Механика деформируемого твердого тела
.pdf
4. Введение в теорию ползучести
Ползучесть
Ползучестью называется процесс необратимого изменения деформации в зависимости от времени при постоянном уровне напряжений в условиях повышенных температур.
Ползучестью обладают многие природные и искусственные материалы, например, бетоны. Именно поэтому несущие строительные конструкции, как правило, являются железобетонными. Чтобы исключить деформации ползучести при строительстве мостов применяются специальные
железобетонные конструкции с предварительно напряженной арматурой.
Явление ползучести металлов используется в различных технологических процессах, например, при штамповке тонкостенных деталей для авиационной техники.
Для теоретического описания ползучести применяются специальные определяющие уравнения, которые можно
отнести к одному из следующих
четырех типов:
|
|
|
9 |
теория наследственности; |
|
|
|
|
9 |
теория старения; |
|
|
|
|
9 |
теория течения; |
|
|
|
Диаграммы ползучести (а) и релаксации (б) |
9 |
теория упрочнения при |
|
|
|
|
ползучести. |
||
|
|
|
|
|
|
Теория наследственности
В теории наследственности строятся математические модели сред с памятью, то есть сред, деформация которых зависит не только от напряженного состояния в текущий момент времени, но и от всей истории нагружения.
К средам такого рода относятся практически все без исключения пластмассы, грунты,
смолы, тяжелые нефти и пр. Однако по своим свойствам эти материалы не однородны. Создание единой модели для описания всего многообразия таких свойств не является целью теории наследственности, поскольку единая модель содержала бы очень большое
количество неизвестных феноменологических параметров и неизвестных функций,
.
Плодотворным оказался подход к построению определяющих уравнений, который основывается на так называемых реологических схемах. Реология – изучение зависимости свойств материалов от времени.
В линейной теории вязкоупругости деформируемой среде в условиях одноосного напряженного состояния приписывается определенная реологическая схема, представляющая собой последовательно-параллельное соединение элементов двух типов
– упругих пружин и вязких демпферов. В нелинейных моделях, описывающих более сложное поведение, присутствует третий элемент – пластический шарнир.Если свойства материала при растяжении и сжатии резко различаются, что характерно, например, для сыпучих сред, грунтов, горных пород, пористых и композитных материалов, то используется еще один реологический элемент – жесткий контакт.
Модель Максвелла
Для среды Максвелла реологическая схема состоит упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно
При таком соединении полная деформация равна сумме деформаций
элементов, а напряжения в них совпадают.
Деформация упругой пружины определяется по закону Гука
εe =σ
E
где E – модуль Юнга,
Скорость деформации вязкого демпфера – по закону Стокса
ε&v =σ
η
где η – коэффициент вязкости. Таким образом,
|
& |
|
σ |
|
1 |
|
−t τ |
d |
(σ e |
t τ |
), |
t |
−(t −ϑ) τ |
|
(4.1) |
ε = |
σ |
+ |
= |
e |
σ(t) = E∫e |
dε(ϑ). |
|||||||||
& |
E |
|
η |
|
E |
|
|
dt |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реологическая схема для среды Максвелла
Здесь τ =η
E – параметр среды, имеющий размерность времени. Ползучесть
описывается линейным уравнением ε =σ0t
η, релаксация напряжения – уравнением σ = Eε0 e−t
τ .
За каждый интервал времени t =τ напряжение при постоянной деформации
падает ровно в e ≈ 2,71 раз. Поэтому параметр называется временем релаксации. Его можно измерять экспериментально, уточняя значения коэффициентов E иη.
Модель Кельвина - Фойхта
В реологической схеме вязкоупругой среды Кельвина–Фойхта пружина и демпфер соединены
параллельно.
