Механика деформируемого твердого тела

Теория течения

В теории течения скорость деформации ползучести представляет собой функцию, зависящую от напряжения, температуры и времени. Если опустить параметр температуры, то определяющее уравнение примет вид

ε&c = f (σ,t) = B(t)σ n .

Здесь n >1 – показатель ползучести, который обычно полагается равным 2 . Впервые вариант этой теории с учетом упругой деформации материала

рассмотрел Дейвенпорт. В его модели постулировалось уравнение

ε& = ε&e +ε&c =σ&E + B(t)σ n ,

Если функция B зависит только от температуры и не зависит от t , то модель допускает преобразование сдвига по времени.

Диаграмма ползучести задается в теории течения уравнением

0

Процесс релаксации напряжений подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению

σ& = −BE σ n

с начальным условием σ0 = Eε0 .

Следовательно, ) −

σ(t) = (σ01−m + (m −1)BEt 1 (1 m) → 0 (t → ∞).

Теория упрочнения

Теория упрочнения при ползучести учитывает зависимость свойств материала от достигнутой деформации. Определяющее уравнение этой теории имеет вид

ε&c = f (σ)g(εc ).

Один из вариантов задания функций f и g , характеризующих свойства материала, состоит в следующем: f (σ) = K eσ A, g(ε) = εα .

При таком задании, функция f (σ) приσ → 0 стремится к отличному от нуля конечному

пределу. Следовательно, скорость деформации ползучести не равна нулю даже в ненапряженном состоянии образца.

В рамках теории упрочнения диаграмма ползучести материала описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ε c ≈ ε):

εαε& = K eσ0 A,

решение которого, удовлетворяющее начальному условию ε(0) = 0 , имеет вид

ε(t) = ((α +1)K eσ0 At)1(α+1).

Кривые релаксации определяются в результате интегрирования дифференциального

Интегрируя уравнение с учетом начального условияσ0 = Eε0 , имеем

Задача ползучести стержневой системы

Три одинаковых стержня длиной l и сечением S , образующие два правильных треугольника, нагружены силойP в общей вершине. Необходимо определить, как со временем изменяются напряжения и деформации стержней.

Решение будем строить в рамках теории течения при ползучести,

При t > 0 стержни деформируются в условиях ползучести. По теории течения

Ползучесть приводит к перераспределению напряжений в стержневой системе: напряжение

в центральном стержне снижается, а в боковых – растет.

Задача разрушения стержня при ползучести

Определить время, за которое стержень, имеющий начальную длину l0 и поперечное сечение S0 , растянется за счет деформации ползучести до бесконечных размеров под действием постоянной осевой силы P .

В этой задаче упругую деформацию стержня можно не учитывать.Определяющее

уравнение теории течения запишем в виде

ε& = Bσ n .

Для простоты будем считать материал несжимаемым. В этом случае объем стержня не меняется: S l = S0l0, зато меняется его длина и поперечное сечение. Напряжение в стержне также является величиной переменной:

ll dt

Искомая зависимость l(t) принимает следующий вид: l = l0 n 1−nBσ0n.

При некоторой достаточно большой длине стержня происходит его разрушение.

Считая длину в момент разрушения бесконечной, по этой формуле можно

определить долговечность и предел длительной прочности – начальное напряжение, под действием которого стержень сохраняет ресурс заданное время :

Задача течения вязкопластической среды в трубе

Требуется определить распределение скорости при

собственного веса в вертикальной трубе радиуса a . Заданы плотность среды ρ , предел текучести τs и вязкостьη . На стенках трубы выполняется условие полного прилипания.

1 d(rτ)

rdr − ρg = 0.

Отсюда, с учетом ограниченности касательного напряжения при r = 0 следует, что оно линейно зависит от радиуса:τ = ρgr2.

Если a ≤ c ≡ 2τs (ρg) , то напряжение всюду не превосходит предела текучести, и так как на

выполняется условие прилипания, среда не движется. При a >вблизиc оси

Такое распределение скорости реализуется только в области течения r > c. В застойной

зоне скорость постоянна и равна v(c) = ρg(c2 −a2 ) −τs (c −a) .

4η η

Задача течения в вискозиметре Шведова

Требуется описать вращательное движение невесомой вязкопластической среды между двумя коаксиальными цилиндрами радиуса a и радиуса b > a , считая, что внутренний цилиндр

неподвижен, а внешний вращается вокруг своей оси с постоянной

угловой скоростью ω , если на стенках цилиндров выполняется условие прилипания.

При вращательном движении отлично от нуля касательное напряжениеτrϕ =τ , которое удовлетворяет дифференциальному

Вблизи внешнего цилиндра может образоваться застойная зона, в которой напряжение не достигает предела текучести, и среда не деформируется.

Напряжение записывается в видеτ =τ0 a 2 r2 . Здесь τ0 - касательное

5. Введение в механику разрушений