Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dec04023

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

325.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

									31
7. Н а		ф ак у льтете обу ч ается					500		сту дентов. К ак ова вероя тностьтого, ч то 1
сентя бря я вля ется					днем рождени я одноврем енно для к сту дентов данного
ф ак у льтета? В ы ч и сли тьвероя тностьдля знач ени й к =0, 1, 2, 3, 4.
8. П о резу льтатам подбрасы вани я									и гральной к ости составлено стати сти ч еск ое
распределени е

	xi		1	2		3		4		5	6
	ni		5	13		17		8		8	9

где xi - ч и слооч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а; ni - ч и словы падени й соответству ю щей грани .

И спользу я	к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона		при у ровне	знач и мости
α = 0,05 и	α = 0,01, провери ть ги потезу	H0	о ди ск ретном	равном ерном
зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы		павш и х оч к ов.

21. О тв етыип р им ер ыр ешения за да ч

21.1 О тветы к задач ам эк зам ена на степеньбак алавра, 1997/1998 у ч . год

-xb ,

- + bx

ξ M=ξ

ξ. a(³ ;

1. F(x) =

+ b ,£-a <xa b

;) MP=

+xb.

2. C

exp(

) ; ξ ( a

Pexp(-

)P. 1- )=a

);

= ³

x £ - , 1

x-£

,<0 -,

3. =

x) =F(

0081

, 0

),;3 0

(

ï1

x £

,<1 ,

x >

. 1

		ξ	ξ	e −1
4.		ξ	ξ	T ) =2 e2	T<. P£(B= ; 1 M= 1;
5.	p = 0,2;	Mη = 1,8;	Dη = 0,16.

x £

, 0

< x

, 1

729 0,

6. F(x) =

< x

, 2

M;1ξ =,

972.,3 0,

< x

, 3

999 0,

x >

. 3

7. Mγ

;

Dγ =

109

. = -

135

8. *

.+ =x 3 b 3 × D= a;- x

× D

Д а.

θ*

D=вθ

10.

å i

xв

; ;

xв M=x x ;

= =

−

i=1

θ .

оценка

я ,

xв

21.2 О тветы к задач ам госэк зам ена, дневноеотделени е, 2000/2001 у ч . год

x £ , 0

1. C =

F; x) =( í1

Pexp(- π ). )=

exp(

ξ x Mξ

2a2

p = 0,2;

Mη = 1,8;

Dη = 0,16.

3. Mγ

Dγ =4

- 22;=. 2

4. Mη = 2,3;

P(η ³ 1,5) = 0,8.

Dη = 0,61;

x £ - , 1

ï1

,<1M,-η

; Dη =

a ; x) =F( í

x+£

= -

252

ï2

x >

; 1

x £ b -

ï0,

6. γ

xab£ bx,< M-ξ = b

F; x) =( í

- ( , 1 b)

+×

; -

x > b;

Dξ =

12a2

эффективна,

³( ; 0 > ) ,

7. Ги потеза отом , ч товопросы соди нак овой вероя тностью беру тся и з к аждой ч асти к у рса, справедли ва при уровне знач и мости α = 0,05 .

8.О ценк а смещенная .

9.О ценк а несмещенная , состоя тельная , эф ф ек ти вная .

10. Ги потеза о си мм етри ч ности																				монеты справедли ва									при у ровне знач и мости
α = 0,05 .
	21.3 О тветы к задач ам госэк зам ена, веч ернее отделени е, 1997/1998 у ч . год
		1								1									1					ξ x	1
1.							; )		(						(		)					P			)1= arctg.;< 1<( -a						x +F=	× =
1.		π					; )		(	π					(		)		2			P			)1= arctg.;< 1<( -a						x +F=	× =
		π								π									2						2
		3						ξ				29				1		ξ a			3	15			3
		3										29				1					3	15			3
2.						;								;	P(							)M e -		= <				.	<	=	= ×
		4										24				4					4	16		4 ×exp(		1	)
		4										24				4					4	16		4 ×exp(			)
3.	=						5 =				qDξ =					x. 25 , 3									4
3.	=			a			5 =				qDξ =					x. 25 , 3							; 2		;1,0
4.	Mη			a			;					; 2 Mξ b=					1	.c			= = +
4.	Mη	2					;					; 2 Mξ b=					2	.c			= = +
	χ 2	2						χ	2								2
5.	χ 2	.			=			χ	2			=			. 1,Н ет11				основани3й,				отвергну тьги потезу							о ди ск ретном
		.						кр.										на бл
равном ерном распределени и .
	21.4 Реш						ени я задач госэк замена, веч ернее отделени е, 2001/2002 у ч . год
	1. П озаданной ф у нк ци и																распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны
запи ш ем зак онраспределени я