Деформации элементов одинаковы, а напряжения суммируются:
|
−t τ |
d |
(ε e |
t τ |
), |
|
1 t |
−(t−ϑ) τ |
|
(4.2) |
|
σ =ηε&+ Eε =ηe |
|
|
|
ε(t) = |
η |
∫e |
|
σ(ϑ)dϑ. |
|
||
|
dt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
В такой среде ползучесть описывается уравнением
ε= (1 − e−t
τ )σ0 
E,
Очевидно, ε →σ0 
E при t → ∞ , то есть в пределе материал ведет себя как упругая среда.
Релаксация напряжения не учитывается, поскольку
при ε = ε0 напряжение постоянно и равно напряжению в упругом элементе Eε0 .
Реологическая схема для среды Кельвина–Фойхта
Ядро ползучести
Больцман предложил общий подход, в котором не нужно строить реологических схем в явной форме. Определяющее уравнение вязкоупругой среды сразу
задается в следующей интегральной форме |
|
t |
(4.3) |
ε(t) = ∫K(t,ϑ)σ(ϑ)dϑ, |
в которой функция K(t,ϑ) , называемая−∞ ядром ползучести, может быть произвольной гладкой или обобщенной функцией, зависящей от двух независимых переменных. С помощью интеграла описывается произвольная линейная зависимость деформации от напряжения с памятью на интервале времени (−∞,t) .
|
Ядра ползучести K(t,ϑ) = K(t −ϑ) называются разностными. |
|
В модели Кельвина–Фойхта ядро ползучести разностное и является гладкой |
|
функцией, так какK(t) = e−t τ η . |
В модели Максвелла ядро тоже разностное, но определяется через
обобщенную –функцию Дирака по формуле K(t) = δ(t)
E +1
η .
Можно показать, что любая вязкоупругая модель, построенная на основе реологической схемы, приводит к уравнению (4.3) вязкоупругой среды с разностным ядром ползучести.
Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции , равной нулю при t < 0 , называется
комплекснозначная функция комплексной переменной p , которая определяется как |
||
интеграл: |
∞ |
|
fˆ ( p) = ∫ f (t) e− ptdt. |
||
|
||
Одно из основных свойств такого преобразования0 состоит в том, что для свертки двух функций f (t) и g(t) :
|
t |
t |
h(t) = ( f g)(t) ≡ ∫ f (t −ϑ)g(ϑ)dϑ =∫ f (ϑ)g(t −ϑ)dϑ |
||
|
0 |
0 |
ˆ |
|
ˆ |
преобразование Лапласа h |
равно произведению преобразований f gˆ . |
|
Полагая, что началом процесса деформирования среды служит начало отсчета t = 0, и что при t < 0 среда находилась в естественном состоянии с ε(t) =σ(t) = 0 , запишем
определяющее уравнение в виде свертки
|
ε = K σ. |
|
εˆ = |
ˆ |
(4.4) |
Отсюда после применения преобразования Лапласа получим уравнение |
σˆ |
||||
|
|
K |
, |
||
|
позволяющее сформулировать принцип соответствия Вольтера: всякой модели |
||||
|
вязкоупругой среды в пространстве образов Лапласа соответствует модель теории |
||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
упругости с комплексным модулем Юнга R =1 |
K. |
|
|
|
В случае одноосного напряженного состояния этот принцип показывает, что зависимость напряжения от деформации, обратная к (4.4) также выражается в виде свертки
σ= R ε,
где функция R(t) , называемая |
ˆядром ползучести, может быть вычислена как обратное |
||||
преобразование Лапласа от 1 K , например, по формуле Меллина: |
|||||
|
|
1 |
a+i∞ |
|
|
|
|
ˆ |
pt |
|
|
|
R(t) = |
2πi |
∫R( p) e |
|
dp |
|
|
a−i∞ |
|
|
|
при достаточно большом значении параметра . |
|
||||
Нелинейные наследственные модели
Реологические схемы нелинейных моделей теории наследственности строятся с помощью трех элементов – упругой пружины, вязкого демпфера и пластического шарнира.
