Механика деформируемого твердого тела
.pdf
Постановка задач теории упругости
Первой основной задачей теории упругости называют задачу, когда на всей поверхности S задан вектор перемещений. В этом случае граничные условия
выражаются равенством |
ui |
= ui( s ) , |
(2.6) |
|
|
||||
где ui(s) = ui(s) (xs ) – заданные на поверхности функции. |
||||
|
||||
В случае второй основной задачи на всей поверхности тела заданы внешние силы |
||
Fi = Fi (xs ): |
σ n F . |
|
|
ij j i |
(2.7) |
|
|
|
Граничные условия могут иметь также смешанный характер, когда на одной части поверхности SF заданы внешние поверхностные силы, а на другой части Su –
перемещения: |
σij nj |
|S = Fi , |
(2.8) |
|
|
|
|
F |
|
|
u | |
|
= u(s) . |
|
|
|
|
||
|
i S |
u |
i |
|
|
|
|
|
|
Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некотором участке поверхности тела могут быть заданы только некоторые компоненты вектора перемещений и, кроме того, некоторые компоненты вектора поверхностных сил.
Различают две постановки задач теории упругости: прямую и обратную. Прямая задача состоит в нахождении функций, определяющих напряженнодеформированное состояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.
Решение этой задачи сопряжено с большими математическими трудностями.
Обратная задача состоит в том, что, задавшись либо перемещениями, либо компонентами тензора напряжений, определяют из основных уравнений и соответствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы.
Уравнения Ламе
Некоторые задачи, в частности задачи первого типа, удобнее решать в перемещениях. Для этого основные уравнения необходимо выразить через
перемещения. Учитывая, что θ, jδij =θ,i , u j, j |
=θ и ui, jj = ui , получаем |
|||||
(λ + μ)θ,i + μ ui + Fi = 0. |
||||||
С использованием равенства λ + μ = |
|
|
1 |
|
μ, |
|
1 |
− 2ν |
|||||
|
|
|||||
дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии объемных сил
приводятся к виду |
u + |
1 |
|
∂θ |
|
= 0, |
||||
|
1− 2ν ∂x |
|||||||||
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
u |
|
+ |
|
1 |
|
∂θ |
= 0, |
||
|
2 |
1− 2ν ∂x |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
u + |
1 |
|
∂θ |
|
= 0 |
||||
|
1−2ν ∂x |
|||||||||
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Эти уравнения равновесия в перемещениях называются уравнениями Ламе. Они
могут быть записаны и в виде одного векторного уравнения:
1
u +1− 2ν grad div u = 0.
Продифференцировав первое соотношение по координате xi , получим θ = 0,
т.е. объемная деформация удовлетворяет уравнению Лапласа и, следовательно, θ
является гармонической функцией.
Применяя к первому соотношению оператор Лапласа, получим u = 0,
т.е. компоненты вектора перемещений являются бигармоническими функциями.
Уравнения Ламе вместе с граничными условиями (2.4)-(2.6) определяют все три компоненты вектора перемещений.
Уравнения Бельтрами-Мичелла
При решении второй основной задачи теории упругости обычно выгодно за основные неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, т.е. решать задачу в напряжениях. При этом основные уравнения следует представить через искомые функции .
Применяя оператор Лапласа к соотношениям (2.5), выражающим кинематическую связь между компонентами тензора деформации и вектора напряжений, учитывая уравнения Ламе, при отсутствии объемных сил, получим:
ε |
|
= − λ + μ |
∂2θ |
. |
ij |
|
|||
|
μ |
∂xi∂xj |
||
|
|
|||
Применяя оператор Лапласа к закону Гука в прямой форме и учитывая то, что удельное изменение объема есть гармоническая функция, получаем:
σij = 2μ εij .
Окончательно имеем шесть дифференциальных уравнений
σij |
+ |
|
|
1 ∂2σ |
= 0,i, j =1,2,3, |
||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
||||
|
|
+ν ∂xi∂xj |
|||||
которые называют уравнениями Бельтрами-Мичелла.
При решении прямой задачи в напряжениях находятся шесть функций , которые должны удовлетворять уравнениям равновесия (2.3), уравнениям БельтрамиМичелла и граничным условиям (2.7).
Применяя к уравнениям Бельтрами-Мичелла оператор Лапласа и учитывая, что σ = 0 получим σij = 0,
т.е. компоненты тензора напряжений являются бигармоническими функциями, когда объемные силы равны нулю.
Плоская задача теории упругости
Плоская задача теории упругости включает в себя задачи плоской деформации, плоского напряженного и обобщенного плоского напряженного состояния. Эти задачи, принципиально отличающиеся по своей механической сути,
объединяются одинаковой математической формулировкой, что позволяет
применять одинаковые методы для их решения.
Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения любой точки
параллелен некоторой плоскости и не зависит от расстояния до этой плоскости.