			xi					0,5					2				3					3,5
			pi					0,2					0,3				0,2					0,3

М атем ати ч еск ое ожи дани е n

ξ åM i pi x = 35× ., 2 +,3 0× 5,+3 ×2,× 0 +3 ,3 0=2 = 2, 0×0,5

i=1

Д и сперси я

- (MξD)ξ , Mξ

ξ 2

725+ ×, 6 +,3 0×

25+ , ×12=

M 2 p

å i

i=1

Dξ

2025= =

, 1

5225 , 5

725 , 6

P(ξ ³ 2,5) = F(¥) - F(2,5) = 1- 0,5 = 0,5,

=F -P. 2, 0- ) 2 (=P )<2( < <-) 2 = 2 ((

) 2

одой слу ч айной вели ч и ны (Mo ) назы вается ее наи более вероя тное

знач ени е. В наш

ем случ ае так и х знач ени й два: x2 =

и2x4 =

5,.3Т ак ая

слу ч айная вели ч и на назы вается би модальной: Mo = 2 и Mo =

35,.

еди аной слу ч айной вели ч и ны

назы вается

так ое ее знач ени е Me ,

для

к оторого

ξ <

=P ξ >Me ) .

ОPбы(

ч (но так) ой

ч и словой

харак тери сти к ой

слу ч айной

вели ч и ны

к ак

м еди ана

пользу ю тся

тольк о

для непреры вны х

слу ч айны х

вели ч и н,

хотя

ф орм ально ее можно найти

для ди ск ретной

вели ч и ны . В

наш ем слу ч ае м еди ана отсу тству ет.

Д ля

нахождени я

неи звестны х

параметров a ,b ,c

состави м

одну

и з

возм ожны х си стем у равнени й

− = − +gc = b , 0a

( )1

cg = b,=+1 a + 2

4 )(2

gc = b=.+0 a + 5

)(5

Здесь

( )

=+ c и+учbxтены основныax g xе свойства ф унк ци и распределени я

вероя тностей.

Реш

ая

си стем у

ли нейны х алгебраи ч еск и х

у равнени й,

полу ч и м

,a c =

. b = = -

Следовательно, ф у нк ци я распределени я бу детравна

x £ - , 1

F1(x) = í

x £ ,<2 -,

1+-× +

x >

. 2

Т огда плотностьраспределени я вероя тностей

x - Î , ] 2; 1−( × ( , ) 2

f (x) =

1(x)

dFï

d x

x Ï -

. ] 2; 1 (

∞

2 2

2 )

2 2x2

(

)