Пластический шарнир моделирует поведение идеально пластической среды, в
которой напряжение не может превосходить некоторого порогового значения – предела текучести σs , служащего одним из феноменологических параметров материала. Если напряжение в шарнире ниже предела текучести, то скорость деформации равна нулю. По мере достижения предела текучести начинается
,
величиной, положительной при растяжении и отрицательной при сжатии: |
|||
ε ≥ 0, |
если |
σ =σs , |
|
& |
если |
σ <σs , |
|
ε = 0, |
|||
& |
|
|
|
s.
Нелинейные модели наследственности описывают пороговый характер деформирования – при относительно невысоких напряжениях материал ведет себя как обычная вязкоупругая среда, а по мере достижения напряжением порогового значения свойства среды резко меняются.
Простейшая модель, описывающая ползуче-пластическую среду, в которой напряжение ограничено представлена на рисунке внизу. При напряжении ниже предельного среда ведет себя как вязкая жидкость, в предельном состоянии она течет подобно идеальной жидкости.
При последовательном соединении реологических элементов скоростиε ≤ σ = −σ
деформации суммируются, поэтому определяющие соотношения ползуче- |
|||
& |
η, |
если |
σ =σs , |
пластической среды принимают вид: ε ≥σs |
|||
ε =σ η, |
если |
σ <σs , |
|
& |
|
|
|
ε& ≤σs |
η, |
если |
σ = −σs . |
Пластический
шарнир
Схема ползучепластической среды
Нелинейные наследственные модели
Схема на рисунке вверху соответствует неньютоновской жидкости Шведова–Бингама. Такая среда не деформируется, если напряжение ниже предельного, и обладает свойствами вязкой
жидкости, если реализуется предельное состояние.
При параллельном соединении суммируются напряжения, поэтому
определяющие соотношения среды Шведова–Бингама |
|||||||||
записываются в виде |
ε = |
σ −σs |
если |
σ ≥σs , |
|||||
|
& |
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
ε |
= 0, |
|
если |
|
σ <σs , |
|||
|
|
|
|
||||||
|
& |
|
σ |
+ |
σs |
, если |
|
|
|
|
ε |
= |
σ ≤ −σs . |
||||||
|
& |
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Схема Шведова– Бингама
На рисунке внизу представлена реологическая схема модели
упруго-вязко-пластической среды, которая широко применяется при описании высокоскоростного деформирования металлических и металлокерамических материалов в задачах пробивания элементов защитных конструкций. Определяющие соотношения модели имеют
вид: |
σ& |
|
σ −σs |
, если |
σ ≥σs , |
||||
ε = |
+ |
||||||||
& |
E |
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
& |
σ& |
, |
|
|
если |
|
|
|
<σs , |
|
|
|
|
|
|||||
ε = |
E |
|
|
|
σ |
|
|||
|
|
σ +σs |
|
|
|
||||
ε = |
σ& |
+ |
если |
σ ≤ −σs. |
|||||
& |
E |
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нелинейные модели материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, в настоящее время еще недостаточно развиты.
Схема упруго- вязко-пластической среды
Теория старения. Метод изохронных кривых
Теория старения дает альтернативный способ описания ползучести материалов. В рамках этой теории деформация считается функцией от напряжения, температуры и времени.
Полагая, что температура является заданной постоянной величиной, запишем
определяющее уравнение в общем виде εc = f (σ,t).
Здесь индекс “c” употребляется для обозначения деформации ползучести. Теория старения описывает деформацию материала, несущая способность которого меняется со временем. Уравнение теории старения не инвариантно относительно сдвига по времени.
Функция f строится на основе серии диаграмм ползучести материала. Для этого служит метод изохронных кривых.
Фиксируя момент времени t1 , можно
определить систему точек пересечения с кривыми ползучести. Каждой из этих точек соответствует точка с
координатами(ε0 ,σ0 ) , (ε1,σ1), … на Метод изохронных кривых
плоскости (ε,σ) .
Геометрическим местом точек является диаграмма одноосного деформирования материала – изохронная кривая в данный момент t1 . Аналогично можно построить серию изохронных кривых для моментов времени t2 , t3 и так далее. На практике оказывается, что изохронные кривые подобны между собой.