Механика деформируемого твердого тела
.pdf
Главные напряжения
Для нахождения главных напряжений выписывается характеристический многочлен
λ3 −I1λ2 +I2λ −I3 =0
Его корни являются главными значениями напряжений и
обозначаются 1, 2 , 3. Коэффициенты соответствуют первому,
второму и третьему инвариантам напряжений и равны соответственно
J1 =I1 =σii
J2 =−I2 = 12 (σijσij −J12 )
J3 =I3 =detσij
Нормальные и касательные напряжения
Разложим вектор напряжения tn в ортогональные компоненты – i
нормальную и касательную к
элементу поверхности ds . Нормальная компонента вектора напряжения равна
σn =tin ni =σijninj
Касательная компонента получается
как разность
2 |
= |
n |
n |
2 |
s |
i |
i |
n |
Предполагаем, что главные напряжения упорядочены:
1 |
2 |
3 |
Нормальные и касательные напряжения
и оси координат совпадают с главными направлениями тензора напряжений.
|
В этом случае справедливо соотношение |
ti |
=σini |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
σ 2 |
=σ 2n2 |
+σ 2n2 |
+σ 2n2 |
− σ |
n2 |
+σ |
n2 |
+σ |
n2 |
|
|
|
s |
1 1 |
2 2 |
3 3 |
( 1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальные касательные напряжения
Максимальное и минимальное значениеσs можно получить методом множителей Лагранжа. Метод состоит из построения функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L =σs2 −λnini |
|
|
|
|
|
∂L |
=0 |
||||||||||||||
где λ - множитель Лагранжа. Условие экстремума имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая нулю эти производные, получим |
] |
|
|
|
∂ni |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
σ |
2 |
−2σ |
|
( |
|
|
|
2 |
+σ |
n |
2 |
+σ |
n |
2 ) |
=0 |
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
σ n |
|
|
2 |
3 |
+λ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1[ |
|
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||||||||||
n |
σ 2 |
−2σ |
2 |
(σ |
|
n2 |
+σ |
2 |
n |
2 |
+σ |
3 |
n |
2 )+λ |
=0 |
|
|
|||||||||||||||
|
2 [ |
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
σ |
2 |
−2σ |
|
|
( |
|
n |
2 |
+σ |
n |
2 |
+σ |
n |
2 ) |
|
] |
=0 |
|
|
||||||||||||
3 |
3 |
σ |
1 |
2 |
3 |
+λ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 [ |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вместе с условием nini =1 систему можно разрешить. Одно из решений имеет вид
n1 1 n2 0 n3 0 |
s =0 |
n1 =0 n2 =±1 n3 =0 |
σs =0 |
n1 =0 n2 =0 n3 = ±1 |
σs =0 |
Величина касательного напряжения минимальная и равна нулю в главных площадках.
Другое решение системы имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
1 |
=0 n |
2 |
=±1/ 2 n |
3 |
=±1/ 2 |
|
|
σ |
s |
= σ |
2 |
−σ |
/ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
3 ) |
||||||
n |
1 |
=±1 n |
2 |
=0 n |
3 |
=±1/ 2 |
σ |
s |
|
= σ |
1 |
−σ |
3 ) |
/ 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
=±1 n |
|
=±1/ |
|
n |
|
=0 |
σ |
|
= σ |
−σ |
|
|
/ 2 |
|
|||||||
1 |
2 |
2 |
3 |
s |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
|
|
2 ) |
|
||||||||
Эти формулы дают максимальное значение касательного напряжения, которое действует в плоскости делящей пополам прямой угол между направлениями максимального и минимального главных напряжений.
Круги Мора
Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния
вточке дают круги Мора.
Предполагаем, что оси координат совпадают с главными направлениями тензора
напряжений, а главные напряжения упорядочены:
σ1 >σ2 >σ3
В этом случае нормальная и касательная компоненты вектора напряжения удовлетворяют соотношениям
|
σn =σ1n12 +σ2n22 +σ3n32 |
С учетом условия |
ni ni |
=1получим |
|||||||||||||
|
+σ 2 |
=σ 2 n2 |
|
|
|
||||||||||||
σ 2 |
+σ |
2 n2 |
+σ 2 n2 |
2 |
|
|
σ |
−σ |
σ |
n−σ |
|
+σ |
2 |
|
|||
s |
n |
1 1 |
|
2 2 |
3 3 |
|
( n |
|
2 )( |
|
3 ) |
s |
|||||
|
|
|
|
|
|
n1 |
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(σ1 −σ2 )(σ1 −σ3 ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(σn −σ3 ) σn σ1 |
+σs2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
= |
|
(σ2 −σ3 )(σ2 −σ1 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(σn −σ1 )(σn−σ2 )+σs2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(σ3 |
σ1 )(σ3 |
σ2 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
На рисунке ось абсцисс -σn , а ось ординатσs |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Для данного напряженного состояния |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
нормальная и касательная компонента |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
вектора напряжения может находиться |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
только в затененной области рисунка. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Максимальное касательное напряжение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
вычисляется по формуле |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
= |
σ1 −σ3 |
|
|
|
|
|
|
||
max |
2 |
|
Плоское напряженное состояние
Если одно из главных напряжений тождественно равно нулю, то
реализуется плоское напряженное состояние. В случае если σ3 ≡0 тензор напряжения имеет вид
σ |
|
σ |
|
0 |
|
|
|
|
11 |
|
12 |
0 |
|
σij = σ |
12 |
σ22 |
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|||||
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких
пластинах.