x d (2x[(

xMd )]x =f

× =

−∞

−1

4=[( . 0+ )]- -= ×

(

)13

ξ 2

2 [

( )] 2

3) x d=

(x.2

× x d=

xM- =× -x

−1

(MDξ )ξ

Mξ 0 =

= =

Д ля нахождени я м еди аны реш и м у равнени е																																(					= MF )x=							1	.
Д ля нахождени я м еди аны реш и м у равнени е																																(					= MF )x=								.
																																								e				2
	x2																																											2
	x2			4			x						5		=	1		+и-ли× 2x+2 - 8x -1 = 0. О тсю да полу ч и м
9			9				x				9				=	2		+и-ли× 2x+2 - 8x -1 = 0. О тсю да полу ч и м
x 12, = 2 ±							3			2				. И ск ом ое реш ени е -															Me		= 2 -		3			2		.
x 12, = 2 ±						2								. И ск ом ое реш ени е -															Me		= 2 -	2						.
						2																										2
Е ще две возможны е ф у нк ци и распределени я и мею тви д:
			ì										x £ - , 1													0,
			ï								2									1
					ïx2						2									1
F2 (x) = í																x											x £ ,<2 -,					1++ ×
F2 (x) = í						9					9					x				9							x £ ,<2 -,					1++ ×
			ï			9					9									9				1,
			ï									x >				. 2								1,
			î
			ì										x £ - , 1													0,
			ï
			ï1
F3(x) = í											x														x £ ,<2 - × 1+( , )1
F3(x) = í											x														x £ ,<2 - × 1+( , )1
			ï3									x >				. 2								1,
			ï									x >				. 2								1,
			î
																						1																									2		1	2		2
3.											0,																																Mξ )					=D(ξ. , M-ξ					= ,σD η
3.											0,											3																					Mξ )					=D(ξ. , M-ξ					= ,σD η
																						3																		4									3
						2																								1 , 1 Dξ					2 =					4		.				M-ξ = M-η M-ξ						M× ηγ = M+ξ
						2																								1 , 1 Dξ					2 =				45			.				M-ξ = M-η M-ξ						M× ηγ = M+ξ
	Д ля незави си мы х ξ и η																																						45
	Д ля незави си мы х ξ и η
Следовательно,																								2							2 × Dξ .							M+η) × D(η M+Dξ ) × D×(η =Dξ (ξ η)
Следовательно,																																														2 ) Dη (+ Mξ×							ξD2η +Dξ2 ×
																																														2 ) Dη (+ Mξ×							ξD2η +Dξ2 ×
																		4												4									2		2			1				σ	2
		)2																4				σ 2								4				1 σ8σ										1				σ
(								MD									D									ηξ		0 ξ															+			.		= +			+ × +			+
(								MD									D									ηξ		0 ξ			3	3							15				+	3		.		= +			+ × +			+
																45										9				45	3	3							15					3
Т отже результатполу ч и м , и спользу я ф орм у лу																																			=								2 - MγD(γ2 .								M) γ
4. f (x)														xd F 1 (								)		b																			f (x) ³ 0
															=						×		x2	=			. И з свойства плотности
									d x						=			π			×			=			. И з свойства плотности
									d x									π						+ b2
следу ет,			ч то				b > 0 .									У ч и ты вая										одно			и з		свойств ф у нк ци и															распределени я ,
полу ч и м											1						π )												1
F(			) a								1				(							0				и a =			1	. Т ак и м=образо- ×м ,											+			=				-¥
F(			) a								π				(							0				и a =			2	. Т ак и м=образо- ×м ,											+			=				-¥
					1				1		π							2		x									2
(		)			1				1					arctg						x								xF x		,	b >	. 0 ¥< , < ¥-																			×=	+
(		)	2					π						arctg					b									xF x		,	b >	. 0 ¥< , < ¥-																			×=	+
			2					π											b

Mξ и

Dξ для данной слу ч айной вели ч и ны не су ществу ю т.

ода

o ξM =

x)f, (а медиmaxана определяarg ется( )и з соотнош ени я

P ξ

ем) =слу ч ае Mo = Me = 0 .

Me ) =P

(. В <>(наш

О бъ ем вы борк и

n = 54. В ероя тностьвы падени я

лю бой грани

к у би к а

p =

i =,

6,.1Н аблю даемое знач ени е к ри тери я χ 2 - П и рсона

6 (

n× p )n

χна2 бл. = å

» 71,. К ри ти ч еск и е знач ени я к ри тери я

n ×

i=1

χ 2

. 8,Т ак12 к ак)

025в обои, 0;х 5(

слу ч ая;х1, 15 ) 01 ,

кр.

кр

наблю даемое знач ени е к ри тери я м еньш е к ри ти ч еск ого, ги потезу о ди ск ретном равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к овможно при ня тьпри у ровня х знач и мости α = 0,01 и α = 0,025.

21.5 Реш	ени я задач госэк замена, веч ернее отделени е, 2002/2003 уч . год
1. В озможны е знач ени я			слу ч айной вели ч и ны ξ		– ч и сла	к расны х ш аров в
вы борк е:
1 =	2 =	3 =	x4 = . 3 x	, 2x	, 1	0,

В ероя тности соответству ю щи х собы ти й:

p P ξ ( =) 0=

C43 ×C33

P ξ;

C41 ×C32

)1==

;

C73

p P ξ ( =) 2=

C42 ×C31

P ξ;

