Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / ДУ / Лекция 6.doc
Скачиваний:
32
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
502.78 Кб
Скачать

Лекция №6

Тема: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Вопросы:

1. Построение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы решений, в зависимости о корней характеристического уравнения.

2. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Мы рассмотрим эти приложения немного позже.

Рассмотрим линейное уравнение п-го порядка

, (1)

где коэффициенты , , …, есть действительные числа, а функция непрерывная в некотором интервале функция.

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения сводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

. (2)

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, непрерывны при всех значениях х, то по теореме Пикара и все решения уравнения (2) определены при всех х.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Мы докажем это утверждение для уравнения второго порядка.

1. Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть мы имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

, (3)

где , - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения.

Следуя Эйлеру, будем искать их в виде

, (4)

где действительная или комплексная. Тогда согласно определению решения функции (4) будут решением уравнения (3), если  выбрано так, что функция (4) обращает его в тождество .

Подставляя функцию (4) в левую часть уравнения (3), и принимая во внимание, что , получим . Так как , то должно выполняться равенство . Следовательно, функция (4) будет решением уравнения (3), если  будет удовлетворять алгебраическому уравнению

. (5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением, по отношению к уравнению (3), а его левая часть называется характеристическим многочленом. Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами.

Заметим, что характеристическое уравнение (5) может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (3) заменой , и на , и 1, т.е. степень совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция .

Характеристическое уравнение (5) является квадратным уравнением. Обозначим его корни и . Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения (5). Они могут быть: 1) действительными и различными; 2) комплексными; 3) действительными и равными.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если корни , характеристического уравнения действительные и различные, то частными решениями уравнения (3) будут функции

, .

Эти решения линейно независимы, так как

, так как .

Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Общее решение уравнения примет вид

,

где - постоянные.

2. Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты характеристического уравнения действительные, комплексные корни будут попарно сопряженными. Положим, что и . Частные решения уравнения (3) можно записать в виде

, .

Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем рассматривать лишь действительные решения. С помощью формул Эйлера:

,

частные решения , можно представить в виде

, .

Таким образом, частными решениями уравнения (3) будут также действительная и мнимая части этих комплексных решений, т.е. функции

, . (6)

Эти решения линейно независимы, так как

Аналогично, сопряженному корню соответствуют действительные частные решения

, .

Эти решения линейно зависимы с решениями и . Таким образом, паре сопряженных комплексных корней соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (6).

Решения (6) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Поэтому общее решение в рассматриваемом случае будет иметь вид

.

Если корни и чисто мнимые, т.е. , , , то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

, .

Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (3), а

есть общее решение этого уравнения.

Соседние файлы в папке ДУ