dec04023

М И Н И СТ Е РСТ В О

О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И

РО ССИ Й

СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

ЗА Д А ЧИ ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н О ГО

ЭК ЗА М Е Н А

П Р АКТ И КУ М

специ альность

010501 –П РИ К ЛА Д Н А Я М А Т Е М А Т И К А И

И Н Ф О РМ А Т И К А

3

П р едис л ов ие

Д анны й

прак ти к у м

содержи т

задач и по

теори и

вероя тностей

и

матем ати ч еск ой стати сти к е, к оторы е предлагали сьсту дентам ф ак ультета П М

М

на госу дарственном

эк замене в 1998 –

2004

годах.

Разбор и

реш ени е

представленны х задач

может ок азать сту дентам

помощь в освоени и к у рса

теори и

вероя тностей

и

математи ч еск ой стати сти к и , а

так же

может бы ть

полезны м при подготовк е к вы пу ск ны м эк заменам .

1. З а да чик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 1997/1998 уч. год

1. Слу ч айная вели ч и на

x задана плотностью распределени я вероя тностей

ì

1

,

-

£ bx,

a

ï

f (x) = í

2b

ï

= const-.

>

b a,

b,x

a

0,

î

Н айти

F(x),

Mx,

P(x³Mx).

2. Слу ч айная вели ч и на

x задана плотностью распределени я вероя тностей

x exp(C f x

x2

( x)

a >

. 0

³

, 0

),-

=×

×

2a2

Н айти к онстанту Си вероя тности P(x³a) и

R(x<a).

F x

x

T

x ³

. 0

-, ) ×=B-exp(

1( )

Н айти к онстанту В , М

x, Р( Т £x<2T ).

5. Слу ч айная вели ч и на x задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей

ì

x £ - , 1

0,

ï

x £- ,<0

1

,04,

ï

F(x) = í

p +

x £ ,<1

0 ,

04,

ï

ï

x >

. 1

1,

î

4

П острои ть ф у нк ци ю распределени я вероя тностей

слу ч айной вели ч и ны

x

-

ч и сла отк азавш и х при боров. Н айти среднее ч и слоотк азавш и х при боров(М

x).

7. Слу ч айны е вели ч и ны x и h - незави си мы и равномерно распределены

в

и нтервале (0; 2). Н айти Mg и Dg, если g=x·(1-xh).

8. М етодом моментов найти по вы борк е Х =(Х 1,

Х 2, ...Х n) и з генеральной

две девоч к и , в 1017

семья х - мальч и к и девоч к а. М

ожно ли при

у ровне

знач и мости

0,05 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к оввсемье с дву м я

детьми

-

слу ч айная вели ч и на, распределенная поби номи альном у зак ону ?

10. Н айти

м етодом

мак си м ального правдоподоби я

оценк у

парам етра

q

пок азательного распределени я , и мею щего плотность

распределени я

вероя тностей

f(x) =

1

exp(-

x

)

при х³0.

q

q

f (x) =

a

=

, Î R. x

a ,

const

1+ x2

Н айти : 1) к оэф ф и ци ент a ; 2) ф у нк ци ю

распределени я

Fξ (x) ; 3) вероя тность

попадани я

ξ

в и нтервал

(-1; 1). 4)

Су ществу ю т ли

для

ξ

ч и словы е

харак тери сти к и : м атем ати ч еск ое ожи дани е и

ди сперси я ?

(О твет необходи мо

обосновать).

2. Задана ф у нк ци я :

ì

x £

, 0

0,

ï

< x £ , ,,5 0

0

Fξ (x) = íx2

ï

= const¥.<

<

a

,

-x -a ×5, 0

,x) 1

exp(

î

П ри

к ак ом

знач ени и

параметра a

данная

ф у нк ци я

я вля ется

ф унк ци ей

распределени я

вероя тностей

нек оторой

слу ч айной

вели ч и ны ξ

?

П острои ть

xi

-3

-1

0

1

x

5

pi

0,3

q

0,2

0,3

0,1

и Mξ = −0,5.

Н айти знач ени я x5 , q. В ы ч и сли тьDξ . Запи сатьанали ти ч еск ое

ì ×

-

£cx < ¥,

x

0

, )

2

exp(

fξ (x) = í

<

= constx.

c

, 0

0,

î

Н айти

Mη.

5. П о результатам

подбрасы вани я и гральной к ости составлено распределени е

ч астот

xi

1

2

3

4

5

6

ni

5

9

11

8

6

9

где xi

- ч и слооч к овна соответству ю щей грани к у би к а; ni

- ч и словы падени й

соответству ю щей

грани . И спользу я к ри тери й

χ 2 -

П и рсона

при

у ровне

знач и мости

α = 0,05 ,

провери тьги потезу о ди ск ретном равном ерном

зак оне

распределени я ч и сла вы павш и х оч к ов.

