Показатель политропы

Кривая на термодинамических диаграммах, изображающая политропный процесс, называется «политропа». Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

где р — давление, V — объем газа, n — «показатель политропы».

. Здесь  — теплоёмкость газа в данном процессе, и  — теплоемкости того же газа, соответственно, при постоянном давлении и объеме.

Различные значения показателя политропы
Значение показателя политропы	Уравнение	Описание процесса
	—	Хотя этот случай не имеет практического значения для наиболее распространённых технических приложений, показатель политропы может принимать отрицательные значения в некоторых специальных случаях, рассматриваемых, например, в некоторых состояниях плазмы в астрофизике.[1]
		Это изобарный процесс (протекающий при постоянном давлении)
		Это изотермический процесс (протекающий при постоянной температуре)
	—	Это квазиадиабатические процессы, протекающие, например, в двигателях внутреннего сгорания во время расширения газа
	—	—- это показатель адиабаты, используемый при описании адиабатического процесса (происходит без теплообмена газа с окружающей средой)
	—	Это изохорный процесс (протекающий при постоянном объёме)

Графики

11. График потенциала Леннарда-Джонса.

Потенциал Леннард-Джонса (потенциал 6-12) — простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчётах и при компьютерном моделировании. Впервые этот вид потенциала был предложен Леннард-Джонсом в 1924 году.^[1]

Потенциал Леннард-Джонса записывается в следующем виде:

где — расстояние между центрами частиц, — глубина потенциальной ямы, — расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю. Параметры и являются характеристиками атомов соответствующего вещества. Характерный вид потенциала показан на рисунке, его минимум лежит в точке .

При больших молекулы притягиваются, что соответствует члену в формуле. Эту зависимость можно обосновать теоретически, и обусловлена она силами Ван-дер-Ваальса (диполь-дипольное индуцированное взаимодействие).

На малых же расстояниях молекулы отталкиваются из-за обменного взаимодействия(при перекрытии электронных облаков молекулы начинают сильно отталкиваться), чему соответствует член . Данный конкретный вид потенциала отталкивания, в отличие от вида потенциала притяжения, не имеет под собой теоретического обоснования. Более обоснованной является экспоненциальная зависимость^{[источник не указан 980 дней]}. Однако потенциал отталкивания Леннард-Джонса более удобен в вычислениях, так как , что и оправдывает его применение.

Матан

31. Лемма о линейной независимости ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Ортогонализация Грама-Шмидта

Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейнонезависимой системе строитсяортогональная система такая, что каждыйвектор b_i линейно выражается через , то есть матрица перехода от {a_i} к {b_i} ―верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система {b_i} была ортонормированной ичтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система {b_i} иматрица перехода определяются однозначно.

Этот процесс применим также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы впроизведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольнойматрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.

Алгоритм

Полагают b₁ = a₁, и, если уже построены векторы , то

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор b_i являетсяперпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов до конца вектораa_i.

Нормируя полученные векторы b_i,

c_i = b_i / | b_i |

получают искомую ортонормированную систему {c_i}.