,

.

Тогда, чтобы функция , определенная формулой (6), удовлетворяла уравнению (5), надо на функции,наложить условие

.

Для определения ,получаем систему

(7)

Определитель этой системы является определителем Вронского фундаментальной системы решений однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале . Поэтому система (7) однозначно разрешима относительно,. Решая ее, находим,, гдеуже известные функции, поэтому

, .

Подставляя найденные выражения для в (6), получим общее решениеисходного уравнения (5):

,

где ,, …,- произвольные постоянные.

40