Госы 5к Надя / ДУ / лекция 1

Лекция №1.

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Вопросы:

1. Геометрические и физические задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение, порядок ДУ, решение ДУ, интегральная кривая, начальные данные.

3. ДУ первого порядка. Нормальная форма записи. Понятия поля направлений и изоклин. Задача Коши и теорема Пикара. Общее, частное и особое решения ДУ.

В различных областях науки и техники часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные искомых функций. Рассмотрим несколько задач, приводящих к таким уравнениям.

Задача 1. На плоскости хОу найти кривую, проходящую через точку , у которой угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой. По условию задачи в каждой точке существует касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, т.е. . Таким образом, имеем

. (1)

Это уравнение содержит производную искомой функции. Уравнения такого типа, которые содержат производные искомой функции, называют дифференциальными уравнениями. Таким образом, наша задача свелась к нахождению функции, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению (1), т.е. обращала бы это уравнение в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения, а процесс нахождения решений – интегрированием этого уравнения.

Из уравнения (1) следует, что функция у есть первообразная функции . Следовательно, , или

, (2)

где С – произвольная постоянная.

Из формулы (2) следует, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений, т.е. уравнению (1) удовлетворяет не одна кривая, а бесконечное множество кривых - парабол. Чтобы из этого множества кривых выбрать нужную нам кривую, нужно воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку . Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2). Поэтому , т.е. . Значит, искомая кривая

. (3)

Искомая кривая является графиком решения дифференциального уравнения (1). Она называется интегральной кривой этого уравнения.

Таким образом, интегральными кривыми уравнения (1) будут парабола (3) и все параболы (2), получающиеся из нее сдвигом вдоль оси ОУ на С единиц. Все эти параболы обладают одним общим свойством, выраженным дифференциальным уравнением (1): угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

Задача 2. Найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени и начальная скорость падания равна 0.

Решение. Скорость в этом случае выражается формулой . Как известно, скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени. Поэтому

. (4)

Равенство (4) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемого тела. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (4), найдем интересующий нас закон движения в конечной форме.

Из уравнения (4) следует, что функция является первообразной для функции . Следовательно, или

. (5)

Выделим интересующее нас решение, в котором

при . (6)

Для этого положим в формуле (5) , . Получим , откуда , следовательно, искомым решением (движением) будет

. (7)

Формула (7) дает искомый закон движения тела. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (4) и условием (6), нет.

Условие (6) называется начальным условием, а числа и - начальными данными решения (движения).

В рассмотренных двух задачах мы приходим к дифференциальному уравнению вида . Это уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Однако в большинстве случаев естественные и технические процессы описываются более общими и сложными дифференциальными уравнениями. Дадим теперь определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

Дифференциальное уравнение – это соотношение, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производные до некоторого порядка

. (8)

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения. Оба уравнения, рассмотренные нами в задачах 1 и 2, являются уравнениями первого порядка. Уравнения

, ,

являются соответственно уравнениями второго, третьего и четвертого порядков.

В теории дифференциальных уравнений изучаются и такие уравнения, которые содержат несколько независимых переменных, искомую функцию и частные производные от искомой функции по независимым переменным, например , .

Такие уравнения называются уравнениями с частными производными. В отличие от них уравнения, в которых искомая функция является функцией только от одной независимой переменной, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Мы будем рассматривать главным образом уравнения, разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения вида

. (9)

Относительно такого уравнения будем говорить, что оно задано в нормальной форме. Например, нормальной формой уравнения

будет .

Всякая функция , определенная и непрерывная на некотором множестве Х вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях х из этого множества, называется решением этого дифференциального уравнения на множестве Х. Так, функция , будет решением уравнения (8) на множестве Х, если , . Иногда решение получают в неявном виде или в параметрической форме , (t - параметр).

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Часто ради краткости интегральную кривую называют решением.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Функция

, (*)

является решением уравнения

(**)

при (и во всяком конечном интервале), так как

, .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Согласно определению, данному выше, уравнение первого порядка имеет следующий вид:

. (10)

Будем рассматривать уравнения первого порядка в нормальной форме, т.е. разрешенные относительно производной от искомой функции:

, (11)

где функция определена и непрерывна в некоторой области G плоскости . Напомним, что областью называется непустое множество G точек, обладающее следующими свойствами:

1. любая точка G – внутренняя, т.е. она имеет окрестность, целиком принадлежащую G;

2. множество G связно, т.е. любые две его точки можно соединить ломаной, целиком лежащей внутри G.

