1.4. Общая теория дифракции на кристаллической решетке

Обратная решетка Для идеального кристалла, являющегося повторением некоторой структур-

ной единицы (кристаллической ячейки), можно ввести понятие обратной решетки в обратном пространстве.

Введем вектора новой решетки:

a* = 1/Vc[b´c], где Vc= a*b*c – объем ячейки,

тогда

a*a = 1, a*b = 0, a*c = 0, VcV*=1 - для любых решеток.

Если кристаллическая решетка периодична, то обратная решетка также периодична и бесконечна.

Основное свойство обратной решетки

Любой вектор R*hkl = ha* + kb* +lc*

перпендикулярен к плоскости кристаллической решетки с инденсами(hkl), а длина его равна обратной величине dhkl :

R*hkl = 1/ dhkl

Для прямоугольной решетки (углы = 90о) из уравнений аналитической геометрии имеем

и другие (см. выше).

Общая теория возникновения дифракционного максимума

Рассмотрим рисунок 12, на котором изображены два произвольно расположенных в пространстве атома О и .МАтом О поместим в начало координат. Обозначим:

S0 и S - длины векторов исходной и дифрагированной волны, p и p0 – отраженный и падающий фронты;

О - атом с координатами (000);

М – произвольный другой атом с координатами (uvw).

21

Рис.12. Изображение двух произвольно расположенных в пространстве атомов О и М

Добавочный путь прошедших волн от атома О и М равенD = mM + Mn или в векторном выражении:

mM = (S0 OM)

Mn = -(S OM), тогда D = - OM(S - S0).

Запишем вектор OM = ua+vb+wc - через вектора прямой решетки, а вектор (S - S0)/l = ha*+kb*+lc* - через вектора обратной решетки. Тогда

Т.е. в том случае, когда атом М наряду с атомом О расположен в узле кристаллической решетки (а значит uvw – целые числа), необходимое и достаточное условие того, чтобы разность фаз j была кратной 2p - индексы (hkl) должны быть целыми.

Другими словами дифрагированный луч возникает тогда и только ,тогда когда вектор рассеяния (S - S0)/l равен вектору обратной решетки.

22

Построение Эвальда. (Сфера Эвальда). Геометрическая интерпретация дифракции.

Нарисуем в обратном пространстве сферу радиусом 1/l, рисунок 13.

Рис.13. Сфера Эвальда и обратная решетка кристалла.

О – точка, начало обратной решетки, вокруг которой может поворачиваться обратная решетка, а значит, и кристалл.

Дифрагированные лучи возникают лишь тогда, когда точка Р, находящаяся на сфере, совпадет с узлом обратной решетки. В этом и только в этом случае вектор рассеяния ОР будет совпадать с вектором обратной решетки. В случайном положении на сфере отражения может не оказаться ни одного узла обратной решетки, а значит, отраженного от кристалла луча не будет.

23

1.5. Множители интенсивности

Все, что было рассмотрено до сих порэто вопросы дифракции, однако интерференция лучей учитывалась чисто качественно.

Перейдем к учету и рассмотрению интенсивностей дифрагированных лучей. При выводе условий усиления лучей, идущих от системы параллельных плоскостей (условие Вульфа-Брэгга), предполагалось, что:

-падающие лучи параллельны и монохроматичны;

-решетка примитивная;

-электроны, рассеивающие рентгеновское излучение - в точке;

-атомы кристалла неподвижны (нет теплового движения);

-поглощение в кристалле отсутствует;

-размеры кристалла малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения;

-вторичные волны не взаимодействуют с первичными.

Однако ни одно из этих условий на самом деле не отражает реальной картины взаимодействия рентгеновского излучения с кристаллом.

Рассмотрим решетку с одним атомом в ячейке с рассеивающей способностью (атомным фактором рассеяния) f.

S0 падающий пучок; S рассеянный; l - длина волны.

Определим интенсивность для малого кристалла, полагая, что поглощения нет, т.е. на все атомы падает одинаковый поток излучения.

Кристалл ограничен: Naa, Nbb, Ncc

N - большие числа » 104. Na,b,c - количество атомов по граням.

Ранее показано, что разность фаз между волнами, рассеиваемыми атомами в уз-

лах (000) и (uvw), равна

j = - 2p(uh+vk+wl)

где hkl - координата вектора рассеяния, hkl - любые.

A = SSSf ае exp(ij uvw)

(суммирование идет по трем координатам).

Нас интересует интенсивность этой волны, т.е. I=½А½2

24

I = Ief2 ½SSSexp(-2pi(hu+kv+lw))½2 ,

где Ie интенсивность волны, рассеянной одним электроном, т.е. аe2

Или иначе: I = Ief2 ½Ghkl½2 (24)

где Ghkl – так называемая интерференционная функция.

Вид Ghkl вблизи узла, например (000), показан на рисунке 14.

Рис.14. Интерференционная функция.

Структурный фактор для кристалла с базисом

Пусть в элементарную ячейку входитn атомов А, А ,...А . Положение

1 2 n

атома Аi определяется элементарными векторами а, b, c: xia + yib +zic ,

где 0<{x,y,z}<1, т.к. атомы расположены в пределах элементарной ячейки.

Обозначим f1...fn - факторы рассеяния разных атомов в ячейке. Амплитуда волны, рассеиваемой i-атомом,

Ai = fi ae ,

где ае – амплитуда, рассеяния свободным электроном. Волна, рассеиваемая от кристалла, есть

где N - число элементарных ячеек в кристалле.

Разность фаз волн для атома, находящегося в начале координат и дляi-го

атома:

25