ДГМ-1раздел(ТВ, статистика)
.pdf
$ – вероятность появления 1 неисправности на изделие или неисправного изделия в выборке;
!
– вероятность появления 2 неисправностей на изделие или неисправных
изделий в выборке;
( )!
– вероятность появления b неисправностей на изделие или неисправных
изделий в выборке.
Распределение Пуассона удобно применять, например, при контроле качества изделий. Оно определяет основу для составления плана выборочной приемки изделий в отделах технического контроля предприятий, выпускающих серийную или массовую продукцию. Для иллюстрации применения распределения Пуассона по уравнению (1.31) для контроля качества изделий путем оценки вероятности появления неисправных изделий при выборке их из большой партии приводится числовой пример.
Пример 1.7. Из большой партии трехфазных асинхронных двигателей малой мощности типа АОЛ-12-4, содержащей p% =2% неисправных машин, берется
для контроля выборка из пяти двигателей (n = 5). Нужно оценить вероятность появления в выборках60, 1, 2, 3, 4 или 5 неисправных машин
6 = 100% = 0,02; = 6' = 5 · 0,02 = 0,10.
Решение:
Вероятность появления 0 неисправных$ $ машин в выборке
= , = 0,9074
Вероятность появления 1 неисправной$ $ машины в выборке
= 0,10 , = 0,0907
Вероятность появления 2 неисправных машин в выборке |
|||||
|
$ |
= |
0,10 $ |
, |
= 0,0045. |
2! |
2 |
|
|||
|
|
|
|||
Вероятность появления 3 неисправных машин в выборке |
|||||
|
$ |
= |
0,1 $ |
, |
= 0,0001. |
3! |
6 |
|
|||
|
|
|
|||
Вероятность появления 4 неисправных машин в выборке |
|||||
|
$$ |
= |
0,1$$ , |
= 0,0000. |
|
4! |
24 |
||||
|
|
||||
Вероятность появления 5 неисправных машин в выборке |
|||||
|
$ |
= |
0,1 $ , |
= 0,0000. |
|
5! |
120 |
||||
|
|
||||
Сумма вероятностей равна 1,00.
41
Как показывает данный пример, в выборке из пяти двигателей вероятность отсутствия в ней неисправных образцов составляет 0,9074, а вероятность появления в этой выборке более двух неисправных двигателей практически равна нулю.
Распределение Пуассона в измененной форме можно использовать также и для анализа надежности технических устройств. Для этой цели нужно в уравнении (1.31) положить величину n = 0 и заменить среднее значение числа неисправных изделий а произведением интенсивности отказов устройства λ в единицу времени на время его работы t, т.е. принять a = λ· t. Тогда указанное
уравнение сократится до первого члена, |
который представляет собой |
= $ , |
(1.32) |
вероятность нулевого отказа, или условие безотказной работы устройства: |
|
= 1 − $ , |
(1.33) |
и вероятность отказа его будет |
|
где λ – средняя постоянная величина интенсивности отказов технического устройства в долях единицы на один час работы; t – время работы устройства в часах.
Следовательно, рассмотренная выше экспоненциальная зависимость во времени надежности технических устройств по уравнениям (1.18) является частным случаем распределения Пуассона.
Вопросы для самоконтроля
1.Привести и пояснить систему уравнений для экспоненциального распределения отказов. Построить необходимые графики.
2.Привести и пояснить систему уравнений для нормального распределения отказов. Построить необходимые графики.
3.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Рэлея отказов технического устройства. Построить необходимые графики.
4.Привести и пояснить систему уравнений для гамма-распределения отказов. Построить необходимые графики.
5.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Вейбулла отказов технического устройства. Построить необходимые графики.
6.Привести и пояснить систему уравнений для биномиального распределения отказов. Построить необходимые графики.
7.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Пуассона отказов технического устройства. Построить необходимые графики.
42
Основная учебная литература:
1.Гмурман, Владимир Ефимович Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Электронный ресурс]: учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – 11-е изд. – Москва: Юрайт, 2013.
– Электронная копия печатного издания. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.
Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2013/FN/fn-2433.pdf
2.Казаков, Сергей Павлович Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебное пособие / С.П. Казаков; Национальный исследовательский Томский политехнический университет (ТПУ), Новокузнецкий филиал (НФ). Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.
Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2011/m310.pdf
3.Теория вероятностей и математическая статистика для технических университетов [Электронный ресурс]: учебное пособие / О.Л. Крицкий [и др.]; Национальный исследовательский Томский политехнический университет (ТПУ). – Томск: Изд-во ТПУ, 2010 Т. 1: Теория вероятностей.
– 2010. – Электронная версия печатной публикации. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.
Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2011/m309.pdf
Дополнительная учебная литература:
1.Н.П. Ермолин. Надёжность электрических машин. Л., «Энергия», 1976. – 248с.
2.Теория надёжности радиоэлектронных систем в примерах и задачах. Учеб. Пособие для студентов радиотехнических специальностей вузов. Под ред. Г.В. Дружинина. М., «Энергия», 1976. – 448 с.
3.ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения // Надежность в технике: Сборник. – Изд. официальное. – М.: Изд-во стандартов, 2002. – 271 с.: ил. – (Государственные стандарты). – Сб. содержит стандарты, утвержденные до 1 июня 2002 г.
43
Приложение 1 – Таблица значений интеграла вероятности
44
|
Приложение 2 – Таблица значений γ-функции |
|
||||||
|
|
|
Г = $ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Г(x) |
x |
Г(x) |
x |
|
Г(x) |
x |
Г(x) |
0,32 |
2,796 |
0,95 |
1,031 |
2,42 |
|
1,259 |
3,02 |
2,037 |
0,34 |
2,624 |
1 |
1 |
2,44 |
|
1,276 |
3,04 |
2,076 |
0,36 |
2,473 |
1,05 |
0,974 |
2,46 |
|
1,293 |
3,06 |
2,115 |
0,38 |
2,338 |
1,1 |
0,951 |
2,48 |
|
1,311 |
3,08 |
2,156 |
0,4 |
2,218 |
1,15 |
0,933 |
2,5 |
|
1,329 |
3,1 |
2,198 |
0,42 |
2,11 |
1,2 |
0,918 |
2,52 |
|
1,348 |
3,12 |
2,24 |
0,44 |
2,013 |
1,25 |
0,906 |
2,54 |
|
1,368 |
3,14 |
2,284 |
0,46 |
1,925 |
1,3 |
0,897 |
2,56 |
|
1,388 |
3,16 |
2,33 |
0,48 |
1,845 |
1,35 |
0,891 |
2,58 |
|
1,408 |
3,18 |
2,376 |
0,5 |
1,772 |
1,4 |
0,887 |
2,6 |
|
1,43 |
3,2 |
2,424 |
0,52 |
1,706 |
1,45 |
0,886 |
2,62 |
|
1,451 |
3,22 |
2,473 |
0,54 |
1,645 |
1,5 |
0,886 |
2,64 |
|
1,474 |
3,24 |
2,524 |
0,56 |
1,589 |
1,55 |
0,889 |
2,66 |
|
1,497 |
3,26 |
2,575 |
0,58 |
1,537 |
1,6 |
0,894 |
2,68 |
|
1,52 |
3,28 |
2,629 |
0,6 |
1,489 |
1,65 |
0,9 |
2,7 |
|
1,545 |
3,3 |
2,683 |
0,62 |
1,445 |
1,7 |
0,909 |
2,72 |
|
1,57 |
3,32 |
2,74 |
0,64 |
1,404 |
1,75 |
0,919 |
2,74 |
|
1,595 |
3,34 |
2,798 |
0,66 |
1,366 |
1,8 |
0,931 |
2,76 |
|
1,622 |
3,36 |
2,857 |
0,68 |
1,331 |
1,85 |
0,946 |
2,78 |
|
1,649 |
3,38 |
2,918 |
0,7 |
1,298 |
1,9 |
0,962 |
2,8 |
|
1,676 |
3,4 |
2,981 |
0,72 |
1,267 |
1,95 |
0,98 |
2,82 |
|
1,705 |
3,42 |
3,046 |
0,74 |
1,239 |
2 |
1 |
2,84 |
|
1,734 |
3,44 |
3,112 |
0,76 |
1,212 |
2,05 |
1,022 |
2,86 |
|
1,765 |
3,46 |
3,181 |
0,78 |
1,187 |
2,1 |
1,046 |
2,88 |
|
1,796 |
3,48 |
3,251 |
0,8 |
1,164 |
2,15 |
1,073 |
2,9 |
|
1,827 |
3,5 |
3,323 |
0,82 |
1,142 |
2,2 |
1,102 |
2,92 |
|
1,86 |
3,52 |
3,398 |
0,84 |
1,122 |
2,25 |
1,133 |
2,94 |
|
1,894 |
3,54 |
3,474 |
0,86 |
1,103 |
2,3 |
1,167 |
2,96 |
|
1,928 |
3,56 |
3,553 |
0,88 |
1,085 |
2,35 |
1,203 |
2,98 |
|
1,964 |
3,58 |
3,634 |
0,9 |
1,069 |
2,4 |
1,242 |
3 |
|
2 |
3,6 |
3,717 |
45