Установим связь между уравнением (11) и его интегральными кривыми. Пусть

(12)

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку . Проведем касательную к интегральной кривой (12) в точке М и обозначим через  угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. Тогда , но , поэтому .

Таким образом, если через точку проходит интегральная кривая (12), то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

, (13)

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Если в каждой точке области G задано значение некоторой величины, то говорят, что в области G задано поле этой величины.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке М области G отрезок (для определенности – единичной длины) с центром в точке М, составляющий с положительным направлением оси ОХ угол , тангенс которого определяется формулой (13). Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (11). Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (11) в этой точке.

Направление поля в точке задается функцией , где . При построении поля направлений, заданного формулой , удобно использовать так называемые изоклины, т.е. линии, вдоль которых поле имеет одно и то же направление. Изоклины поля задаются равенствами .

Таким образом, дифференциальное уравнение (11) определяет поле направлений.

Тройка чисел определяет направление прямой, проходящей через точку . Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (11) может быть истолкована следующим образом: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Пример. Построим поле направлений, определяемое уравнением .

Решение. Изоклины этого поля направлений задаются равенством , т.е. , следовательно, являются прямыми, проходящими через начало координат (сама точка выбрасывается из этих прямых, так как при , дробь не имеет числового значения). Для прямой угловой коэффициент поля равен С, т.е. совпадает с угловым коэффициентом изоклины. Поэтому поле имеет вид, изображенный на рисунке.

Построим поле направлений для уравнения .

Изоклины задаются равенством , т.е. являются окружностями с центром в начале координат. При получаем окружность нулевого радиуса, т.е. точку . В этой точке и поэтому поле параллельно оси абсцисс. На окружности радиуса 1 имеем: , и поэтому поле образует угол с положительным направлением оси абсцисс. Изобразим это поле направлений и его изоклины.

Во многих задачах, которые приводят к дифференциальным уравнениям первого порядка, требуется найти решение, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной. Такая задача называется начальной задачей или задачей Коши.

В общем виде для уравнения первого порядка в нормальной форме (11) задача Коши ставится так: требуется найти решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию (условию Коши) при (). При этом предполагается, что правая часть уравнения (11) определена при , .

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Для теории дифференциальных уравнений большое значение имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и о единственности этого решения.

Теорема Пикара (существования и единственности решения). Пусть дано дифференциальное уравнение (11), где функция определена и непрерывна в некоторой окрестности начальной точки и имеет непрерывную в этой окрестности частную производную , то уравнение (11) имеет единственное решение , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальному условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения (11), но эти условия не являются необходимыми.

Пусть G некоторая область на плоскости , через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (11). Функция , определенная в некоторой области изменения переменных х и С и непрерывно дифференцируемая относительно х, называется общим решением уравнения (11) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1. равенство разрешимо в области G относительно произвольной постоянной: ,

2. функция является решением уравнения (11) при всех значениях произвольной постоянной , где произвольная точка области G.

Каждое решение, получаемое из общего подстановкой вместо С конкретного числового значения, называется частным решением уравнения. Особым решением называется решение , в каждой точке которого нарушается единственность задачи Коши.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (14)

Легко проверить, что функция , где является общим решением этого уравнения в верхней полуплоскости . Действительно, . Всякое решение вида , является частным решением. В частности, при получаем частное решение , . Очевидно, что правая часть уравнения (16) непрерывна во всей области определения и ее частная производная по у обращается в бесконечность только при , т.е. в точках оси ОХ. Следовательно, только функция может быть особым решением уравнения (14). Чтобы эта функция действительно была особым решением уравнения (14), нужно, во-первых, чтобы она была решением уравнения (14) и, во-вторых, чтобы в каждой точке этого решения нарушалась единственность решения задачи Коши. Оба эти условия выполняются. Следовательно, функция является особым решением уравнения (14).

6