Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид

,

где - заданные на некотором интервалефункции. Еслина этом интервале, то уравнение называется линейнымоднородным, в противном случае уравнение называется неоднородным.

Так же как и ранее будем предполагать, что функции непрерывны на интервале. Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми начальными данными,, …,при. В частности, единственным решением однородного уравнения с нулевыми начальными условиями,, …,будет очевидно нулевое решение.

Для упрощения дальнейшего изложения материала, левую часть линейного уравнения обозначим через :

. (9)

Таким образом, есть результат выполнения над функциейу операций, указанных в правой части формулы (9), а именно: вычисление производных от функции у до порядка п включительно, умножение на заданные функциии сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символомL:

и будем его называть линейным дифференциальным оператором п-го порядка.

Например, пусть , тогда

.

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1. ;

2. .

В справедливости этих свойств легко убедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем

,

.

Из этих основных свойств оператора L следует, что

,

т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения соответственно в виде

, (10)

и

. (11)

Если функция является решением уравнения (10) или (11) в некотором интервале, то значение оператораL от этой функции равно или нулю при всехх из:

, ,

или

, .

Установим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения. Доказательства этих свойств основываются на свойствах 1 и 2 оператора L.

Теорема 1. Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения (11), то функция, гдеС - произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

Теорема 2. Если функции иявляются решениями линейного однородного уравнения (11), то сумма функций+тоже является решением этого уравнения.

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений,, …,линейного однородного дифференциального уравнения (11) является решением того же уравнения.

Говоря о решении дифференциального уравнения, предполагаем, что это решение – действительная функция. Однако для однородного линейного уравнения наряду с действительными решениями следует ввести понятие комплексного решения.

Функция называется комплексным решением уравнения (11) в интервале, если она обращает это уравнение в тождество

,

справедливое при всех значениях х из интервала . Это тождество равносильно в силу свойств 2 и 1 оператораL следующему тождеству:

,

откуда вытекает, что

, ,,

а это значит, что функции иявляются решениями однородного уравнения (11).

Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения однородного линейного уравнения являются действительными решениями этого уравнения.