- •Представление в виде степенного ряда
- •Формула Пуассона
- •Представление Пуассона для гармонических функций Представление Пуассона для гармонических функций, принадлежащих некоторым классам
- •1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
- •2° Первоначальное изучение граничного поведения
- •Формула Коши
- •Формула Коши-Грина
- •Лекция № 4,5,7 -весовое пространство аналитических в круге функций
- •2. Интегральное представление классов
- •3. Интегральное представление гармонических функций
- •4. Ограниченные проекторы в пространствах ипри
- •5. Оценки гармонически сопряжённых функций в -пространствах при
- •Формула для гармонически спряженной функции
- •Интегральное представление классов
- •Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
- •2 Граничные значения почти всюду равны по модулю единице
- •2 Семестр
- •Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой
- •1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1
- •3 Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой.
Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой Г
По теореме Каратеодори Ф обладает непрерывным взаимно-однозначным продолжением вплоть до {|r|= 1} и отображает эту окружность на Г. Поэтому ясно, что если [eiθ0, eiθ1,,…, eiθp] — разбиение окружности {| r | = 1}, то [Ф(eiθ0), Ф(eiθ1,),…, Ф(eiθp)] — разбиение кривой Г.
1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1
Теорема .
Доказательство
Пусть ε= e2πi/n. Тогда функция
является субгармонической в {|r|<1}; она непрерывна для |z|<1 в силу непрерывности Ф(z). Поэтому, по принципу максимума, при |z|<1
Нo если |ζ|= 1 то точки
[Ф(ζ), Ф(εп ζ ),…, Ф(εпζ)]
образуют разбиение кривой Г; следовательно, по определению длины кривой
S(ζ)≤длина Г. Теперь зафиксируем r<1. Мы имеем
Итак, если |z|<1, то S(z)<длина Г. Теперь зафиксируем r< 1. Мы имеем
длины Г< ∞.
Устремляя n к бесконечности и используя непрерывность функции Ф'(rе'е) по θ для r< 1, получаем в пределе
длины Г
поскольку это выполняется для всех r<.1, то
Образы множеств меры нуль на единичной окружности
Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает
Теорема (Ф. и М.. Риссы). Если. j — дуга единичной окружности и = Ф(j),то
Доказательство.
По теореме предыдущего подпункта , поэтому
при r→1
Пусть Т(θ) — непрерывно дифференцируемая 2π-периидичеекая функция. Интегрируя по частям, находим
Но при любом r< 1
Правая часть этого равенства по замечанию, желанному вначале, стремится к Итак,
б о
какова бы ни была 2π-периодическая непрерывно дифференцируемая функция Т. Пусть теперь , а— равномерно ограниченная последовательность таких функций, сходящаяся к единице в (0,θ0) и к нулю в [0, 2π] \(0,θ0). Подставляя Тп вместо Т в последнее равенство и переходя к пределу, по теореме Лебега получаем
Следовательно,
Теорема доказана,
Длина дуги кривой Г может быть очевидным образом использована для определения линейной меры на Г. Сначала пусть Ơ — (относительно) открытое подмножество Г тогда Ơ есть счётное объединение попарно Heпepeceкающихся открытых дуг Ʌk, и мы положим |Ơ|=длина Ʌk. Для произвольного подмножества определим|E| как inf {|Ơ|: Ơ , Ơ открыто в Г}. Так как Ф — гомеоморфное отображение окружности {|z|= 1} на Г, то легко показать, основываясь на вышеприведенной теореме, что
борелевсках множеств Е на единичной окружности. Имеет место следующий важный результат:
Теорема (Ф. и М. Риссы). Если Е - подмножество единичной окружности и {|z|= 1}, то |Ф(Е)| = 0.
Доказательство.
Пусть — открытые множества на {|z|= 1}, такие чтоТогда |Ф(Е)|≤|Ф(Ωп) | для всех n. Но из предыдущей теоремы н следующего за ней обсуждения вытекает, что
этот интеграл стремится к нулю при так каки.