3. З а да чик экза м ену на

с теп ень ба ка л а в р а , 1998/1999 уч. год

1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей

f (x) =

ì

× +

x Î[-a x], 2, 1

( , )1

í

x Ï[- ]. 2, 1

0,

î

Н айти к онстанту « а», F(x), а так же Mη и Dη, если η=ξ−1.

2. Слу ч айная

вели ч и на

ξ

распределена норм ально с парам етрам и

(1;1), а

слу ч айная

вели ч и на

η

-

равном ерно

в

и нтервале

[0;2].

Н айти

(ξ+η), Μ(ξη), Μξ2, D(ξ−η), если к оэф ф и ци ентк орреля ци и

между ξ и η равен

ρ.

ì

x ≤ − , 1

0,

ï

x £- ,<0

1

,02,

ï

F(x) = í

p +

x £ , 1<

0 ,

02,

ï

ï

x >

. 1

1,

î

4. Случ айны е вели ч и ны

x и

h незави си м ы и и мею т оди нак ову ю

ф у нк ци ю

распределени я :

ì

x ≤ , 1

0,

ï

x £ ,<3 c × x 1- ( ), 1

F(x) = í

ï

x > . 3

1,

g

î

j

Слу ч айны е

вели ч и ны

и

определены

следу ю щи м

образом :

g=Ax+Bh, j=Ax-Bh. Н айти к онстанту « с», М g, М j и

к оэф ф и ци ентк орреля ци и

между слу ч айны ми вели ч и нами g и j.

5. Слу ч айная

вели ч и на x распределена по нормальном у зак ону с парам етрами

(a, s2). Н айти

h и Р(h< b), если h=

π

×

ξ

.

2

6. М етодом

моментов найти

по вы борк е Х =(Х 1,

Х 2, ...Х n) и з генеральной

совок упности , и мею щей распределени е Лапласа

f (x)

1

x

x ¥,< < ¥= -

),-

exp(

2θ

θ

7. П о вы борк е

Х =(Х 1,

Х 2, ...Х n)

и з

генеральной совок у пности , и мею щей

плотностьраспределени я вероя тностей

x)f=(

1

exp(-

−

) a

(x ³ a , x

),

q

q

параметра q и

найти

сценк у мак си мального правдоподоби я

провери ть ее

несмещенность.

8. В

табли це при ведены

данны е о ф ак ти ч еск ом

сбы те товара

(в у словны х

еди ни цах) впя ти районах

Район

1

2

3

4

5

О бъ ем

110

130

70

90

100

сбы та

9.

П ри и спы тани и аппарату ры

ф и к си ровалось ч и сло отк азов у при боров.

Резу льтаты и спы тани й 60 при боровпри ведены втабли це

Чи слоотк азов

0

1

2

3

Чи слопри боров

43

10

4

3

Согласу ю тся ли

эти данны е с предположени ем о пу ассоновск ом зак оне

распределени я ч и сла отк азов? П ри ня тьу ровеньзнач и мости a=0,05.

10.

П ри 20 подбрасы вани я х дву х м онетф и к си ровалосьч и словы падени й герба

К оли ч ествовы -

0

1

2

павш и х гербов

Чи словы падени й

6

8

6

Согласу ю тся ли

эти

результаты

с предположени ем о си мм етри ч ности

монеты и

незави си мости

результатов отдельны х подбрасы вани й? П ри ня ть

у ровеньзнач и мости a=0,05.

4.

З а да чик гос экза м ену, днев ное отдел ение, 1998/1999 уч. год

1. Случ айная вели ч и на

h=|x|-1.

П лотность распределени я вероя тностей

слу ч айной вели ч и ны x:

4

×x a [-x ,Î

], 1, 1

ì

f (x) =

ï

í

x Ï[- ]. 1, 1

ï

0,

î

Н айти к онстанту « а », F(x), Mh, Dh.

2. П лотностьраспределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны x и м еетви д:

f x =

1

-

(x - 2)2

), - ¥ < x < ¥.

2

2π

8

Слу ч айная вели ч и на h равномернораспределена ви нтервале [0, 2].

Н айти Mg, Dg, если g=x+h-xh.

3. Слу ч айная вели ч и на h=4+|x|. Ф

у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны x:

ì

x £ - , 1

0 ,

ï

x £- ,<0

1

,03,

ï

F(x) = í

< x £

, 2

0

, 05,

ï

ï

x > . 2

1,

Н айти

h , Dh, P(h³5).

î

8

4.

Слу ч айная вели ч и на h=1+3x,

М x=1,

Dx=2. В ы ч и сли тьMh, Dh, M(xh) и

к оэф ф и ци ентк орреля ци и rξη.

5.

Слу ч айная вели ч и на x задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей:

ì

x £ - , 1

0,

ï

x £- ,<0

1

1,0,

ï

F(x) = í

p

+ x £ , 1<

0 , 0,1

ï

ï

x >

. 1

1,

î

Mx=0.

Н айти к онстанту « р», М

h и Dh, если h=|x|+2.

