Механика деформируемого твердого тела
.pdf
Геометрическая интерпретация
В теории малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций можно заменить тензором линейных деформаций, и тогда меру деформаций можно записать в виде
(dl)2 −(dL)2 = (dl−dL)(dl+dL)= 2εijdξidξj
Если рассмотреть бесконечно малый куб, расположенный в начале координат, и учесть, что для малых деформаций dl ≈dL , то это соотношение примет вид
dξi |
dl−dL =ε |
ii |
= ∂ui |
dL |
∂ξ |
так как dL являются направляющими косинусамиi осей координат.
Таким образом, диагональные компоненты тензора линейных деформаций представляют собой коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат.
Геометрическая интерпретация недиагональных компонент тензора линейных деформаций основана в рассмотрении линейных элементов лежащих вдоль осей координат.
Можно показать, что первоначально прямой угол между
осями , послеξдеформирования2 ξ3 и пренебрежения членами более высокого порядка малости имеет вид
cosϑ = ∂u2 |
+ ∂u |
3 |
=2ε23 |
∂ξ |
∂u |
|
|
Следовательно, недиагональные компоненты |
|||
3 |
|
2 |
|
|
представляют собой половины изменения углов между |
|
двумя первоначально ортогональными линейными |
Компоненты тензора деформаций |
элементами и называются деформациями сдвига. |
|
Свойства тензора деформаций
Тензор линейных деформаций является симметричным тензором второго ранга, и поэтому определение его главных направлений (главных осей) и
главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом. С
физической точки зрения главные направления – это оси координат, в которых тензор деформаций имеет диагональный вид, а главные деформации – это относительные удлинения по этим осям.
Для нахождения главных деформаций выписывается характеристический многочлен
λ3 −I1λ2 +I2 λ −I3 = 0
Его корни являются главными значениями деформаций и обозначаются
ε1,ε2 ,ε3 . Коэффициенты соответствуют первому, второму и третьему
инвариантам деформаций и равны соответственно
J1 =I1 =εii
J2 =−I2 = 12 (εijεij −J12 )
J3 =I3 =detεij
В главных осях инварианты деформаций выражаются через главные деформации следующим образом
J1 =ε1 +ε2 +ε3
J2 =ε1ε2 +ε2ε3 +ε3ε1
J3 =ε1ε2ε3
Тензор плоских деформаций
Тензор линейных деформаций можно разложить в шаровой тензор и девиатор по
формуле |
εij' =εij −δijε |
где δ - символ Кронекера, а
3(ε1 +ε2 +ε3 )
-средняя деформация.
Очевидно, что первый инвариант тензора деформаций тождественно равен нулю.
J1' =ε1' +ε2' +ε3' =0
Когда одна из главных деформаций тождественно равна нулю, говорят, что
реализуется состояние плоской деформации. Для плоской деформации, (в случае
ε3 ≡0 ) перпендикулярной к оси 3 , вектор перемещения является функцией только x1, x2 . Соответствующие компоненты перемещения для этого случая имеют вид
u1 =u1 (x1 ,x2 )
u2 =u2 (x1 ,x2 )
u3 =0
а тензор плоских деформаций
|
ε |
|
ε |
|
0 |
|
|
|
11 |
|
12 |
0 |
|
εij = |
ε12 |
ε22 |
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Условия совместности Сен-Венана
Шесть компонент линейного тензора деформаций (тензор симметричный) связаны с тремя компонентами вектора перемещения
системой из шести уравнений в частных производных
ε1 ∂ui + ∂u j
∂x j ∂xi
При произвольном выборе компонент тензора деформаций система переопределена и в общем случае не имеет решения. Для существования непрерывных и однозначных компонент перемещения необходимо, чтобы компоненты тензора деформаций удовлетворяли дополнительным уравнениям совместности или неразрывности деформаций. В случае линейного тензора деформаций, условия совместности для односвязных областей, были впервые установлены Сен-Венаном и имеют вид =
|
∂2εij |
|
|
∂2ε jm |
|
∂2ε |
|
|
∂2ε |
|
|||
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
ik |
|
− |
km |
|
|
∂x |
∂x |
|
∂x ∂x |
|
∂x |
∂x |
|
|
||||
|
m |
k |
|
m |
∂x ∂x |
j |
|||||||
|
k |
|
i |
|
j |
|
i |
||||||
и только шесть соотношений линейно независимы. |
|
||||||||||||
В случае плоской деформации шесть уравнений сводятся к одному
∂2ε11 |
+ |
∂2ε22 |
=2 |
∂2ε12 |
|
∂x1∂x2 |
|
||||
∂x22 |
|
∂x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженное состояние
В основе МДТТ лежит концепция сплошности вещества, то есть, предполагается, что вещество непрерывно
распределено по всему занимаемому им объему и целиком
заполняет его. Поля величин, таких, как напряжения и перемещения, выражаются кусочно-непрерывными функциями координат и времени.
Движение ДТТ происходит вследствие того, что на частицы тела оказывают воздействие как внешние, так и внутренние силы. По характеру своего воздействия внешние силы
подразделяются на те, которые действуют на все точки
элемента объема, занимаемого телом (массовые силы), и те, которые действуют на элемент поверхности, будь то часть граничной или любой внутренней поверхности (поверхностные силы).