Допустим, что эта плоскость |
|
|
плоскость Ox1x2 , тогда |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 = u1 (x1,x2 ),u2 = u2 (x1,x2 ),u3 = 0. |
|||||||||||||
ε |
11 |
= |
∂u1 |
,ε |
22 |
= |
∂u2 |
,ε |
12 |
= |
1 |
( |
∂u2 |
+ ∂u1 ). |
ε |
13 |
= ε |
23 |
= ε |
33 |
= 0. |
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
2 |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Объемная деформация равна
θ = ε |
11 |
+ε |
22 |
= |
∂u1 |
+ |
∂u2 . |
|
|
|
∂x |
|
∂x |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
Компоненты тензора напряжений
σ11 = λθ + 2με11,σ22 = λθ + 2με22 ,σ12 = 2με12 . |
|||
σ33 = λθ = |
λ |
(σ11 +σ22 ) =ν(σ11 |
+σ22 ). |
2(λ + μ) |
|||
|
|
σ13 =σ23 = 0, |
|
Все рассматриваемые функции зависят только от x1 и x2 .
Плоская деформация
Уравнения равновесия в случае плоской деформации примут вид |
|||||||||
|
∂σ11 |
+ |
∂σ12 |
+ F = 0, |
∂σ12 |
+ |
∂σ22 |
+ F = 0,F = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂x1 |
1 |
∂x1 |
2 |
3 |
||||
|
∂x2 |
∂x2 |
|
||||||
Из них следует, что объемная сила не должна зависеть от координаты и должна быть параллельна плоскости деформации.
Уравнения равновесия преобразуются к уравнению
(σ11 +σ22 ) = 0,
которое называют уравнением Леви.
Так как условия на боковой поверхности не зависят от координаты x3 , граничные условия задаются на контуре одного из поперечных сечений. Различают три основные задачи. Для второй основной граничной задачи контурные условия записываются в виде
σ |
11 |
n +σ |
12 |
n =T , |
σ12n1 +σ22n2 =T2 . |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
||
Два уравнения равновесия и уравнение Леви составляют замкнутую систему уравнений относительно трех компонентов тензора напряжений, не содержащую упругих констант материала.
В случае плоской деформации при отсутствии объемных сил, напряженное
состояние в любом его односвязном сечении, параллельном плоскости деформации,
определяется заданными на контуре этого сечения силами и не зависит от свойств материала.
Плоское напряженное состояние
Напряженное состояние пластинки называется плоским, если вектор напряжения на площадках, параллельных основаниям, равен нулю по всему объему.
Пусть плоскость Ox1x2 – средняя плоскость пластинки толщиной 2h. Тогда
σ13 =σ23 =σ33 = 0. |
σ33 |
= λ( |
∂u1 + |
∂u2 + |
∂u3 ) + 2μ |
∂u3 = 0. |
|
|
|
∂x1 |
∂x2 |
∂x3 |
∂x3 |
Выражая отсюда производную ∂u3/∂x3 |
и подставляя ее в формулы закона Гука, |
||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
σ |
|
= λ ( |
∂u1 + |
∂u2 ) + 2μ |
∂u1 , |
|
∂u |
|
|
|
|
λ |
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
( |
+ |
2 |
), |
|||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
∂x1 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
λ + 2μ |
|
∂x1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u1 + |
∂u2 ) + 2μ |
∂u2 , |
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
||||||||||
|
|
|
σ22 = λ ( |
|
∂u |
|
|
∂u |
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
∂x2 |
|
|
∂x2 |
|
2 |
+ |
= 0, |
+ |
= 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u1 |
|
∂u2 |
|
|
∂x |
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
σ12 |
= μ( |
+ |
). |
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂x2 |
∂x1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь λ |
|
= |
2λμ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ + 2μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полученные уравнения отличаются от уравнений модели плоской деформации только заменой параметра Ламе λ на λ .
Задача о плоском напряженном состоянии трехмерная, поскольку переменная x3 не исключена из системы уравнений.
Обобщенное плоское напряженное состояние
Для случая, когда толщина пластинки достаточно мала, Файлоном предложена идея,
позволяющая свести рассмотренную задачу к двумерной.
Допустим, что пластинка высотой2h нагружена по боковой поверхности внешними силами, параллельными основаниям и симметрично распределенными относительно средней плоскости. Основания пластинки свободны от внешних сил и, кроме того, составляющая объемной силы, перпендикулярной средней плоскости, равна нулю, а остальные две составляющие распределены симметрично относительно средней плоскости. Возникающее в такой пластинке напряженное состояние называется
обобщенным плоским напряженным состоянием.
Уравнения равновесия для этой задачи имеют вид
|
= λ |
|
( |
∂u |
+ |
∂u |
∂u |
, |
|
= λ |
|
( |
∂u |
+ |
∂u |
∂u |
|
= μ( |
∂u |
∂u |
σ11 |
|
1 |
2 ) + 2μ |
1 |
σ22 |
|
1 |
2 ) + 2μ |
2 , |
σ12 |
1 + |
2 ). |
||||||||
|
|
|
|
∂x1 |
|
∂x2 |
∂x1 |
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
∂x2 |
∂x2 |
|
|
∂x2 |
∂x1 |
Здесь все величины, помеченные "звездочкой", представляют собой средние значения соответствующих величин по толщине пластинки.
Осредняя граничные условия по толщине, будем иметь
σ n +σ |
n = T , |
σ12n1 +σ22n2 = T2 . |
|||
11 |
1 |
12 |
2 |
1 |
|
где T1 и T2 – средние значения внешних сил на боковой поверхности
Аналогично случаю плоской деформации, для обобщенного напряженного состояния выписывается уравнение Леви.
Функция напряжений Эри
Будем предполагать, что объемные силы отсутствуют. В этом случае уравнения
равновесия примут вид |
∂σ11 |
+ |
∂σ12 |
= 0, |
∂σ12 |
+ |
∂σ22 |
= 0. |
|
∂x |
∂x |
∂x |
∂x |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||
Первое уравнение показывает, что дифференциальная формаσ11dx2 −σ12dx1 является полным дифференциалом некоторой функцииQ(x1,x2 ) и
σ12 = − ∂Q ,σ11 = ∂Q . ∂x1 ∂x2
Аналогично из второго уравнения
σ12 = − ∂P ,σ11 = ∂P . ∂x2 ∂x1
Выражение Pdx1 +Qdx2 представляет собой полный дифференциал некоторой
функции Φ(x1,x2 ) и
P = ∂Φ ,Q = ∂Φ .
∂x1 ∂x2
Справедливы соотношения
σ |
|
= |
∂2Φ |
,σ |
|
= − |
∂2Φ |
|
,σ |
|
= |
∂2Φ |
. |
|
11 |
∂x2 |
12 |
∂x ∂x |
22 |
∂x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
Эти формулы были получены Эри, а функция называется функцией напряжения Эри.
Комплексное представление решения
Для эффективного решения основных задач плоской теории упругости очень плодотворным оказалось комплексное представление решения, применение которого впервые было дано в работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили.
Объемная деформация является гармонической функцией:
θ= ∂2θ + ∂2θ = 0.
∂x12 ∂x22
Если вместо переменных x1 , x2 ввести новые независимые комплексные переменные z = x1 +ix2 ,z = x1 −ix2 , , то последнее уравнение можно записать в комплексной форме
∂2θ = 0.
∂z∂z
Гармоническая функция θ в некоторой области может быть представлена в виде
θ= λ +1 μ [φ ′ (z) +φ ′ (z)],
где φ(z) – аналитическая функция переменной z .
Соотношения, дающие комплексное представление компонентов тензора напряжений при плоской деформации, которые называют формулами Колосова-
Мусхелишвили, имеют вид:
σ11 +σ22 = 2[φ ′ (z) +φ ′ (z)] = 4Re[φ ′ (z)],
σ22 −σ11 + 2iσ12 = 2[zφ ′′(z) +ψ ′(z)].
Решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию пары функций комплексного переменного, аналитических в данной области. При этом на границе области функции должны удовлетворять определенным условиям, отвечающим какой-либо из основных сформулированных задач.
Балка на двух опорах
Рассмотрим изгиб балки на двух опорах под сплошной равномерной нагрузкой q . Опорные реакции предположим в форме касательных сил,
распределённых по концевым сечениям.
При расположении осей координат по рисунку элементарное решение задачи приводит к таким
напряжениям: |
|
q |
(l2 |
− x2 ) |
|
||
|
|
|
|||||
σx |
= |
2 |
4 |
|
|
y, |
|
|
|
J |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qx(h2 |
− y2 ) |
|
||
τxy |
= − |
|
4 |
|
|
. |
|
|
2J |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Эти формулы записываются в более общем виде:
Учитываем условия на верхней грани при y = − h :
=+ h : 2σy = 0; τxy = 0.y
2
Схема нагружения балки
σx = Ay + Bx2 y,
τxy = Cx + Dxy2 ,
σy = q; τxy = 0. и на нижней грани при
Решение задачи имеет вид: σx |
= Ay − |
6q3 |
x2 y + 4 |
q |
y3 |
, |
|||||||||
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|||||
|
|
6q |
|
|
y3 |
|
h2 |
|
|
h3 |
|
||||
σy |
= − |
( |
− |
y + |
), |
||||||||||
h3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
4 |
|
12 |
|
|
||||||||
τxy |
= − |
6q3 |
(h |
2 |
− y2 )x. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
h |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|