- •1. Дифференциальные уравнения в частных производных
- •1.1 Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа
- •1.2 Приведение уравнения второго порядка параболического типа к каноническому виду
- •1.3 Постановки задач для уравнений параболического типа
- •2. Численное решение дифференциальных уравнений
- •2.1 Основные определения и конечно-разностные схемы для дифференциальных уравнений параболического типа
- •2.1.1 Основные определения. Принцип построения разностных схем
- •2.1.2 Аппроксимация и сходимость разностных схем
- •2.1.3 Исследование устойчивости конечно-разностных схем
- •2.2 Конечно-разностный метод решения задач для уравнений параболического типа
- •2.2.1 Однородные и консервативные конечно-разностные схемы для задач теплопроводности с граничными условиями, содержащими производные
- •2.2.2 Неявно-явная конечно-разностная схема с весами. Схема Кранка-Николсона
- •2.2.3 Метод дробных шагов н.Н. Яненко
- •2.2.4 Метод переменных направлений с экстраполяцией в. Ф. Формалева
- •2.3 Численное решение определенных задач
2.3 Численное решение определенных задач
Пример 1. Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение начально-краевой задачи вида:
,
(начальное условие)
, (краевое условие на левой границе)
, (краевое условие на правой границе).
Решение.
Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем .
Зададим шаг по пространству: h=0,1 , следовательно, Выберем шаг по времени из условия обеспечения устойчивости и минимизации ошибокпоэтомуТаким образом, получаем
Вычислим значения решения на нулевом слое:
(N=10).
Краевые условия на левой и правой границах записываются в виде:
(K=6).
2, 3. Поскольку решение на следующих слоях при k=0,1,…,5 находится по формуле
j=1,…,9,
и занесено в таблицу
k j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
0 |
0.360 |
0.640 |
0.840 |
0.960 |
1.000 |
0.960 |
0.840 |
0.640 |
0.360 |
0 |
1 |
0 |
0.347 |
0.627 |
0.827 |
0.947 |
0.987 |
0.947 |
0.827 |
0.627 |
0.347 |
0 |
2 |
0 |
0.336 |
0.613 |
0.813 |
0.933 |
0.973 |
0.933 |
0.813 |
0.613 |
0.336 |
0 |
3 |
0 |
0.326 |
0.600 |
0.800 |
0.920 |
0.960 |
0.920 |
0.800 |
0.600 |
0.326 |
0 |
4 |
0 |
0.317 |
0.588 |
0.787 |
0.907 |
0.947 |
0.907 |
0.787 |
0.588 |
0.317 |
0 |
5 |
0 |
0.309 |
0.576 |
0.774 |
0.894 |
0.934 |
0.894 |
0.774 |
0.576 |
0.309 |
0 |
6 |
0 |
0.302 |
0.564 |
0.761 |
0.881 |
0.921 |
0.881 |
0.761 |
0.564 |
0.302 |
0 |
Полученное решение на каждом из временных слоев является симметричным.
Решена задача параболического типа методом сеток. При решении использовали явную схему, вычисления обработаны на MathCad и выведены в виде кривых (Приложение 1).
Пример 2. Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение начально-краевой задачи вида:
,
(начальное условие)
, (краевое условие на левой границе)
, (краевое условие на правой границе).
Решение.
Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем .
Зададим шаг по пространству: h=0,1 , следовательно, Выберем шаг по времени из условия обеспечения устойчивости и минимизации ошибокпоэтомуТаким образом, получаем
Вычислим значения решения на нулевом слое:
(N=10).
Краевые условия на левой и правой границах записываются в виде:
(K=6).
2, 3. Поскольку решение на следующих слоях при k=0,1,…,5 находится по формуле
j=1,…,9,
и занесено в таблицу
k j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
0 |
0.005 |
0.020 |
0.045 |
0.08 |
0.125 |
0.180 |
0.245 |
0.320 |
0.405 |
0.500 |
1 |
0.002 |
0.007 |
0.022 |
0.047 |
0.082 |
0.127 |
0.182 |
0.247 |
0.322 |
0.407 |
0.502 |
2 |
0.003 |
0.008 |
0.023 |
0.048 |
0.083 |
0.128 |
0.183 |
0.248 |
0.323 |
0.408 |
0.503 |
3 |
0.005 |
0.010 |
0.025 |
0.050 |
0.085 |
0.130 |
0.185 |
0.250 |
0.325 |
0.410 |
0.505 |
4 |
0.007 |
0.012 |
0.027 |
0.052 |
0.087 |
0.132 |
0.187 |
0.251 |
0.327 |
0.412 |
0.506 |
5 |
0.008 |
0.013 |
0.028 |
0.053 |
0.088 |
0.133 |
0.188 |
0.253 |
0.328 |
0.413 |
0.508 |
6 |
0.010 |
0.015 |
0.030 |
0.055 |
0.090 |
0.135 |
0.190 |
0.255 |
0.330 |
0.415 |
0.510 |
Решена задача параболического типа методом сеток. При решении использовали явную схему, вычисления обработаны на MathCad и выведены в виде кривых (Приложение 2).
