Механика деформируемого твердого тела

Условие пластичности

Пластические деформации возникают при достижении некоторой комбинации напряжений определенного предельного значения

f(σij )= 0.

Функция f (σij ) называется условием пластичности. Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести пространство напряжений П тензора σij . Шестимерное пространство П определим как пространство, в котором декартовы координаты точки равны компонентам тензора напряжений σij . Аналогично можно ввести пространство деформаций Э, соответствующее тензору деформации еij , и пространство скоростей деформации Е, соответствующее тензору скоростей деформации εij .

Условию пластичности в пространстве напряжений П соответствует некоторая поверхность ∑, называемая поверхностью пластичности. Область Q, лежащая внутри поверхности ∑ , является областью упругого состояния материала. Напряженные состояния, соответствующие точкам области Q, не достигающим границы ∑ , не вызывают остаточных деформаций.

Основные постулируемые свойства поверхности пластичности состоят в следующем: она замкнута (в некоторых направлениях может простираться до бесконечности), не проходит через начало координат и любой луч, исходящий из начала координат, пересекает ее не более одного раза.

Деформационная теория пластичности

Рассмотрим уравнения пластической деформации как некоторое обобщение закона Гука. Примем следующие исходные положения:

- тело изотропно;

- относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: ε = 3Kσ;

- девиаторы деформации и напряжения пропорциональны Dε =ψ Dσ .

Девиаторы деформации и напряжения имеют одни и те же главные направления, а их главные значения соответственно пропорциональны: ei =ψ sii =1,2,3.

Полагая ψ =1/(2μ) +φ , представим компоненты деформации в виде суммы компонент

упругой εije и пластической деформацииεijp = eijp =φsij .

При исключении объемного расширения в уравнении, находим соотношения Генки

εij = Kσδij +ψ sij .

Эти соотношения нетрудно разрешить и относительно напряжений:

σij = 3εK δij +ψ1 eij .

Вычисляя интенсивность деформаций сдвига, получаем важное соотношение

Γ= 2ψT.

Полученные уравнения не являются полными, так как содержат неизвестную функцию ψ . Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие текучести

деформации и тождественно удовлетворяют условию текучести Мизеса.

Теория пластического течения

Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций, приращениями напряжений и самими напряжениями.

Исходные положения этой теории:

-тело изотропно;

-относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: ε = 3Kσ.

- приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука: dεije = 21μ (dσij −13+νν δij dσ);

- девиатор напряжения Dσ и девиатор приращения пластической деформации Ddpε

пропорциональны, т.е.

Ddpε = dλDσ ,

где dλ – некоторый бесконечно малый множитель.

Справедливы соотношения

Вычисляя приращение работы пластической деформации, находим

dAp =σij dεijp = dλσij sij = 2dλT 2 .

В общем случае эти уравнения не являются полными, так как содержат неизвестный

множитель, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением, в роли которого используется условие текучести.

Уравнения теории пластического течения с условием текучести Мизеса называют моделью Прандтля-Рейса.

Плоская задача теории пластичности

При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны плоскости x, y и не

зависят от переменной z :

ux = ux (x, y),uy = uy (x, y),uz = 0.

Будем использовать модель жестко-пластического тела, которая позволяет одновременно

рассматривать поле напряжений и поле смещений, связывая его со смещением жестких областей.

Из первого уравнения следует, что εz = 0 . Отсюда, как по уравнениям деформационной теории, так и по уравнениям теории течения получаем

σ= 12 (σx +σy ).

Напряжение σz является одним из главных напряжений. Для остальных верно

σ1 =σ +τ,σz =σ,σ2 =σ −τ,

т.е. напряженное состояние в каждой точке области – это наложение гидростатического давления σ на напряженное состояние чистого сдвига τ .

Значения косинусов, определяющих первое главное направление, находятся из системы

(σx −σ1 ) cos(1, x) +τxy cos(1, y) = 0,

Направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, составляют угол ±π/4 с главным направлением.

Элементы группового анализа

Рассмотрим группу точечных преобразований, которую сам Ли называл группой непрерывных преобразований. Это позволит подробно изучить дифференциальные уравнения теории пластичности.

Пусть Rn и Rr - евклидовы пространства, В - открытый шар, содержащий ноль, B Rr

Рассмотрим функции f : Rn × B → Rn , которые порождают преобразование Rn в себя :

Здесь а называются параметрами преобразования. Различным преобразованиям

соответствуют различные значения параметров. В дальнейшем считаем, что все

параметры а существенны. Это означает, что они не могут быть заменены функциями от меньшего числа параметров. Потребуем, чтобы преобразования такого вида составляли группу Ли. Для этого определим композицию двух

Естественно потребовать выполнение следующих условий:

f (x,0) = x ϕ(a,a −1 ) = ϕ(a −1 ,a) = 0 ϕ(a,ϕ(b,c)) = ϕ(ϕ(a,b),c)

которые выполняются для всех a,b, c B , x Rn

Предположим, что ϕ(a,b) есть аналитическая функция. В результате мы выделим множество преобразований пространства Rn в себя, которые образуют локальную группу Ли Gr . Поскольку преобразования Gr из каждой точке пространства Rn ставят в соответствие снова точку этого же пространства, то группу Gr часто называют группой точечных преобразований пространства .

Алгебра Ли. Мера некоммутативности

ГруппаG3 преобразований плоскости R2 : Ta ,Tb ,Tλ , где

x′1 = eλ x1

Tλ x = x′2 = eλ x2

называется растяжением или гомотетией.

C группой Ли Gr ассоциируется алгебра ЛиLr . Построим алгебру ЛиLr для группы точечных преобразований. Поставим в соответствие каждой однопараметрической

подгруппе Gr касательный вектор по следующему правилу: df i

Для группы G3 верно Ta Tb = Tb Ta , а преобразования Ta Tλ ≠ Tλ Ta . Подействуем на точку

Разность В"-А" - мера некоммутативности

Восстановление группы Ли

Задача: Необходимо по алгебре Ли Lr восстановить группу Gr. Это удобно производить в канонических координатах второго рода. Для этого выбирается

Преобразования группы Gr получаются перемножением преобразований полученных однопараметрических подгрупп. При этом параметры а1,...,аr выполняют роль координат параметрической точки а группы Gr и задают в группе Gr систему координат, называемую канонической системой координат второго рода.

Пример. По алгебре Ли L4

Восстановим группу Ли Gr. Уравнения Ли имеют вид