- •Представление в виде степенного ряда
- •Формула Пуассона
- •Представление Пуассона для гармонических функций Представление Пуассона для гармонических функций, принадлежащих некоторым классам
- •1 Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
- •2° Первоначальное изучение граничного поведения
- •Формула Коши
- •Формула Коши-Грина
- •Лекция № 4,5,7 -весовое пространство аналитических в круге функций
- •2. Интегральное представление классов
- •3. Интегральное представление гармонических функций
- •4. Ограниченные проекторы в пространствах ипри
- •5. Оценки гармонически сопряжённых функций в -пространствах при
- •Формула для гармонически спряженной функции
- •Интегральное представление классов
- •Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
- •2 Граничные значения почти всюду равны по модулю единице
- •2 Семестр
- •Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций. Области, ограниченные спрямляемой жордановои кривой
- •1° Производная конформного отображения принадлежит классу н1
- •3 Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
2. Интегральное представление классов
Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.
Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема 3. Пусть где– класс Соболева в. Если при этом существует такое число, чтоипри, то при всехсправедливо представление
(2.5)
где, как обычно,
Доказательство. Пусть фиксировано, положим
Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции , имеем:
Используя условие теоремы, получаем:
Упростим подынтегральное выражение:
Следовательно, из равенства (5) имеем:
Положив , получаем:
□
Из теоремы 3 непосредственно следует:
Теорема 4. Пусть . Тогда еслиилито справедливо представление
(6)
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы 2.4при.
□
Из интегрального представления классов вытекает:
Теорема 5. Пространство приотносительно нормы
является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.
Доказательство. Пусть . Обозначим черезпространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.
Хорошо известно, что пространство прибанахово, а приквазибанахово. Поэтому достаточно установить, чтоявляется замкнутым подпространством пространствапри всех.
Предположим, что – последовательность из, а функциятакая, чтопри .
Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:
.
Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутрик некоторой функции. Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательностьтакую, чтопочти всюду в. Поэтомупочти всюду в, и следовательно,. □
3. Интегральное представление гармонических функций
Пусть – множество всех гармонических вфункций;, то есть
.
В этом параграфе мы построим аналог представления (2.6) для функций из класса . Сначала заметим, что из (2.6) непосредственно следует представление
.
Действительно, если , то по формуле (2.6)
. (7)
Но нетрудно увидеть, что
. (8)
Поэтому, суммируя равенства (7) и (8), окончательно получим:
.
Следовательно,
. (9)
Формула (9) является аналогом формулы Шварца для классов Харди Из (9) непосредственно вытекает:
. (10)
Суммируя формулы (9) и (10), получим:
(11)
Положим
,;
тогда из (11) имеем:
или
.
Но учитывая, что , окончательно получаем следующее утверждение:
Теорема 6. Пусть . Тогда справедливы следующие представления
а) ,
где .
б)
4. Ограниченные проекторы в пространствах ипри
Рассмотрим интегральный оператор в с ядром
:
.
Очевидно, что – аналитическая функция вдля произвольной функции, при условии, что, где
В этом параграфе мы дадим полную характеризацию тех , для которых справедливо представление (2.7) при некотором. С этой целью сначала докажем следующее элементарное утверждение.
Пусть, как и прежде, , где, при этом, также.
Лемма 1. Пусть , при этом, тогда справедливы оценки:
а) при всех.
б) .
Напомним, что .
Доказательство. Положим
,
где . Учитывая тождество
и равенство
легко установить оценку
при .
Поэтому
.
Положим
.
Очевидно,
.
Нетрудно заметить, что
.
Интегрируя по частям в последнем интеграле, получаем:
.
Отсюда, учитывая что , выводим:
или
,
то есть
. (2.12)
Перейдём к оценке . Проводя аналогичные рассуждения, получаем:
Интегрируя в последнем интеграле по частям, приходим к равенству
,
то есть
.
Отсюда, учитывая, что , окончательно получаем:
(13)
Объединяя оценки (12) и (13), приходим к первому утверждению леммы. Теперь докажем неравенство б). В силу леммы 1 имеем:
.
Повторяя рассуждения части а) доказательства, приходим к оценке
. □
Следующее утверждение известно как тест Шура
Теорема 7. Пусть –-измеримое множество с неотрицательной меройна,– неотрицательная функция на, операторопределён на множестве-измеримых функцийследующим образом
,
причём функция такая, что интеграл сходится кпочти всюду.
Тогда если и существуют строго положительная-измеримая функциянаи числотакие, что
(14)
и
, (15)
где , то операторявляется ограниченным оператором на, причём
Доказательство. Фиксируем функцию . Используя неравенство Гёльдера, имеем:
.
С помощью неравенства (14) получаем
.
Откуда
.
Теперь, применяя теорему Фубини и меняя порядок интегрирования, получаем:
.
Далее, учитывая неравенство (15), окончательно выводим:
то есть . □
Теорема 8. Пусть , тогда оператор
(16)
отображает пространство на пространство.
Доказательство. Утверждение о том, что каждая функция из класса допускает представление (16), непосредственно следует из теоремы 4.
Остаётся установить, что при каждой функцияпринадлежит классу. Докажем указанное утверждение сначала при. Из равенства (16) имеем:
Изменив порядок интегрирования, получили:
Теперь, учитывая лемму 1, имеем:
.
Теорема доказана при .
Теперь предположим . В этом случае применим теорему 7 и лемму 1. Докажем, что если
,
, то все условия теоремы выполнены.
Действительно, условия (14), (15) непосредственно следуют из неравенств а), б) леммы 1. Следовательно, все условия теоремы 7 выполнены. □
Точно таким же образом устанавливается
Теорема 9. Пусть и, тогда оператор
отображает пространство на пространство.
Следующая теорема играет существенную роль при описании линейных непрерывных функционалы на пространствах .
Теорема 10. Пусть ,,. Тогда оператор
, ,
отображает пространство в пространствогде,.
Доказательство. Как и прежде, положим ,,. Тогда, применяя неравенство Гёльдера, получим:
. (2.17)
По лемме 2.1 отсюда имеем:
, .
Умножая последнее неравенство на , интегрируя пои учитывая последнюю оценку, выводим:
.
Преобразуя подынтегральное выражение первого интеграла, получим:
, .
Поэтому из оценки (2.17) имеем:
.
Снова используя лемму 2.1, окончательно получаем:
. □