Тензор напряжения можно разложить в два тензора, девиатор напряжения и шаровой тензор (тензор гидростатических
напряжений) по формуле
σij' =σij −σδij
где σ = 13(σ1 +σ2 +σ3 ) называется средним напряжением.
Очевидно, что первый инвариант девиатора тензора напряжений тождественно равен нулю.
J1' =σ1' +σ2' +σ3' =0
Закон сохранения массы
Масса вещества в произвольной области V движущегося ДТТ в
некоторый момент времени определяется интегралом
m = ∫ρ(x,t)dv
v
где - плотность массы. Закон сохранения массы утверждает, что масса выделенной части среды при движении остается всегда постоянной, следовательно:
dρ + ρ ∂vk = 0 dt ∂xk
Это уравнение называется уравнением неразрывности в
переменных Эйлера.
ρ0 =ρJ
Это уравнение является лагранжевой дифференциальной формой уравнения неразрывности.
Закон сохранения количества движения
Компоненты вектора количества движения ДТТ в произвольной области определяют интегралами
|
vi |
|
ki = ∫ρvidv |
|||
где |
- компоненты скорости. vЗакон сохранения импульса |
|||||
утверждает, что скорость изменения количества движения тела |
||||||
равна импульсу приложенных к нему сил. |
||||||
|
|
ρ |
dvi |
= |
∂tij |
+ ρFi |
|
|
dt |
∂x j |
|||
|
|
|
|
|
||
Полученные уравнения называются уравнениями движения в эйлеровых переменных. В линейном случае, в предположении, что перемещения и их производные малы по сравнению с
единицей, эти уравнения имеют вид
ρ0 ∂∂22uti = ∂∂σx ijj + ρ0 Fi
где 0 - плотность ДТТ в начальный момент времени, σij -
линеаризованный тензор напряжения, ui - компоненты вектора перемещения.
Закон сохранения момента количества движения
Компоненты вектора момента количества движения имеют вид
Mi = ∫εijk x j ρvk dv v
Согласно этому закону скорость изменения момента количества движения тела равна моменту приложенных к нему массовых
иповерхностных сил, относительно какой - либо точки:
εijk tkj = 0
Здесь εijk - символы Леви – Чивита.
Закон сохранения момента количества движения ДТТ эквивалентен условию симметричности тензора напряжений
Коши
tij = t ji
Закон сохранения механической энергии
Если рассматривать только механические величины, то этот закон является следствием закона сохранения количества движения. Кинетическая энергия тела имеет вид
K = 1 ∫ρvi vi dv
2 v
Согласно этому закону скорость изменения со временем
кинетической энергии плюс внутренней механической энергии равна механической работе внешних сил, совершаемой в
единицу времени. Интегральная формулировка этого закона |
|||
имеет вид |
dK +∫vijtjidv = ∫vi tjinjds + ∫ρFi vidv |
||
|
|||
|
dt v |
s |
v |
Здесь К- кинетическая энергия объема V деформируемого тела, второй интеграл слева учитывает мощность внутренних механических сил, а интегралы справа учитывают мощность внешних поверхностных и массовых сил. vij - тензор скоростей деформаций, tij - тензор напряжений Коши, ρFi - плотность массовых сил.
Первый закон термодинамики
Если, кроме механической, будем учитывать и тепловую энергию, то получим сформулированный ниже закон сохранения энергии в более общем виде.
Согласно первому закону термодинамики скорость изменения со временем кинетической плюс внутренней энергии равна сумме механической работы внешних сил и притока тепла в единицу времени.
Внутреннюю энергию ДТТ представим в виде
U = ∫ρudv
где u называется удельной внутреннейv энергией.
Для произвольной области V имеем локальную форму записи
первого закона термодинамики
du |
= |
1 |
tij vij − |
1 |
|
∂ci |
|
ρ ∂xi |
|||||
dt |
|
ρ |
||||
где вектор ci характеризует поток тепла через единицу площади в единицу времени.