- •1. Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
- •3. Пусть теперь корни характеристического уравнения действительные и равные. Одно частное решение получаем сразу (из (4)). Второе частное решение, линейно независимое с первым, будем искать в виде
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Уравнение вида
- •3. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и при комплексном . Поэтому, если правая часть линейного дифференциального уравнения
Лекция №6
Тема: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Вопросы:
1. Построение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы решений, в зависимости о корней характеристического уравнения.
2. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Мы рассмотрим эти приложения немного позже.
Рассмотрим линейное уравнение п-го порядка
, (1)
где коэффициенты , , …, есть действительные числа, а функция непрерывная в некотором интервале функция.
Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения сводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения
. (2)
Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, непрерывны при всех значениях х, то по теореме Пикара и все решения уравнения (2) определены при всех х.
Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Мы докажем это утверждение для уравнения второго порядка.
1. Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть мы имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
, (3)
где , - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения.
Следуя Эйлеру, будем искать их в виде
, (4)
где действительная или комплексная. Тогда согласно определению решения функции (4) будут решением уравнения (3), если выбрано так, что функция (4) обращает его в тождество .
Подставляя функцию (4) в левую часть уравнения (3), и принимая во внимание, что , получим . Так как , то должно выполняться равенство . Следовательно, функция (4) будет решением уравнения (3), если будет удовлетворять алгебраическому уравнению
. (5)
Уравнение (5) называется характеристическим уравнением, по отношению к уравнению (3), а его левая часть называется характеристическим многочленом. Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами.
Заметим, что характеристическое уравнение (5) может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (3) заменой , и на , и 1, т.е. степень совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция .
Характеристическое уравнение (5) является квадратным уравнением. Обозначим его корни и . Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения (5). Они могут быть: 1) действительными и различными; 2) комплексными; 3) действительными и равными.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. Если корни , характеристического уравнения действительные и различные, то частными решениями уравнения (3) будут функции
, .
Эти решения линейно независимы, так как
, так как .
Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Общее решение уравнения примет вид
,
где - постоянные.
2. Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты характеристического уравнения действительные, комплексные корни будут попарно сопряженными. Положим, что и . Частные решения уравнения (3) можно записать в виде
, .
Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем рассматривать лишь действительные решения. С помощью формул Эйлера:
,
частные решения , можно представить в виде
, .
Таким образом, частными решениями уравнения (3) будут также действительная и мнимая части этих комплексных решений, т.е. функции
, . (6)
Эти решения линейно независимы, так как
Аналогично, сопряженному корню соответствуют действительные частные решения
, .
Эти решения линейно зависимы с решениями и . Таким образом, паре сопряженных комплексных корней соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (6).
Решения (6) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Поэтому общее решение в рассматриваемом случае будет иметь вид
.
Если корни и чисто мнимые, т.е. , , , то им соответствуют линейно независимые частные решения вида
, .
Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (3), а
есть общее решение этого уравнения.