6.3. Дисперсионный анализ результатов моделирования

При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {y⁽¹⁾}, {y⁽²⁾}, …, {y⁽ⁿ⁾} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой моделиМ_М, а следовательно, и системыS. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используетсядисперсионный анализ.

Пример:Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у⁽¹⁾}, {y⁽²⁾}, ..., {y⁽ⁿ⁾} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости γ проверять нулевую гипотезуH₀о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т.е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

Допустим, изучаемый фактор xпривел к выборке значений неслучайной величиныYследующего вида:y₁,y₂, ...,y_k, гдеk– количество уровнейх. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величинойD_x, называемойфакторной дисперсией:

где y – среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D[y]известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнитьD[y]с выборочной дисперсиейS_в², используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значениеF_эпопадает в критическую область, то влияние факторахсчитается значимым, а разброс значенийх– неслучайным. Если генеральная дисперсияD[x] до проведения машинного эксперимента с модельюМ_Мнеизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Пусть серия наблюдений на уровне y_i имеет вид:у_i1,у_i2, …,y_in,, гдеn– число повторных наблюдений наi-муровне. Тогда наi-м уровне среднее значение наблюдений

а среднее значение наблюдений по всем уровням

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений

При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсиюD[у]на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

а оценка факторной дисперсии

.

Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений вnраз меньше, чем для отдельных измерений, найдем точную оценку выборочной дисперсии:

.

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсиюS_в², имеющую (k–1)-ю степень свободы. Влияние факторахбудет значимым, если при заданном γ выполняется неравенствоS_в²/D₀[y]>F_1-γ. В противном случае влиянием факторахна результаты моделирования можно пренебречь и считать нулевую гипотезуН₀о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсии.