3.2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Отрезок
разбиваем наn=10
равных частей. Тогда шаг дискретности
.
В соответствии с расчётной формулой
вычисляем ординаты точек ломаной Эйлера.
Результаты вычислений занесены в таблицу 2; ломаная Эйлера представлена на рисунке 2 (см. приложение 1).
3.3. Решение дифференциального уравнения методом
последовательных приближений
Для решения задачи Коши методом последовательных приближений ограничимся n=3.
В соответствии с
рекуррентной формулой
найдём третье последовательное
приближение к точному решению задачи
Коши для данного уравнения.
Итак 
— решение исходного ДУ в третьем
приближении.
Вычислим ординаты
точек на отрезке
с шагом разбиения
.
Результаты
вычислений занесены в таблицу 2;
интегральная кривая на отрезке
,
соответствующая начальным условиям,
изображена на рисунке 2 (см. приложение
1).
3.4. Решение дифференциального уравнения основным методом
Рунге-Кутта
Решаем задачу Коши
основным методом Рунге-Кутта с точностью
.
Исходя из неравенстваh4<0,001,
выбираем шаг h=0,1.
Тогда n=20.
Все вычисления сведены в таблице 1.
Таблица 1. Таблица для метода Рунге-Кутта
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
-0,50000000 |
-0,48325000 |
-0,48375250 |
-0,46397485 |
-0,48299664 |
0,95170034 |
|
1 |
0,1 |
0,9517003 |
-0,46402020 |
-0,44134960 |
-0,44202971 |
-0,41649842 |
-0,44121287 |
0,90757905 |
|
2 |
0,2 |
0,9075790 |
-0,41654743 |
-0,38830101 |
-0,38914840 |
-0,35819853 |
-0,38827413 |
0,86875164 |
|
3 |
0,3 |
0,8687516 |
-0,35825098 |
-0,32475345 |
-0,32575838 |
-0,28970548 |
-0,32483002 |
0,83626863 |
|
4 |
0,4 |
0,8362686 |
-0,28976118 |
-0,25131834 |
-0,25247163 |
-0,21161288 |
-0,25149234 |
0,81111940 |
|
5 |
0,5 |
0,8111194 |
-0,21167164 |
-0,16857149 |
-0,16986450 |
-0,12447977 |
-0,16883723 |
0,79423568 |
|
6 |
0,6 |
0,7942357 |
-0,12454141 |
-0,07705516 |
-0,07847975 |
-0,02883262 |
-0,07740731 |
0,78649495 |
|
7 |
0,7 |
0,7864949 |
-0,02889697 |
0,02271994 |
0,02117143 |
0,07483275 |
0,02228642 |
0,78872359 |
|
8 |
0,8 |
0,7887236 |
0,07476585 |
0,13027287 |
0,12860766 |
0,18604939 |
0,12976272 |
0,80169986 |
|
9 |
0,9 |
0,8016999 |
0,18598008 |
0,24515068 |
0,24337556 |
0,30437755 |
0,24456835 |
0,82615670 |
|
10 |
1 |
0,8261567 |
0,30430598 |
0,36692680 |
0,36504818 |
0,42940309 |
0,36627651 |
0,86278435 |
|
11 |
1,1 |
0,8627843 |
0,42932939 |
0,49519951 |
0,49322341 |
0,56073599 |
0,49448520 |
0,91223287 |
|
12 |
1,2 |
0,9122329 |
0,56066028 |
0,62959047 |
0,62752257 |
0,69800893 |
0,62881588 |
0,97511445 |
|
13 |
1,3 |
0,9751145 |
0,69793133 |
0,76974339 |
0,76758903 |
0,84087599 |
0,76891202 |
1,05200566 |
|
14 |
1,4 |
1,0520057 |
0,84079661 |
0,91532271 |
0,91308692 |
0,98901139 |
0,91443788 |
1,14344944 |
|
15 |
1,5 |
1,1434494 |
0,98893033 |
1,06601242 |
1,06369996 |
1,14210834 |
1,06507724 |
1,24995717 |
|
16 |
1,6 |
1,2499572 |
1,14202570 |
1,22151493 |
1,21913025 |
1,29987788 |
1,22053232 |
1,37201040 |
|
17 |
1,7 |
1,3720104 |
1,29979376 |
1,38154995 |
1,37909726 |
1,46204792 |
1,38052268 |
1,51006267 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
1,8 |
1,5100627 |
1,46196240 |
1,54585353 |
1,54333679 |
1,62836219 |
1,54478420 |
1,66454109 |
|
19 |
1,9 |
1,6645411 |
1,62827535 |
1,71417709 |
1,71160003 |
1,79857934 |
1,71306815 |
1,83584790 |
|
20 |
2 |
1,8358479 |
1,79849126 |
1,88628652 |
1,88365266 |
1,97247210 |
1,88514029 |
2,02436193 |
Результаты
вычислений занесены в таблицу 2;
интегральная кривая на отрезке
,
соответствующая начальным условиям,
изображена на рисунке 2 (см. приложение
1).