ДГМ-1раздел(ТВ, статистика)

Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева.

Свойство 5. Вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного интервала, равна приращению функции распределения

на этом интервале ≤ < = −

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение событию и поясните три группы, на которые их можно разделить по возможности их появления.

2.Как можно численно охарактеризовать события?

3.Какие события называются совместными, а какие несовместными?

4.Как определяется вероятность какого-либо события при известном количестве благоприятных исходов?

5.Дайте определению пространства элементарных событий. Чем является любое подмножество пространства элементарных событий?

6.Перечислите алгебраические операции, которые могут быть применены к событиям. Поясните их на диаграммах Винна-Эйлера.

7.Перечислите аксиомы теории вероятностей.

8.Перечислите свойства вероятностей.

9.Докажите свойства вероятностей пользуясь аксиомами ТВ.

10.Дайте определение случайной величине.

11.Дайте определение закону распределения случайной величины и перечислите, что необходимо знать для полной характеристики случайной величины.

12.Дайте определение функции распределения.

13.Перечислите свойства функции распределения.

11

Лекция №2 Математические основы теории надёжности

Структура лекции

1.Основные термины и определения

2.Количественные характеристики надёжности

3.Периоды работы технических устройств

Введение

С развитием техники, технологий и организационно-экономических систем значительную актуальность приобрели вопросы оценки и повышения эффективности различных устройств, систем и производств. Научная дисциплина, изучающая методы и приемы, которых следует придерживаться при проектировании, производстве и эксплуатации изделий и систем для обеспечения максимальной их эффективности в процессе использования, а также разрабатывающая методы расчета качества систем по известным показателям качества составляющих их элементов, получила название теории надежности.

Под надежностью понимают свойство объекта, технологии выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные или экономические показатели) в течение заданного периода времени. В техники

– это, например, свойство электрической лампочки не перегорать в течение заданного времени. В технологии – способность предприятия стабильно выпускать продукцию заданного качества, в экономике, например, – обеспечивать прибыльность при реализации продукции без использования дополнительных мер в некотором временном интервале.).

Теория надежности является комплексной прикладной наукой, и ее результаты могут быть использованы математиками, инженерами, экономистами и другими специалистами. Для реализации задач, возникающих в теории надежности, оказываются необходимыми методы экономико-математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, структурный анализ. Основной задачей теории надежности является прогнозирование различных показателей безотказной работы элементов и систем. Порядок ее нарушений следует изучать как дискретный случайный процесс ее функционирования во времени.

12

1. Основные термины и определения

Надежность – свойство технического устройства или изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в установленных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Работоспособность – состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями технической документации.

Неисправность – состояние изделия, при котором оно не соответствует хотя бы одному из требований технической документации.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия.

Наработка – продолжительность работы изделия, измеряемая в часах, километрах, циклах или других единицах.

Безотказность – свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторой наработки без вынужденных перерывов.

Долговечность – свойство изделия сохранять работоспособность до предельного состояния с необходимыми перерывами для технического обслуживания и ремонтов.

Показателями долговечности изделия могут служить, например, «ресурс», «срок службы».

Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в его способности к предупреждению, обнаружению и устранению отказов и неисправностей путем проведения технического обслуживания и ремонтов.

Ресурс – наработка изделия до предельного состояния, оговоренного в технической документации.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации изделия до момента возникновения предельного состояния, оговоренного в технической документации.

Наработка на отказ – среднее значение наработки ремонтируемого изделия между отказами. Может применяться также термин «среднее время безотказной работы».

Средняя наработка до первого отказа – среднее значение наработки изделий из партии до первого отказа. Для неремонтируемых изделий этот термин равнозначен термину «средняя наработка до отказа».

Вероятность безотказной работы – вероятность того, что в заданном интервале времени не возникает отказа изделия.

13

Интенсивность отказов – вероятность отказа неремонтируемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что отказ до этого момента не возник.

Неремонтируемыми или невосстанавливаемыми изделиями

называются такие, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта. К ним относятся все изделия однократного действия, как, например, ракеты, управляемые снаряды и др., а также некоторые изделия многократного действия, используемые обычно в специальных областях техники.

Ремонтируемыми или восстанавливаемыми изделиями называются такие, которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если происходит отказ такого изделия, то функционирование его прекращается только на период устранения отказа или ремонта изделия.

Приведенные выше краткие определения ряда понятий и терминов, используемых в теории надежности, ниже даются в определенной математической трактовке при количественной оценке вопросов надежности какого-либо изделия или технического устройства, механизма, прибора и т.д.

Следует иметь в виду, что истинная надежность любого технического устройства точно не известна, так как неизвестно численное значение его вероятности безотказной работы, удовлетворяющее данным условиям его применения.

Для количественной характеристики качества работы устройства требуется опытное измерение всех его важнейших параметров. Пока эти параметры остаются в допустимых пределах, техническое устройство работает удовлетворительно.

Если же они выходят за пределы допусков, устройство считается неисправным или отказавшим. Следовательно, по теории вероятностей удовлетворительное качество работы какого-либо технического устройства непосредственно связано с понятием отказа. При этом отказы в работе данного устройства могут представлять собой не только механические или электрические повреждения, но также и уход его параметров за допустимые пределы. В связи с этим отказы в работе могут быть внезапными и постепенными. Последние вызываются постепенным изменением параметров отдельных элементов технического устройства по причине старения материалов или износа, что приводит к ухудшению выходных параметров устройства с последующим уходом их за допустимые пределы.

Внезапные отказы технического устройства приводят к полному нарушению его работоспособности. К этим отказам относятся: обрывы и

14

короткие замыкания обмоток электрических машин и трансформаторов, изломы, деформации и заедания механических деталей машин и др.

Возникновения внезапных отказов в устройстве из-за внутренних его повреждений или других причин являются случайными событиями. Отказы как случайные события могут быть независимыми – когда отказ какого- либо элемента в устройстве не сопровождается отказом других элементов, и зависимыми когда они появляются в результате отказа других элементов.

Однако подразделение отказов на внезапные и постепенные имеет условный характер, так как любой отказ является одним из проявлений неисправности технического устройства.

Интенсивность отказов устройства в единицу времени используется ниже как количественная характеристика для математического определения надежности. Эта величина обычно определяется средним числом отказов за один час. Обратная величина интенсивности отказов называется средней наработкой до первого отказа и измеряется в часах. Чем больше последняя величина, тем выше надежность данного технического устройства. Наработка на отказ есть отношение общего времени испытания устройства к общему числу отказов.

2. Количественные характеристики надежности

Для количественной оценки надежности любого технического устройства, в том числе электрической машины, используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако эта оценка должна базироваться на объективных статистических данных о выходе из строя технических устройств в различных условиях эксплуатации, по которым можно было бы построить соответствующие кривые распределения отказов во времени по отдельным типам устройств. Так как возникающие в период нормальной работы технического устройства внезапные отказы носят случайный характер, то и количественные характеристики надежности этого устройства имеют вероятностный характер.

Под надежностью технического устройства понимается способность безотказно работать с неизменными параметрами в течение заданного времени и при определенных условиях применения. Надежность электрической машины как сложного устройства зависит от надежности работы ее составных частей: магнитной системы, обмоток статора и ротора, подшипников, коллектора или контактных колец и щеточного устройства. Выход из строя любой из этих частей приводит к отказу в работе.

15

В связи с этим, применительно к электрическим машинам и другим аналогичным устройствам, для количественной оценки их надежности целесообразно пользоваться следующими основными критериями:

а) вероятностью безотказной работы устройства P(t) в течение заданного промежутка времени;

б) частотой отказов a(t);

в) интенсивностью отказов λ( t) ;

г) средней наработкой до первого отказа Tср; д) наработкой на отказ tср;

Под критерием надежности понимается признак, по которому оценивается надежность какого-либо технического устройства, изделия и т.д. Между перечисленными выше критериями надежности существуют определенные аналитические зависимости, которые приводятся ниже.

