- •Представление в виде степенного ряда
- •Формула Пуассона
- •Представление Пуассона для гармонических функций Представление Пуассона для гармонических функций, принадлежащих некоторым классам
- •1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
- •2° Первоначальное изучение граничного поведения
- •Формула Коши
- •Формула Коши-Грина
- •Лекция № 4,5,7 -весовое пространство аналитических в круге функций
- •2. Интегральное представление классов
- •3. Интегральное представление гармонических функций
- •4. Ограниченные проекторы в пространствах ипри
- •5. Оценки гармонически сопряжённых функций в -пространствах при
- •Формула для гармонически спряженной функции
- •Интегральное представление классов
- •Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
- •2 Граничные значения почти всюду равны по модулю единице
- •2 Семестр
- •Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой
- •1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1
- •3 Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений.
Ядро Пуассона
обладает следующими свойствами:
а) Рr(φ)>0, r< 1;
b) Рr(φ+2π)= Рr(φ)
с) для любого r<1.
Свойства а) и b) очевидны, а с) следует из разложения в ряд для Pr(φ).
Если то удобно считать, что функция F периодически продолжена на всё множество R: F(t+2π)=F(t). Отныне будем это предполагать.
Теорема. Если p≥l, , a , то функция U(z) — гармоническая в круге {|z|<1}
Доказательство.
Пусть . Тогда для 0 ≤r < 1 имеем
Непосредственно проверяется, что функция U(z) гармонична в {|r|< 1}, так как ряд сходится равномерно во внутренности круга. (Если функция F—вещественная, то ряд, очевидно, является вещественной частью аналитической функции, которая легко выписывается.)
Для данного r < 1 в силу свойства b) и 2π-периодичности функции F мы можем, кроме того, записать
.
Возьмём теперь ,||G||q=1, так что (для любого фиксированного r; функция G, конечно, будет зависеть от r)
.
По теореме Фубини интеграл справа равен
что по модулю не превосходит
(в силу выбора G и свойства с)).
Наконец,
что и требовалось доказать
Теорема. Пусть μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда функция
гармонична в {|r|< 1} и
.
Доказательство.
Гармоничность устанавливается так же, как и выше. Пусть дано r, и пусть функция , = 1, такова, что
-п
Интеграл в правой части по теореме Фубини равен
и в силу а)—с) по модулю не превосходит
Вот и всё.
2° Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством:
d) Для любого σ > О, Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│≤π при r→1.
Это сразу следует из формулы для Рr(θ).
Теорема. Пусть функция F непрерывна на R и F(t+2π)=F(θ). Пусть
Тогда U(z)→F(φ), когда , и сходимость равномерна по φ.
Доказательство.
Этот результат восходит к самому Пуассону, который полагал, что отсюда вытекает сходимость ряда Фурье функции к ней самой (на самом деле из теоремы это не следует!). Запишем
Для заданного произвольного числа <р мы имеем по свойству с)
Следовательно,
Пусть таково, что |F(s)— F(φ)|< ε при |s — φ|<2ϭ;
число ϭ здесь зависит только от ε, а не от φ, из-за (равномерной!) непрерывности функции F.
Запишем интеграл в правой части в виде суммы двух:
Если |θ-φ|< ϭ то первый интеграл справа не превосходит
Tb М — верхняя грань величины |F(t)|. Тогда второй интеграл не превосходит
,
что меньше ε, если r достаточно близко к 1, в силу свойства d).
Таким образом, ,если |θ-φ|< ϭ, а r достаточно близко к 1.
Q. E. D.
Замечание. Свойства a), b), с) и d) вместе взятые показывают, что представляет собою так называемую аппроксимативную единицу. Доказанная теорема имеет место в силу этих свойств: не только для ядра Пуассона, но и для других ядер, являющихся аппроксимативными единицами, справедливы аналогичные результаты.
Теорема. Пусть пусть функция F[t) непрерывна в точке θ0. Тогда стремится к F(θ0) при стремлении reiθ к eiθ
Доказательство такое же, как у предыдущей теоремы.
Теорема. Пусть , 1≤ р < ∞ , и пусть
.
Тогда , т.е. стремится кF(G) в А"-норме при r→ 1.
Доказательство.
Положим Fr(θ) = U(re1θ). Тогда
Используя свойства а) и с) (мы рассматриваем как предел выпуклых комбинаций функций . считая t параметром, а θ — переменной), имеем по очевидному обобщению неравенства треугольника
.
Полагая
получим
Но при0. Это так, потому что сдвиг непрерывен вLP-норме для 1≤р <∞. Это следует в свою очередь из элементарных фактов теории функций вещественной переменной. Действительно, пусть даны ) и ε > 0. Найдем непрерывную функцию G, периодическую с периодом 2π, такую что ||F — G||p<ɛ. Тогда, очевидно,
для |t|<ϭ при достаточно малых σ в силу равномерной непрерывности; следовательно,
для |t|<σ.
Во всяком случае, функция Ф(t) непрерывна в 0, где она равна нулю.
Поэтому, по предыдущей теореме, приr→∞. Q. E. D.
При р = ∞ все, что мы имеем, — это ω*-сходимость:
Теорема. Если и
,
то приr→1
Доказательство.
Возьмём произвольную функцию Нужно доказать, что
при r→1. Но это так, потому что (используем чётность ) стремится к G(t) при r→1 по предыдущей теореме. Остаётся только применить теорему Фубини.
Аналогично справедлива
Теорема. Пусть где μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда приr→1, т. е. для любой непрерывной функции G(θ), периодической с периодом 2π,
когда r→1
Доказательство.
Применяем теорему Фубини вместе с первым результатом этого подпункта.
Лекция 3
Формула Коши-Грина и ее обобщение в случае единичного круга.