- •9. Равномерное, равнопеременное и переменное движение по окружности. Аналогия между параметрами и уравнениями поступательного движения и движения по окружности.
- •2. Криволинейное движение
- •42. Политропический процесс. Уравнение политропы и его частные случаи.
- •Показатель политропы
- •Графики
- •11. График потенциала Леннарда-Джонса.
- •31. Лемма о линейной независимости ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
- •64. Вывод табличных производных. Производная постоянной.
- •Производная степенной функции.
- •Производная показательной функции.
- •Производная логарифмической функции.
- •Производные тригонометрических функций.
- •Производные гиперболических функций.
- •Производная обратной функции.
64. Вывод табличных производных. Производная постоянной.
При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.
Производная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел:
Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:
Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По определению производной для функции синуса имеем .
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x.
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.
Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x.
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке существует конечная производная обратной функции g(y), причем . В другой записи .
Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x- аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.
Из таблицы производных видим, что и .
Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:
Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.
Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.
Начнем с производной арксинуса.
Для обратной функцией является . Тогда по формуле производной обратной функции получаем
Осталось провести преобразования.
Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому , а не рассматриваем.
Следовательно, . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).
Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:
Найдем производную арктангенса.
Для обратной функцией является .
Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.
Пусть arctgx = z, тогда
Следовательно,
Схожим образом находится производная арккотангенса: