Механика деформируемого твердого тела
.pdf
Продолжение точечных преобразований
Рассмотрим пространство R N , где N = n + m, (x1 ,K, xn ) |
- независимые переменные; |
|||
(u1 ,K,um ) - зависимые переменные. В дифференциальные уравнения необходимым |
||||
образом входят производные: ∂ u k |
k |
k = 1,K,m |
i = 1,K,n |
|
∂ x |
i = p i |
|
||
|
|
|
|
|
Рассмотрим однопараметрическую группу точечных преобразований в пространстве R N
x′i = f i (x,u,a) |
f i |
a=0 |
= xi |
|
u′k = g k (x,u,a) |
gk |
|
= uk |
|
|
a=0 |
|||
|
||||
|
|
|
|
|
Этой группе преобразований соответствует инфинитезимальный оператор
X = ξ i ( x , u ) |
∂ |
+ η k ( x , u ) |
∂ |
|
∂ x i |
∂ u k |
|||
|
|
Рассмотрим пространство RN +nm переменных (x,u, p) . В этом пространстве полученные преобразования индуцируют преобразование переменных р
p′k |
= h k ( x, u, p, a) |
h k |
|
= p k |
|
i |
i |
i |
a =0 |
|
i |
которые согласованы с равенствами |
p k |
= |
∂ u |
k |
|
|
|
|
|||
для любой функцииuk = uk (x) . |
i |
|
∂ x i |
||
|
|
|
|
||
Эти условия однозначно определяют для каждой группы G преобразования
переменных p. В результате получается однопараметрическая группа G ,
1
действующая в пространстве RN +nm , которая называется первым продолжением группы точечных преобразований.
1
|
Оператор продолженной группы G1 равен |
X = X + ξi k |
∂ |
|
|
|
|||||
|
k |
|
|
||||||||
|
|
|
d h i |
k |
1 |
∂ p i |
a = 0 |
||||
|
где ξ k |
= |
|
|
, Х - оператор. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
d a |
|
|
a = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продолжение более высоких порядков
Более сложные формулы возникают при вычислении законов преобразования высших производных, объем вычислений существенно возрастает и с ростом числа переменных. Поэтому удобен путь, предложенный Ли - искать коэффициенты продолженного инфинитезимального оператора. Для удобства вычислений введем дифференциальные формы (1-формы): ω k = duk − pik dxi
Тогда ω k = 0 . После преобразований, получим
ω′k = du′k − pi′k dx′i = 0
Эти уравнения эквивалентны системе уравнений
∂g |
k |
+ |
∂g |
k |
p j |
|
∂f |
β |
+ |
∂f |
β |
|
|
= 0 |
|
|
− h k |
|
|
p j |
|||||||||
∂x i |
|
∂u j |
i |
β |
∂x i |
|
∂u j |
i |
|
|
||||
Продифференцируем эти уравнения по параметру а и положим а = 0. В результате получаем формулу для определения искомых коэффициентов инфинитезимальных
операторов |
∂η k |
+ |
∂η k |
p j − |
|
∂ξ β |
+ |
∂ξ β |
|
|
ξ k = |
∂x i |
∂u j |
p k |
∂x i |
∂u j |
p j |
∂ |
|||
i |
|
i |
β |
|
i |
|||||
При выводе этой формулы использованы очевидные равенства |
∂ |
|||||||||
где δ ji - символ Кронекера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем оператор полного дифференцирования по переменной хi
f
x
|
i |
i |
|
|
|
j |
|
= δ j |
|
|
a = 0 |
|
|
Di = ∂∂x i + piα ∂u∂α + pijα ∂p∂αj +K
тогда формула для операторов перепишется так: ξi k = Di (η k ) − pβk Di (ξ β )
Дифференциальные инварианты
Продолжение более высокого порядка осуществляется путем определения действия
α, pijkα , исходя из условий инвариантностиω = 0 , ω = 0 , ...
,где ∂ 2 u α ∂ 3u α
,pijk ,..., ω = ω =j ,= i j = i j k dp iα − − pijk dx k ,...1α α 1 2α αdp ijαpij pij dxэтой группы на переменные pij
∂x ∂x |
∂x ∂x ∂x |
|
|
|
|
В частности, в случае второго продолжения, наиболее часто встречающегося в |
|||||
механике, инфинитезимальный оператор имеет вид |
|||||
|
α |
∂ |
α |
∂ |
|
|
X = X + ξi |
|
+ ξi j |
|
|
|
α |
α |
|
||
|
2 |
∂ p i |
|
∂ p i j |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициентыξi jα определяются по формуле |
|
|
||||
α |
= |
α |
) − |
α |
β |
) |
ξi j |
D j ( ξi |
p i β D j ( ξ |
|
|||
Продолжение произвольной r - параметрической группы Gr и ее алгебры Ли Lr
осуществляется тем же путем. При этом продолженная группа и алгебра обладают теми же структурными свойствами, что и исходные.
Инварианты продолженной группы G для s 0 называются дифференциальными инвариантами (порядка s) исходнойS груп-пы G.
Количество функционально независимых инвариантов дается формулой ρ = N − r* , где N = n + m - это число переменных, r* = rank[ξiα (x)]. Начиная с некоторого k-го продолжения r* не меняется, зато возрастает количество переменных, их количество неограниченно растет, поэтому группа G обладает бесконечным
множеством функционально независимых дифференци-альных инвариантов.
Однако для любой группы можно построить конечный базис дифференциальных инвариантов, из которых по определенным правилам получаются все остальные дифференциальные инварианты.
Инвариантные решения
Система уравнений плоской задачи идеальной пластичности с условием текучести
Мизеса имеет вид: ∂xσx + ∂yτ = 0, ∂xτ + ∂yσ = 0,
(σ σ )2 + 4τ 2 = 4k 2 ,
x y s
2(u x − v y )τ = (v y + u x )(σx +σ u x + v y = 0.
где σx ,τ,σ y - компоненты тензора напряжений,
предел текучести при чистом сдвиге.
(3.1)
y),
,- координаты вектора скорости, -k
s
Из этих уравнений видно, что для плоской задачи теории идеальной пластичности можно строить сначала поля напряжений, а потом по ним восстанавливать поля
скоростей, причем последние восстанавливаются, как правило, неоднозначно.
Эта система уравнений является гиперболической. У нее две характеристики
∂y |
= tgθ. |
∂y |
= −ctgθ. |
∂x |
|
∂x |
|
и соотношения на них: σ |
|
|
|
2k −θ = const,
2σk +θ = const,
Исследовать эту систему уравнений будем следующим образом:
Сначала найдем группу точечных преобразований, допускаемую системой уравнений Затем построим все инвариантные решения этой системы,
Далее для каждого точного решения задачи в напряжениях найдем возможные поля скоростей.
Построение группы преобразований
Найдем группу непрерывных преобразований, допускаемую системой (3.1), которую
удобно записать так: |
∂xσ − 2ks (∂xθ cos 2θ + ∂yθ sin 2θ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
∂xσ − 2k s (∂xθ sin 2θ − ∂yθ cos 2θ) = 0. |
где |
σx =σ − 2ks sin 2θ, σy = σ + 2ks sin 2θ, τ = ks cos 2θ, |
|
σ - гидростатическое давление,θ - угол между осью Ох и первым главным направлением тензора напряжений.
Уравнения допускают следующую группу непрерывных преобразований, которые
порождаются операторами: |
X1 = ∂x , |
X 2 = ∂y , X3 = x∂x + y∂y , |
|
X 4 = −x∂y + y∂x +∂θ , X5 = ∂σ , X =ξ∂x +η∂y , |
|
|
X + =ξ1∂x |
+η2∂y −2kθ −σ / k∂θ , |
где ξ1 = −x cos 2θ − y sin 2θ − yσ / k, |
ξ2 = y cos 2θ − xsin 2θ + xσ / k, |
|
а функции (ξ,η) есть произвольное решение следующей линейной системы
дифференциальных уравнений: ξ |
−2k (ξ |
cos 2θ +η sin 2θ) = 0, |
θ |
s σ |
σ |
ηθ −2ks (ξσ sin 2θ −ησ cos 2θ) = 0,
где индекс внизу означает дифференцирование по соответствующей переменной.
Найденная алгебра Ли бесконечномерная и операторы X , X+ образуют идеал J алгебры Ли L∞, а операторы X1 ,...X 5 есть фактор – алгебра L∞ /J.
Поиск инвариантных решений
Ограничимся изучением подалгебры, порождаемой операторами X1 ,...X 5 . Для большего удобства, перепишем эти операторы в терминах системы (3.1). Имеем
X1 = ∂x , X2 = ∂y , X3 = x∂x + y∂y ,
X4 = −x∂y + y∂x + 2τ∂σx +(σ y −σx )∂τ −2τ∂σ y ,
X5 = ∂σx +∂σ y .
Для построения всех существенно различных инвариантныхL5 решений системы (3.1)
необходимо построить оптимальную систему подалгебр для этой алгебры Ли.
Поскольку система (3.1) зависит от двух переменных, то достаточно перечислить одномерные и двумерные подалгебры. Оптимальная система имеет вид:
θ1 : X1 + aX 5 , |
X 4 + aX 3 + βX 5 , X 3 + aX 5 , |
θ2 : X1 + aX 5 , |
X 2 + βX 5 , X1 + aX 5 , X 3 + βX 5 , |
X 3 + aX 5 , X 4 + βX 5 .
В данном случае интересные инвариантные решения удается построить только на подалгебрах из оптимальной системы θ1 .
Будем искать решение системы (3.1) инвариантное относительно подгруппы X1 + aX 5 . Его следует искать в виде
σ x = γx + F( y), σ y = γx + G( y), τ = H ( y),
где F,G, H некоторые функции переменной y.
Поля скоростей для решения Прандтля
Преобразуя последние соотношения, получим известное решение Прандтля:
σx |
= −p −ks (x / h −2(1− y2 / h2 )1/ 2 ), |
|
y |
p ks (x / h), |
ks y / h, |
где γ = −ks / h, h, p - произвольные постоянные. Это решение описывает сжатие пластического слоя между параллельными жесткими и шероховатыми плитами. При этом толщина слоя 2h считается значительно меньше протяженности слоя 2l.
Для решения Прандтля построим линии скольжения. Получим параметрические уравнения двух семейств линий скольжения:
x = −ks (2θ −sin 2θ) + С, y = h cos 2θ.
x k (2θ + sin 2θ) + С, y h cos 2θ.
s
В случае решения Прандтля для определения компонент вектора скорости имеем
два уравнения: |
(ux − vy ) y = (uy + vx )(h2 − y2 )1/ 2 , |
|
ux + vy = 0. |
Найдем группу, допускаемую этой системой. Эта группа порождается следующими
операторами: |
X1 |
= ∂x , X 2 |
= x∂u − y∂u , X 3 = ∂u , |
|
X 4 = ∂v , X 5 = v∂v + u∂u , X 6 = v ∂v + u ∂u ,
где u*,v* произвольное решение этой системы. Ограничимся рассмотрением алгебры Ли, которая порождается X1,..., X5. . Оптимальная система одномерных подалгебр в этом случае имеет вид X4 , X1 + aX5 , X2 + aX3 , X3 + aX4 , X1 + aX2 + βX3
Пластические течения в сходящихся каналах
Инвариантные решения на подалгебре X 3 +γX 5 удобно искать в полярной системе координат r,θ . Система (3.1) при этом запишется следующим образом.
∂τστ + r −1∂θτ + (σr −σθ ) / r = 0
∂ττ + r −i∂θσθ + 2τ / r = 0,
(σr −σθ )2 + 4τ 2 = 4ks2 . |
|
Оператор X 3 +γX 5 в полярной системе координат имеет вид: r∂r +γ (∂σк + ∂σ θ |
) |
Инвариантное решение относительно этой подгруппы ищем в виде:
σr = γ ln r + a(θ),σθ = γ ln r + b(θ),τ = c(θ),
Дифференциальное уравнение для определения c(θ) имеет вид: c′ +γ = 2(k 2 − c2 )1/ 2
|
Пусть γ = 0 , тогда находим решение Надаи |
c(θ) = ks sin(2θ + A1 ),b(θ) = ks cos(2θ + A1 ) + A2 , |
||||||||||||||||
a(θ) = −ks cos(2θ + A1 ) + A2 , |
||||||||||||||||||
|
с произвольными постоянными Аj. |
|
|
|||||||||||||||
|
Пусть γ ≠ 0 . Обозначим с = ks sin 2B, тогда |
∫2ks cos 2B(−γ + 2ks cos 2B)−1 dB =θ −θ0 |
||||||||||||||||
|
Считая, что γ 2 4ks2 , имеем B +γ (γ |
2 |
2 |
−1/ 2 |
arctg (γ − 2ks ) (γ + 2ks ) |
−1/ 2 |
tgB =θ −θ0 |
|||||||||||
|
|
+ 4ks ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
где θ0 - постоянная |
|
|
|
|
|
|
ks |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Если считать γ большим параметром, то σr |
= |
|
|
ln |
|
|
+ 2ks (1−θ2 / a2 )1/ 2 |
, |
|||||||||
|
a |
|
r |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
σθ |
= |
ks |
ln |
a |
|
,τ =θks / a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||||||
|
где а - произвольная постоянная, |
γ ′ = kg / a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это решение описывает напряженное состояние, возникающее при плоском течении пластической массы в сходящемся канале в форме плоского клина, если клин имеет
раствор 2а и а мало.
Размножение решений
Симметрии системы уравнений обладают замечательным фактом: решение системы уравнений они переводят снова в решение этой же системы.
Проиллюстрируем процесс размножения решений на уравнениях идеальной
пластичности: |
σx − 2k(θx cos2θ +θy sin2θ) = 0 |
σy − 2k(θx sin2θ −θy cos2θ) = 0
Эта система допускает операторы вида X = ξ(σ,θ)∂ x +η(σ,θ)∂ y
Точечные преобразования, соответствующие этому оператору имеют вид
x′ = x + aξ(σ,η) y′ = y + aη(σ,θ)
В качестве затравочного решения для системы возьмем известное решение
Прандтля |
θ = |
1 arccos y |
σ = −kx + k 1− y2 |
||
|
|
2 |
Подействуем преобразованием на решение Прандтля. Имеем
σ = k[− x + aε(σ,θ) +sin 2θ] |
θ = |
1 arccos(y + aη(σ,θ) |
|||||
|
|
2 |
σ |
|
|
σ |
|
Выберем в качестве ξ, η решение ξ = f (θ) exp |
, |
η = g(θ) exp |
|||||
2k |
|||||||
2k |
|||||||
где f (θ) = cosθ + sinθ g(θ) = sinθ −cosθ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
После подстановки этих соотношений получим
|
cos2θ − y |
|
|
|
cos2θ = y + ag(θ) exp |
σ |
|
|
|
||||||
σ = −k x + |
f (θ) |
+ k |
sin2θ |
|
|||
2k |
|||||||
g(θ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- новые решения исходной системы для каждого значения параметра a.
Уравнения Треска – Сен – Венана в осесимметричном случае
При переходе к условию пластичности Треска – Сен – Венана и ассоциированному закону течения математическая формулировка задачи упрощается, закон текучести в
этом случае имеет видτ |
max |
= const = k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2τmax |
= maх( |
|
σ1 −σ2 |
|
, |
|
σ2 |
−σ3 |
|
, |
|
σ3 −σ1 |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В пространстве главных напряжений это условие определяет поверхность правильной шестигранной призмы. По ассоциированному закону вектор скорости деформации направлен по нормали к поверхности текучести, а вдоль ребер призмы течение остается неопределенным. Анализ пластического течения в различных режимах показывает, что наибольшие математические трудности при исследовании возникают для двух режимов АВ и В, остальные либо сводятся к ним, либо все необходимые величины находятся без затруднений.
Режим АВ. Этому режиму соответствует случай, когда уравнения, описывающие напряженно деформированное состояние являются локально кинематически
определимыми. Компоненты вектора скорости находятся из уравнений |
|
4urωz = (uz + ωr )2 |
ur + r−1u +ωz = 0. |
Режим В. Этот режим отвечает состоянию “полной пластичности”, когда для
определения четырех компонент тензора напряжений имеются четыре уравнения, в
этом случае задача локально статически определима. Компоненты вектора скорости
находятся из уравнений:
cos2θ(ur −ωz ) +sin 2θ(uz +ωr ), ur +r−1u +ωz = 0.