- •Представление в виде степенного ряда
- •Формула Пуассона
- •Представление Пуассона для гармонических функций Представление Пуассона для гармонических функций, принадлежащих некоторым классам
- •1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
- •2° Первоначальное изучение граничного поведения
- •Формула Коши
- •Формула Коши-Грина
- •Лекция № 4,5,7 -весовое пространство аналитических в круге функций
- •2. Интегральное представление классов
- •3. Интегральное представление гармонических функций
- •4. Ограниченные проекторы в пространствах ипри
- •5. Оценки гармонически сопряжённых функций в -пространствах при
- •Формула для гармонически спряженной функции
- •Интегральное представление классов
- •Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
- •2 Граничные значения почти всюду равны по модулю единице
- •2 Семестр
- •Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой
- •1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1
- •3 Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
Формула для гармонически спряженной функции
Предположим, что
,
тогда
где, sign 0=0
В самом деле, функция Û(reiѲ) гармонична в единичном круге, Û(0)=0
Кроме того
аналитическая функция в единичном круге
Теперь, если
где мера на [-π;π], то в вышеприведенном разложении функции U в ряд . Рассматривая разложение в ряд для Û, видим, что
назовем
сопряженным ядром Пуассона. непосредственным суммированием двух геометрических прогрессий найдем, что
Таким образом справедлива теорема
Теорема Если , то гармонически спряженнаяU функция Û задается формулой
Интегральное представление классов
Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.
Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема . Пусть где– класс Соболева в. Если при этом существует такое число, чтоипри, то при всехсправедливо представление
(2.5)
где, как обычно,
Доказательство. Пусть фиксировано, положим
Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции (см. [31]), имеем:
Используя условие теоремы, получаем:
Упростим подынтегральное выражение:
Следовательно, из равенства (2.5) имеем:
Положив , получаем:
□
Из данной теоремы непосредственно следует:
Теорема Пусть . Тогда еслиилито справедливо представление
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремыпри.
□
Из интегрального представления классов вытекает:
Теорема. Пространство приотносительно нормы
является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.
Доказательство. Пусть . Обозначим черезпространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.
Хорошо известно, что пространство прибанахово, а приквазибанахово. Поэтому достаточно установить, чтоявляется замкнутым подпространством пространствапри всех.
Предположим, что – последовательность из, а функциятакая, чтопри .
Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:
.
Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутрик некоторой функции. Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательностьтакую, чтопочти всюду в. Поэтомупочти всюду в, и следовательно,. □
Лекция 9
Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.
Бесконечное произведение есть выражение вида
(1+а1)(1+а2)(1+а3) .... (1)
содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через
Мы предполагаем, что ни одно из чисел а„ не равно —1. Рассмотрим частичное произведение
Мы говорим, что бесконечное произведение (1) сходится, если рn стремится к некоторому пределу, отличному от нуля, когда п →∞
Мы могли бы, конечно, допустить предел 0, как всякий другой; но мы увидим ниже, что во многих случаях это было бы неудобно.
Если произведение не сходится, то говорят, что оно расходится. Если , то говорят, что оно расходится к нулю.
Мы начнем с рассмотрения двух простых случаев.
Если an,≥0 то произведение П(1+an) и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Так как в этом случае рn есть неубывающая функция от п, то рn стремится либо к конечному пределу, либо к положительной бесконечности. Далее,
Левое неравенство становится очевидным, если раскрыть скобки; правое неравенство следует из того, что при любом положительнома. Вместе эти неравенства показывают, что рn и a1 +…+an ограничены или не ограничены одновременно, и это завершает доказательство.
Если an,≤0 для всех значений п, то мы полагаем an = -bn и рассматриваем произведение
Если для всех значений п и рядсходится, то произведениеП(1 — bп) сходится.
Из сходимости ряда следует существование столь большого N, что bN + bN+1+…<1/2 и, в частности, bn < 1 при n≥N. Очевидно,
(1 - bN) (1 - bN+1)≥1- bN - bN+1,
Таким образом, отношение рп/pN+1 монотонно убывает при п> N и имеет положительную нижнюю грань. Следовательно, оно стремится к положительному пределу. Поскольку , это завершает доказательство.
Если 0≤bn для всех п, но ряд расходится, то произведениеП( 1 — bn) расходится к нулю.
В самом деле, , если 0≤b<1, так что
Правая часть стремится к нулю, что и завершает доказательство.
Таким образом, если если 0≤bn<1, то произведение П( 1 — bn) и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Общий случай. Пусть теперь an — любые вещественные или комплексные числа, отличные от —1.
Определение. Произведение П(1+an) называется абсолютно сходящимся, если произведение П( 1 — |an |) сходится.
Из первого предложения следует, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения П(1+an) служит сходимость ряда
Покажем теперь, что абсолютно сходящееся произведение сходится.
Обозначим через рп то же частичное произведение, что и выше,
и положим Так как
то |рп — p n-1|≤|Рп — Рп-1|- Если произведение П(1 +|an|) сходится, то Р„ стремится к некоторому пределу, так что ряд сходится. Тогда, в силу теоремы сравнения, сходится и ряд стремится к некоторому пределу.
Этот предел не может быть нулем. Действительно, так как ряд сходится и 1+ап→1, то ряд
также сходится. Следовательно (в силу только что доказанного), произведение
стремится к некоторому пределу.
Но это произведение равно 1/рп- Следовательно, предел произведения рп отличен от нуля.
Логарифм бесконечного произведения.
Пусть
верно ли, что
Здесьlog z главное значение логарифма числа z, т. е. значение, мнимая часть которого лежит между —π и π
Ответ будет, очевидно, утвердительным, если все числа ап действительны и положительны, поскольку тогда все логарифмы имеют свое обычное арифметическое значение. Но в общем случае формула требует модификации.
Пусть рп обозначает п-е частичное произведение, и пусть , так чторп и ρn стремятся к пределам и то же относится к аргументу φn, если его значения выбраны надлежащим образом. Пусть
тогда, так как ал →0 при n→∞, то и θn →0 Положим
Очевидно,
где kn — целое число, и 2knπ = θ1 +…+ θ2 – φn. так что
Поскольку правая часть стремится к нулю, при достаточно большом n
и, следовательно, kn+1 = kn (напомним, что все kn — целые числа). Таким образом, kn имеет при достаточно большом п постоянное значение, скажем k, т. е. Следовательно,
Сумма ряда есть, таким образом, некоторое значение, но не обязательно главное значение, логарифма произведения.
Заметим, что в ходе доказательства мы получили для всех достаточно больших значений N равенство
Если мы начнем с ряда логарифмов и положим
то после перехода к экспоненциалам в формуле (1), мы получим равенства
Равномерная сходимость бесконечных произведений.
Бесконечное произведение
где сомножители — функции переменного z, вещественного или комплексного, называется равномерно сходящимся в некоторой области значений z, если частичное произведение
равномерно сходится в этой области к некоторому пределу, нигде не равному нулю.
Вот простейший признак равномерной сходимости произведения.
Произведение
равномерно сходится в каждой области, в которой ряд равномерно сходится к ограниченной функции.
Доказательство состоит в пересмотре аргументов ранее доказанной теоремы с точки зрения равномерности. Пусть М — верхняя грань суммы
в рассматриваемой области. Тогда
Полагая
мы видим, что
Следовательно, ряд равномерно сходится, и доказательство завершается так же, как в прошлый раз
Лекция 10