) 3=

C43 ×C30

C73

Зак онраспределени я слу ч айной вели ч и ны ξ

1/35

12/35

18/35

4/35

	37
ì		x £	, 0		0,
ï	1
ï	1	< x £		, 1	,	0
ï		< x £		, 1	,	0
ï35
ï13
Ф у нк ци я распределени я Fξ (x) = í		< x £		, 2	,	1
Ф у нк ци я распределени я Fξ (x) = í		< x £		, 2	,	1
ï35
ï	31	< x £		, 3	,	2
ï
ï
ï35		x >	. 3		1,
ï		x >	. 3		1,
î

П о граф и к у определи м

анали ти ч еск ое

вы ражени е

для

плотности

распределени я вероя тностей слу ч айной вели ч и ны ξ .

x Î -b x .k]Иf3;з1уxслови(

я норми,

ровк( и)

)

dx(

) b

bdxf=41kx.

= bx=

+ +

−1

У ч и ты вая у слови е fξ

= 0 , полу)(3 ч и м

ì k 3+ b = , 0

отк у да

b =

. Т =ак-и м образом ,

ïk

+ b =

x £ ,<3 - - 1

-( , ) 3

fξ (x) =

x > . 3£ - , 1

ак к ак

1→+0− ξ

= af,

тоx )

( a =

. lim

у нк ци я распределени я

x £ - , 1

ï x

x £- ,<3

dt f1t , ( )

F(x) = í

ï−1

x >

. 3

ò[

() () 3dt

(

)

dtt−1 =t f

F+x

- =

−1

x £ .<3 x- 1x + (, ) 7+= -6 ×

×=

= - -

О к онч ательно

x £ - , 1

ï 1

F(x) = í

£ ,<3x- 1x + (, ) 7+ × -6

ï16

x >

. 3

[

( )] 3

Mξ )=. (Mξ D=ξ

-dx =× - ×xM

−1

ξ 2

2 [

Dξ 1 dx=

,.-1 xM= ( )] 3 x=

- =× - ×

−1

F )1=F

(

) 2(-

) 2= £(-1<

1 ×¹ 1.=2

3. 1) Н е вы полня ется у слови е норми ровк и

−1

2 ) dx-x

x¹ 1. =

2) Н е вы полня ется у слови е норми ровк и

ò(

f (x) я вля ется плотностью

3) Ф у нк ци я

распределени я вероя тностей, так к ак

вы полня ю тся свойства

∞

3x2

) dx(

xò

f 2;

dx = 1. x

, 0(= )

f x

¥<³ < ¥-

∞−

1 −

4) Н е вы полня ется свойство f (x) ³ 0

при

x < 0 .

4. Ф у нк ци я

F(x)

я вля ется ф унк ци ей распределени я , так к ак

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 всвя зи стем , ч то

при0 cos π

x £ 0 .<

- <

2) F(x) - неу бы ваю щая ф у нк ци я : при

- £ она<- ¥равня ется const=0; при

x Î (- π

];0 - возрастает;

при x (0;∞)

равня ется

const=1;

ф у нк ци я

F(x) непреры вна

в лю бой

точ к е

области ее определени я – пром ежу тк а

(-¥;¥), поэтом у

непреры вна слева и

справа, то естьвы полня ется

равенство

x→x0 −0

x0 )F; Fвы( полняx ) (ю тся и равенствlim а

x =F1.

)

( F limx

, 0

) (

lim

∞ →

F(x)

→−∞

Следовательно, ф у нк ци я

у довлетворя етвсем свойствам , харак терны м

для ф у нк ци и распределени я .

(

))F0(1 0)=

=x 1.x

) ×

cosM-dx x

- =x

(sin ×

= -

−

−π

5. О бъ ем вы борк и

n = 54 . В ероя тностьвы падени я лю бой грани и гральной

к ости p

= 1

i =

. 6,Н 1аблю даемое знач ени е к ри тери я

(

+ 9 ++496+ 49

χна2

- n× p )n

бл = å

; 7, 10

n × pi

i=1

χ 2

χкр2

. 1,

11кр

)

05 , 0; 5(

; 1,

15 )

01 , 0;(5

Т ак

к ак

обои х слу ч ая х

χ 2

< χ 2

, то

ги потезу о

ди ск ретном

кр

на бл

равном ерном зак оне распределени я вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к овможно при ня тьпри у ровня х знач и мости α = 0,05 и α = 0,01.

21.6 Реш ени я задач госэк замена, веч ернее отделени е, 2003/2004 у ч . год

1. П о у слови ю задач и к оорди наты точ к и (x,y)	у довлетворя ю т си стем е
неравенств 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2. Т ак и м образом ,	точ к а (x,y) нау дач у

вы би рается и з м ножества точ ек к вадрата состороной a = 2 . П лощадьф и гу ры ,

расположенной

вну три

к вадрата

у довлетворя ю щей

неравенствам

x4x ,

или4y

y £ x,£равна

- SG = 4.

ò(x

)dx =

П лощадь-

к вадрата

Следовательно,

и ск омая вероя тностьравна

p =

2. О бознач и м вероя тностьнепоя влени я собы ти я водном и спы тани и ч ерез

q . Т огда вероя тностьпоя влени я собы ти я

хотя бы оди н раз в n - незави си м ы х

и спы тани я х будетравна

=1(-)qn . В PнашA ем слу ч ае P(A) = 0,973;

n = 3. Следовательно,

q3 =	и q = ,3 .0	В ероя тност027ь			поя0, влени я			собы ти я		в	одном
и спы тани и p = 1− q = 0,7 .
	0
3. П ри x ≤ 0	= ò dx = 0 .FЕ слиx0			0( <)x ≤ 1, то
x	−∞	x		x		x2
x	0	x	) (	x	dt)=t(	x2	. dt= )t (f			=+( dt)	t f = dt t f
		ò	) (	ò	dt)=t(		. dt= )t (f		ò	=+( dt)	t f = dt t f
	∞−	ò		ò	2 ò				ò
	∞−	0−∞		0

П ри 1 < x ≤ 2

0		1	x	1		x2	1
ò		ò	ò	) 2(	(2x		0) 2dt( )	t) =
						2
	−∞	0	1	2			2

x2		x2- . 1+	= -
2

П ри x > 2

2	x
ò	ò
−∞	2

	ì			x £		, 0
	ï
	ïx2				< x £
	ï	2			< x £
	ï	2
F(x) = í			x2
	ï		x2		x
	ï
		2
		2
	ï				x >
	î				x >
						ì
4. f (x) =				(x) dFï			x
					=	í
				dx	=	í
				dx		ï
			∞			î
ν1	ξ		∞
ν1	ξ	ò
			−∞
ν2	ξ			∞
ν2	ξ	ò
				−∞
ν3	ξ			∞
ν3	ξ	ò

−∞

ò dt =1. Т ак+0и мFобразо)=2(dt= мt,

, 1	,	0
x £		,<2					−21	,+1
. 2			1,
x ≤	, 0			0,
< x £ , 1						02 ,
x > . 1			0,
1	2	dx =x(2				.)x ×		Mdx=		x =xf		=
ò	2	dx =x(2				.)x ×		Mdx=		x =xf		=
0				3
0
1	2			2		1		2
ò		2	dx			=x	(.	)x×		dxM=	x	f= x
0						2
0
1	3			3		2		3
ò		2	dx			=x	(.	)x×		dxM= f	x	= x
0						5
0	1
	1		2		2				1
μ2	ò(μ ξ		2	)(	2	ξ2,0dx)=x			1	. ×	x -
μ2	ò(μ ξ		3	)(		ξ2,0dx)=x				. ×	x -
	0		3					18
	0

- dt- t - dt + =F x

f) ( + dt t) (f

F( )x

= M =M -

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.20155.03 Mб9catalog_kadir_mini.pdf
#
19.03.2016978.6 Кб8child-friendly-city.pdf
#
20.05.2015845.31 Кб119CLIPS-метод-96.doc
#
19.03.2016636.24 Кб7clustering.pdf
#
21.05.20154.11 Mб28CRM - Customer Relation Management.pdf
#
21.05.2015325.56 Кб4dec04023.pdf
#
21.05.2015736.79 Кб3Delivering happines.pdf
#
19.03.20165.85 Mб11Demografischer Wandel. Seminar 1.docx
#
20.05.2015162.8 Кб19diplom.docx
#
20.05.2015325.63 Кб76DiplomatiaEvropy_SShA.doc
#
20.05.20151.19 Mб87Diplomnaya_rabota_Davydova_E_Yu.docx