Пример 3.
Дана система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей А (n=4):
5x1+3x2=8,
3x1+6x2+x3=10,
x2+4x3-2x4 =3,
x3-3x4 =-2
.
Имеем рекуррентные соотношения для (2.68). Определение прогоночных коэффициентов по формулам (2.68) соответствует прямому ходу метода прогонки.
Обратный ход метода начинается с вычисления . Для этого используется последнее уравнение, коэффициенты которого определены в прямом ходе, и последнее уравнение исходной системы определяется известной формулой (2.69).
Результаты занесены в исходную таблицу.
j |
aj |
bj |
cj |
dj |
Aj |
Bj |
xj |
1 |
0 |
-5 |
3 |
8 |
-3/5 |
8/5 |
1 |
2 |
3 |
-6 |
1 |
10 |
-5/21 |
26/21 |
1 |
3 |
1 |
-4 |
-2 |
3 |
42/79 |
37/79 |
1 |
4 |
1 |
3 |
0 |
-2 |
- |
1 |
1 |
Прямой ход Обратный
ход
Решена система методом матричной прогонки на языке Turbo Pascal 6.0. (Приложение 3).
Заключение
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков, так как краевые задачи которые возникают в различных областях математической физики, посвящены теплопроводности, диффузии, движению жидкостей, акустике, электромагнетизму, волновой механике, переносу лучистой энергии, упругим колебаниям решаются аналитически в определенных задачах.
В настоящее время с быстрым развитием вычислительной техники позволяет многие задачи быстро решить численными методами, даже если они решаются аналитическим способом.
В дипломной работе рассмотрены конечно-разностные методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, такие как неявно-явная конечно-разностная схема с весами; схема Кранка-Николсона; метод дробных шагов Н.Н. Яненко; метод переменных направлений с экстраполяцией В.Ф. Формалева; однородные и консервативные конечно-разностные схемы для задач теплопроводности с граничными условиями, содержащими производные.
Дипломная работа состоит из двух параграфов:
первый параграф посвящен ключевым определениям дифференциальных уравнений в частных производных, приведению уравнений второго порядка в частности параболического типа к каноническому виду, а также постановке задач для уравнений параболического типа;
второй параграф состоит из трех подразделов. Первый подраздел содержит основные определения и конечно-разностные схемы для дифференциальных уравнений параболического типа, здесь подробно описываются понятия аппроксимации, порядка аппроксимации, сходимости, порядка сходимости, устойчивости, а также описание различных методов исследования устойчивости. Во втором подразделе проанализированы неявно-явные конечно-разностные схемы, как следствие двухсторонних методов, с исследованием аппроксимации и устойчивости для схем типа Кранка-Николсона. При численном решении многомерных задач математической физики исключительно важным является вопрос об экономичности используемых методов. Из экономичных конечно-разностных схем, получивших большое распространение, в дипломной работе рассмотрена схема метода дробных шагов Н.Н. Яненко. Данная схема при определенных условия может приводить к неустойчивости решения, от этого недостатка свободен следующий экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией В.Ф. Формалева. Среди неэкономичных, полностью неявных, а потому абсолютно устойчивых методов является метод матричной прогонки.
Для решения типовых примеров численными методами были написаны программы на языке программирования Turbo Pascal 6.0 и в математической системе MathCAD 7.0 Professional Edition (PRO).
Список используемой литературы
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 636 с.;
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Наука, 1960, - 524 с.;
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, - М.: Высшая школа, 1997. – 486 с.;
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 400 с.;
Кабдыкайыр К. Курс высшей математики. – Алматы, Казахский университет, 2005. – 134 с.;
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах, - М.: Высшая школа, 2006. – 480 с.;
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики, Физматлит, Москва, 1962. – 710 с.;
Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.;
Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач, перевод с англ., - М.: Иностранная литература, 1960. – 262 с.;
Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Наука, 1983.- 754 с.;
Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.:Наука, 1983 – 726 с.;
Серавайкин С.Я., Секвенциальные модели математической физики, Алматы, 2004. – 192 с.;
Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, Физматлит, Москва, 1966. – 735 с.;
Формалев В.И., Ревизников Д.Л. Численные методы, - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
Приложение
, где n=0, i=0..10
{Вычисления на нулевом слое}
{Вычисления на последующих слоях}
Размещено на Allbest.ru