6.

Н айти

к оэф ф и ци ентк орреля ци и

м ежду слу ч айны ми

вели ч и нами x и h, если

Dx=A, Dh=B, D(x+h)=C.

7.

Слу ч айная вели ч и на x задана ф у нк ци ей распределени я вероя тностей:

ì

×

Ax £ , x0

),

exp(

F(x) = í

A

x > x. 0 -- ), ×1

exp(

î

Н айти плотностьраспределени я вероя тностей f(x), к онстанту « А », Р(|x|<2).

8.

Случ айная вели ч и на x задана плотностью распределени я вероя тностей:

ì

1

éb - γ

b + γ ù

ï

,

x Îê

,

ú,

2

ïa

ë 2

û

f(x) = í

10. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2,...Х N) и з генеральной

совок у пности , плотность

распределени я вероя тностей к оторой

f (x)

1

x

x

θ > , 0найти=³ , 0

- ),

θ

θ

К оли ч ествогербов

0

1

2

Чи словы падени й

4

8

8

9

Согласу ю тся

ли

эти

резу льтаты

с предположени ем

о си мм етри ч ности

монеты

и

незави си мости

результатов

подбрасы вани й?

П ри ня ть у ровень

знач и мости

α=0,05.

5. З а да чик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 1998/1999 уч. год

1.

Н а ри с.

1

при веден граф и к

плотности

распределени я

вероя тностей

fξ (x)

слу ч айной

вели ч и ны

ξ .

Н айти :

a ;

анали ти ч еск и е вы ражени я для

fξ (x)

и

F (x); Mξ , Dξ; P{

1

ξ £-

1

}<.

ξ

2

2

fξ (x)

a

-1

0

2

x

Ри с. 1

2. Задана ф у нк ци я :

ì

x £

, 0

0,

ï

2

Fξ (x) = í

×

x £

,<1a

x,

,0 =const.

a b

ï

− x

x

¥<. b1 <e

1- , ×

î

П ри к ак и х знач ени я х параметров a и b данная ф у нк ци я

я вля ется

ф унк ци ей

распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ , для к оторой P ξ(< )1=

1

?

2

1

П острои тьграф и к и ф у нк ци й f

ξ

(x) ,

F (x); найти Mξ, Dξ;

P{

< ξ £

2.}

ξ

2

3.

Заданря д распределени я вероя тностей ди ск ретной слу ч айной вели ч и ны ξ

xi

-4

-2

-1

0

1

x 6

5

pi

0,2

0,1

p

0,15

q

0,2

0,15

и

ξ =

M

ξ

x = F =

. Н58айт, и0 знач),5ени2 я (x6, ,p, 19q.0В, ы ч и сли тьDξ .

Запи сатьанали ти ч еск ое вы ражени е и построи тьграф и к ф у нк ци и Fξ (x).

4. Cлу ч айны е вели ч и ны ξ ~ R(- π

;π

η =

ξ. Н айтcosи

η

) ,fMηy.

( ,)

2 2

ì

x <

, 0

0,

f

ï

2

ξ

(x) = í

x

exp(

x

x

σ > . 0 ³ , 0 × ) ,-

ï

2σ 2

îσ 2

Н айти

η

η

η, Dη ,)Mесли(y(η,)fF= y

-ξ 2 ) .

exp(

6.

З а да чик экза м ену на

с теп ень ба ка л а в р а , 1999/2000 уч. год

1. Слу ч айная вели ч и на x задана плотностью распределени я вероя тностей

f (x)

1

exp(

x2

),

x

¥<. =< ¥-

-

2 2π

8

Ф

у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны h и м еетви д:

F( y) = 1- exp(-y / 2),

y ³ 0.

М

атри ца к оэф ф и ци ентовк орреля ци и x

и h:

æ

1 ,5

ö0

ρ = ç

÷.

ç

1

÷

è

0,5

Н айти Mg и Dg, если g=1-2x+3h.

ø

2. Ф у нк ци я распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны h и м еетви д:

ì

y £

, 0

0,

ï y

F( y) = í

< y £ , 2 ,

0

2

ï

y >

. 2

1,

î

Слу ч айная вели ч и на

x задана плотностью распределени я вероя тностей

f (x)

1

exp(

x

x ³ 0=.

),-

2

2

æ

ö

1

М

атри ца к оэф ф и ци ентовк орреля ци и x

и h:

ρ = ç

2/÷

.3

ç

1

÷

32/

è

ø

Н айти Mg и Dg, если g=4x-3h+5.

3.

П о вы борк е

Х =(Х 1,

Х 2, ...Х n) и з

генеральной

совок у пности , и мею щей

плотностьраспределени я вероя тностей

f

x

x

exp(

x

2

( )x ³ =0 ,

),-

θ

2θ

найти оценк у мак си мального правдоподоби я парам етра q и

провери тьее на

несмещенность, состоя тельностьи эф ф ек ти вность.