- •Учебно-методический комплекс дисциплины «введение в распознавание сигналов»
- •230201 «Информационные системы и технологии»
- •230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
- •Рабочая программа
- •230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
- •1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2. Содержание дисциплины
- •Наименование тем, их содержание, объем
- •1. Введение в теорию сигналов. (12 час)
- •2. Метрология сигналов. (14 час.)
- •3. Динамическое представление сигналов. (4 час.)
- •Самостоятельная работа студентов
- •Вопросы к зачету
- •Виды контроля
- •Требования к знаниям студентов, предъявляемые на зачете
- •3. Учебно-методические материалы по дисциплине Перечень обязательной (основной) литературы
- •Перечень дополнительной литературы
- •4. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины
- •Практические работы
- •Тема 1: введение в теорию сигналов
- •1.1. Общие сведения и понятия [1,10, 15, 25]
- •1.2. Типы сигналов [1,10,15]
- •1.3. Системы преобразования сигналов [1,9,14,18]
- •Литература
- •Тема 2: метрология сигналов
- •2.1. Пространство сигналов [1,3,16,29].
- •2.2. Мощность и энергия сигналов [1,3,16].
- •2.3. Пространства функций [1,3,11,16,29].
- •2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
- •2.5. Математическое описание шумов и помех [1, 30].
- •Литература
- •Тема 3: динамическое представление сигналов
- •3.1. Разложение сигналов по единичным импульсам [1,11].
- •3.2. Свертка (конволюция) [1,11].
- •Литература
- •Самостоятельная работа
- •5.1. Задачи дискретизации функций [10, 21].
- •5.2. Равномерная дискретизация [16,21].
- •5.3. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения [10].
- •5.4. Адаптивная дискретизация [10].
- •5.5. Квантование сигналов [5,21].
- •5.6. Децимация и интерполяция данных [4,5,17].
- •Литература
- •Карта обеспеченности дисциплины кадрами профессорско-преподавательского состава
2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов(correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время:
Bs() =s(t) s(t+) dt. (2.4.1)
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига . Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при= 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):
Bs(0) =s(t)2dt = Es.
Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-в выражении (2.4.1):
Bs() =s(t) s(t-) dt =s(t-) s(t) dt = Bs(-).
С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений. Знак +в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значенийот нуля копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-):
Bs() =s(t) s(t-) dt. (2.4.1')
По мере увеличения значения величины сдвига для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:
= 0.
Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.
При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤≤T сигналы перекрываются на интервале от до Т. Скалярное произведение:
Bs() =A2 dt = A2(T-).
При сдвиге копии импульса влево, при -T≤<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-. Скалярное произведение:
Bs() = A2 dt = A2(T+).
При || > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).
Обобщая вычисления, можем записать:
Bs() =.
В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:
Bs() = (1/Т)s(t) s(t-) dt.
При =0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(0t+0) при T=2/0имеем:
Bs() = A cos(0t+0) A cos(0(t-)+0) = (A2/2) cos(0).
Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.
Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:
Bs() =s(t) s(t+) dt. (2.4.2)
В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:
Bs(). (2.4.2')
Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):
rs() = cos () = s(t), s(t+) /||s(t)||2.
Взаимная корреляционная функция(ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время:
B12() =s1(t) s2(t+) dt. (2.4.3)
При замене переменной t = t-в формуле (2.4.3), получаем:
B12() =s1(t-) s2(t) dt = s2(t) s1(t-) dt = B21(-)
Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значенийозначает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+)).
Рис. 2.4.1.
Сигналы и ВКФ.
Рис. 2.4.2.
Сигналы и ВКФ.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.
Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):
rsv() = cos() =s(t), v(t+)/||s(t)|| ||v(t)||. (2.4.4)
Значение коэффициента взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.