2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Математическая модель межотраслевого баланса имеет вид:

(iI) (6)

X_i – объемы производства i-ой продукции;

Y_i – объемы конечного потребления i-ой продукции;

X_ij – межотраслевые потоки, т.е. затраты i вида продукции на производство j продукции.

Валовая продукция отрасли равна сумме затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли..

Основой экономико-математической модели является матрица коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции а_ij. Это количество продукции i–ой отрасли для производства единицы продукции в j–ой отрасли. Эта величина называется коэффициентом прямых материальных затрат, учитывает только непосредственные затраты i–ой продукции, которые прямо относятся на производство единицы j–ой продукции.

где a_ij – коэффициент прямых затрат;

x_ij – объем i–ой продукции, израсходованной непосредственно на производство j–ой продукции;

x_j – объем производства j–ой продукции.

Тогда

Так как количество уравнений, которое будет входить в систему, равное множеству видов продукции I, то в векторной форме систему уравнений можно записать:

Х=АХ+У,

где Х – вектор-столбец валовой продукции;

У – вектор-столбец конечной продукции;

А = (а_ij) – матрица коэффициентов прямых затрат;

, ,,

Система уравнений в матричной форме, или в векторной форме, называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью баланса производства и распределения продукции, моделью Леонтьева).

Данная модель может быть использована для решения 3 групп задач.

1. При известной матрице коэффициентов прямых затрат (А), объемов конечного потребления каждого вида продукции (Y_i), нужно определить объемы производства валовой продукции каждой отрасли (x_i):

Х–АХ=У; Х(1-А)=У; Х = (Е - А)^-1У; (E-A)^-1=B; X=BY;

E – единичная матрица n – порядка;

B – матрица коэффициентов полных затрат.

2. Задав объемы производства валовой продукции и коэффициенты прямых затрат, нужно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

У=Х(1-А); У=(Е-А)Х

3. Задаются нормативы прямых затрат, для ряда отраслей (чаще главных) - объемы конечного потребления, для всех остальных - объемы валовой продукции. Для одних (главных) отраслей определяются объемы производства валовой продукции, а для остальных определяются объемы конечного потребления. В этом случае удобнее пользоваться системой линейных уравнений.

3. Коэффициенты прямых и полных затрат.

Коэффициенты прямых затрат показывают какое количество продукции i–ой отрасли необходимо непосредственно для производства единицы j–ой продукции. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то диагональные элементы матрицы А меньше единицы, т.е. a_ii < 1.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов. В них содержательный смысл имеют лишь неотрицательные значения валовой продукции, т.е. вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов каждого вида продукции и сам является неотрицательным: х  0. Экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям, если матрица коэффициентов прямых материальных затрат будет продуктивной.

Неотрицательная матрица А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор х  0, что Х  АХ

Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции У  0 для модели межотраслевого баланса.

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, достаточным признаком является ограничение на величину наибольшей из сумм элементов матрицы в каждом столбце. Если сумма элементов столбцов строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Матрица может оказаться продуктивной, когда сумма элементов столбцов больше единицы.

Чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем выше продуктивность. Продуктивность матрицы означает, что после обеспечения общеотраслевых затрат остался остаток на конечное потребление.