Примером массовых сил могут служить силы гравитации и
инерции. Эти силы обычно обозначают F (сила, отнесенная к единице массы) или bi = ρFi (сила, отнесеннаяi к единице объема). Поверхностные силы обозначаются Ti (сила, отнесенная к единице площади).
Вектор напряжения
Возьмем произвольную точку М внутри тела и рассмотрим в данной точке бесконечно
малый элемент поверхности ds. Ориентацию
этой площадки определим вектором единичной нормали n к ней, а полную силу, действующую со стороны тела на площадку
по направлению нормали, обозначим dTi .
Принцип напряжения Коши утверждает, что существует конечный вектор напряжения
tin = dTi |
Вектор напряжения |
ds |
который можно рассматривать как поверхностную плотность силы взаимодействия на площадке с нормальюn .
Из принципа напряжения Коши следует, что в произвольной точке тела каждому единичному вектору нормали, определяющему ориентацию бесконечно малого элемента поверхности, соответствует вектор
напряжения. Совокупность всех возможных пар таких векторов и
нормалей в произвольной точке определяет напряженное состояние в этой точке.
Тензор напряжений Коши
Если рассмотреть равновесие бесконечно малого тетраэдра, вырезанного из ДТТ с вершиной в некоторой произвольной точке и боковыми гранями, параллельными координатным плоскостям под действием системы поверхностных и массовых сил, то необходимо, чтобы выполнялось равенство
ids −t1ids1 −ti2ds2 −t3i ds3 +ρFi =0
где dsi - площади боковых граней, ti j - вектора напряжений в этих гранях, tn - вектор напряжения, действующий на основаниеi тетраэдра площадьюds
инормалью ni .
В предельном случае, при уменьшении его
размеров до нуля, следуют соотношенияtn
|
|
tin = tij nj |
Здесь |
i |
- компоненты вектора нормали, tij - проекции векторов напряжения на параллельных |
координатным плоскостям боковых гранях тетраэдра. Массовые силы, порядок малости которых меньше, чем у поверхностных сил, не дают вклад в это соотношение.
Это соотношение устанавливает линейную однородную зависимость между вектором
напряжения и вектором нормали. Величиныtij , зависящие от положения точки в заданной
системе координат, называются компонентами тензора напряжения в эйлеровых переменных. Введенный таким образом тензор второго ранга называется тензором напряжений Коши. Он определяет напряженное состояние в текущий момент времени в точке деформированного тела.
Тензор напряжения
В МДТТ используются и другие тензора напряжений, например,
тензор Лагранжа, Пиола - Кирхгоффа. Можно показать, что тензора напряжений Кошиtij, Лагранжа tij0 и Пиола-Кирхгоффа pij0 связаны соотношениями
tij = |
ρ |
∂xm ∂xk p0mk |
tij0 = |
∂x j pik0 |
|
||||
|
ρ0 ∂ξj ∂ξi |
|
∂ξk |
|
гдеρ, ρ0- плотность в начальный и конечный момент времени.
В случае линеаризации всех соотношений по перемещениям и их производным все тензоры напряжений будут совпадать друг
сдругом. Компоненты полученного таким образом тензора напряжения, как правило, обозначают σij. В матричной форме он имеет вид σ σ σ
12 13
=σ σ22 σ23σ σ32 σ33σij 312111
Связь вектора напряжений с тензором напряжения Коши в этом случае запишется, как
tin =σijn j
Уравнения равновесия
Для равновесия произвольного объема V сплошной среды под действием системы поверхностных сил tin и массовых сил ρFi требуется, чтобы
результирующие сила и момент, действующие в этот объем, были равны нулю
∫ρFidv + ∫tijn jds =0 |
|
v |
s |
Это уравнение при переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объему V и с учетом произвольности объема приводится к виду
∂∂σ ji + ρFi = 0 x j
Эти уравнения называются уравнениями равновесия.
Для равновесия моментов относительно начала отсчета требуется, чтобы
∫εijk x j ρFk dv + ∫εijk x jtmk nmds =0
v |
s |
Здесь εijk - символы Леви - Чивита, xj - компоненты радиус - вектора.
Это уравнение преобразуется к виду
εijk tkj = 0
что эквивалентно условию симметричности тензора напряжений Коши
t ij = t ji
Свойства тензора напряжений
В каждой точке ДТТ компоненты тензора напряжений связаны с вектором напряжения соотношением
tn =σ n
i ij j
Направления, для которыхtin и ni параллельны, называются главными направлениями тензора напряжений. Для главного направления справедливо равенство
|
tin = λn |
||
Преобразуем уравнение к виду |
i |
||
|
|||
σij |
λδij |
n j |
=0 |
Для того чтобы эта система имела нетривиальное решение,
необходимо, чтобы определитель был равен нулю
|
|
σ11−λ |
σ12 |
σ13 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
σ21 |
σ22−λ |
σ23 |
=0 |
|
|
|
31 |
32 |
33−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|