Вероятностью безотказной работы технического устройства P(t) называется вероятность того, что оно будет сохранять свои параметры в заданных пределах в течение определенного промежутка времени и данных условиях эксплуатации. Вероятность P(t) является убывающей функцией времени и обладает следующими свойствами (рис. 1 . 1 ) :

16

Частотой отказов a(t) называется число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу образцов изделия, установленных па

испытание:

где ∆n(t) – число отказавших образцов изделия в интервале времени

∆t;

n – число образцов изделия, первоначально установленных на испытание. Частота отказов a(t) выражает собой плотность вероятности

отказов f ( t ) , представляющей производную по времени от вероятности

а вероятность безотказной работы его составит

Частота отказов a(t) или плотность распределения вероятности f(t) характеризуют надежность технического устройства лишь до первого его отказа, или же устройства, которое после отказа не ремонтируется и не эксплуатируется.

Интенсивностью отказов в работе электрической машины или какого- либо другого неремонтируемого устройства λ(t) называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к среднему числу их, исправно работающих в данный отрезок времени

устройства в интервале ∆t; ni – число исправно работающих образцов в начале интервала ∆t; ni+1 – то же в конце интервала ∆t.

Интенсивностью отказов λ(t) называется также отношение плотности вероятности отказов f(t) к надежности P(t), что с учетом уравнения (1.4) дает

(1.8)

17

На основании уравнений (1 . 4 ) , (1.8) и (1.9) частота отказов a(t) или

Как показывает уравнение (1 .8 ), в общем случае интенсивность отказов λ(t) за период работы технического устройства является переменной величиной и, следовательно, надежность его, согласно уравнению (1 .9), в этом случае будет убывать с течением времени не по экспоненциальной кривой. Уравнение (1.8) является наиболее общим выражением для интенсивности отказов λ ( t ) . Оно справедливо для всех возможных распределений отказов как экспоненциальных, так и неэкспоненциальных. В нем интенсивность отказов λ(t) является функцией времени t работы технического устройства, так как надежность последнего P(t) и степень ее

убывания dP(t ) – являются функциями времени. Только в одном случае – при dt

экспоненциальном характере убывания надежности во времени – величина λ(t) в уравнении (1.8) оказывается постоянной величиной. Как показывает опыт, во многих случаях интенсивность отказов λ(t) технических устройств, в том числе и электрических машин, в среднем может быть принята постоянной: λ≈const; тогда надежность такого устройства при этих условиях математически из уравнения (1.9) будет представляться убывающей экспоненциальной функцией времени

где λ – средняя постоянная величина интенсивности внезапных отказов технического устройства в долях единицы на один час работы;

t – произвольное время работы устройства в часах, для которого определяется его надежность.

18

интенсивность отказов λ, как и их частота a(t), позволяют характеризовать надежность технического устройства лишь до первого внезапного отказа.

Среднее время безотказной работы технического устройства, или средняя наработка до первого отказа, называемая в теории вероятностей математическим ожиданием времени безотказной работы, может быть

Следовательно, среднее время безотказной работы устройства или математическое ожидание времени численно характеризуется площадью под кривой надежности P(t) (рис. 1 .1 ).

Для случая интенсивности внезапных отказов λ≈const средняя наработка до первого отказа устройства по уравнению (1 .14), с учетом

уравнения ( 1 . 1 1 ) , получается .

СР (1.15)

Эта величина в общем случае может характеризовать также среднее значение времени tcp между соседними отказами в работе технического устройства. Такое время называют наработкой на отказ. Эта величина определяется из статистических данных об отказах устройства следующим образом:

(1.16)

где r – число отказов устройства за время t;

ti – время его исправной работы между (i – 1 ) - м и i-м отказами.

Как показывает уравнение (1.16), наработка на отказ tcp является средним временем между соседними отказами устройства и при λ=const эта величина равна средней наработке до первого отказа Tср.

Рис. 1.3. Стандартная кривая надежности Следует отметить, что средняя наработка до первого отказа

устройства Tср представляет собой некоторое среднее условное время

20