4. Результаты решения дифференциального уравнения

Результаты вычислений при решении ДУ различными методами занесены в таблицу 2.

Таблица 2. Итоговая таблица результатов решения ДУ

	x0
yточн (xk)	1	0,907 57901	0,836 26856	0,794 23557	0,788 72344	0,826 15650	0,912 23263	1,052 00538	1,249 95685	1,510 06231	1,835 84751
yграф (xk)	1	0,800 00000	0,700 0000	0,600 0000	0,600 0000	0,600 0000	0,800 0000	1,000 0000	1,300 0000	1,600 0000	1,800 0000
ε1	0	0,107 57901	0,136 26856	0,194 23557	0,188 72344	0,226 15650	0,112 23263	0,052 00538	0,050 04315	0,089 93769	0,035 84751
yЭ (xk)	1	0,900 00000	0,817 60000	0,761 88800	0,740 86144	0,761 55807	0,830 17110	0,952 15057	1,132 29250	1,374 81740	1,683 43931
ε2	0	0,007 57901	0,018 66856	0,032 34757	0,047 86200	0,064 59843	0,082 06153	0,099 85481	0,117 66435	0,135 24491	0,152 40820
yПП (xk)	1	0,907 51601	0,835 26434	0,789 17459	0,772 81092	0,787 53333	0,832 65894	0,905 62327	1,002 14153	1,116 36986	1,241 06667
ε3	0	0,000 06300	0,001 00422	0,005 06097	0,015 91251	0,038 62317	0,079 57368	0,146 38210	0,247 81532	0,393 69245	0,594 78084
yР-К (xk)	1	0,907 57905	0,836 26863	0,794 23578	0,788 72369	0,826 15670	0,912 23297	1,052 00576	1,249 95727	1,510 06277	1,835 84790
ε4	0	0,000 00003	0,000 00007	0,000 00011	0,000 00015	0,000 00020	0,000 00024	0,000 00028	0,000 00032	0,000 00036	0,000 00040

5. Вывод

В лабораторной работе рассматривались простейшие методы изучения решений ДУ первого порядка. Для рассматриваемого ДУ можно заключить, что:

1) наилучшее приближение точного решения на дает основной метод Рунге-Кутта. На рисунке 2 графики функций и практически совпадают;

2) рассмотренные приближённые методы носят локальный характер: чем меньше интервал изменения x, тем «ближе» приближённые решения к точному;

3) каждый из рассмотренных приближённых методов может дать более точный результат, если учесть большее число изоклин в приближённо-графическом методе, увеличить число последовательных приближений в методе последовательных приближений, уменьшить длину шага дискретности в методе Эйлера или Рунге-Кутта. Это, конечно, приведёт к трудоёмкости счёта;

4) для вычислений вручную самым удобным оказался метод последовательных приближений. Однако, данный метод привел на конце отрезке интегрирования к самой большой абсолютной погрешности. Метод Эйлера показал «средние» результаты как по скорости получения результата, так и по погрешности. Основной метод Рунге-Кутта по погрешности показал лучшие результаты, но данный метод имеет существенный недостаток: на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции. Данный недостаток частично устраняется при использовании методов прогноза и коррекции (методы Милна, Адамса, Хемминга и т.д.), для обеспечения сходимости которых при четвертом порядке точности достаточно двух значений функции.